概率论与数理统计(专升本)综合测试3

概率论与数理统计(专升本)综合测试3
总分：loo分考试时间：分钟
单选题
1.从装有3个红球和2个白球的袋中任取两个球，记且= 取到两个白球”，则二二
(5分)
(A):取到两个红球
(B):至少取到一个白球
(C):没有取到白球
(D):至少取到一个红球
参考答案: D
.(5
2.设P(£ = 0一8/(£) = 0一」，P(貝⑻=0*，则下面结论正确的是分)
(A):事件貝与*互相独立
(B):事件貝与A互不相容
(C):M二月
(D):尸(/UA｝二尸(/)+尸(月)
参考答案：A
3•设-V服从均匀分布”(-鼻町，a>0，且已知P[X >1) = 7，则& = _______________________________
_ . (5 分)
(A): 1
(B): 2
(C): 3
(D): 4
参考答案：C
4.对于任意两个随机变量JT与F ,若"拦・=° ,则必有_____________________ . (5分)
(A):--与-独立
D(X+F) = D(JO + D(F)
(B):
参考答案：D
填空题
6•设事件丿，2?互为对立事件，则月）=—⑴—，尸（上召［二___⑵―_ . （5 分）
（1） .参考答案：1
（2）.参考答案：0
15 3 7.已知随机变量X只能取0 , 1 , 2三个数值，其相应的概率依次为一* —・——.
2c4c 12c
则芒=—（3）___ . （5 分）
⑴.参考答案：2
8.设」T〜盼」），若E（X） =2.4 D（X） = L44，则参数的值瓚二___（4）_
,P =—（5）__ . （5 分）
⑴.参考答案：6
（2）.参考答案：0.4
问答题
又已知 .:-.求' ■ ■的值.（io 分）
9.设连续型随机变量丄的概率密度为 f^） =
la a . O< x<l
j -
I ，其中
，
=1
5
由期望公式:
（2）期望:
£(7)=(-1)x0.15-0x0,5+1x035 = 0.2
解题思路:
为取自总体的一个样本.
（1）求L 的矩估计量；（2）说明该估计量是无偏估计. （10分）
参考答案：（1） 由求矩估计的方法，先求总体的一阶矩，即总体的期望，再求样本的一阶
矩，即样本均值，最后用样本矩去替代总体矩.
联立两方程，可得
5
参考答案：由密度函数性质知:
广 /=[ &出=觥
a+1
lo
匚
5
P-. 04
F-. 0.15 0.50 0.35
11.
已知总体X 的概率密度为 用）二幕它
IA
Y >0
其中未知参数
其它
=j xf(x)d(=j占xe = ] xd(-e
因为
F J I
二班一汀〉+J,仏制n叨
CO
二8
—1JL ___
9 — x =—JV[
所以用「去替代；，得：
—';
J«L
(2) 由无偏估计的定义：’
’，再由本题前面的计算结果可得:
—
]H
E(ff) = £(r )= -V E(XA = E(X) = e
-
所以该估计量是无偏估计• 解题思路：
12.随机从一批灯泡中抽查 16个灯泡，测得其使用时数的平均值为 …=1500小时，样本 方差J 「小时，设灯泡使用时数服从正态分布 •试求均值■的置信度为95%的置信区 间.
(附数据：1「匚。

二m 吟，「二•、 - : J )(IO 分)
20
(1500-2.13L5x^.l 5Q0+J.13L5X
V16
解题思路：
13.论大数定理与中心极限定理
(1 )数理统计是研究随机现象统计规律的数学学科，而随机现象的统计规律只有对大量随 机现象进行观察才能显现出来 •为了研究大量”的随机现象，通常采用极限的形式，这就 需要研究极限定理，大数定律和中心极限定律是两个最重要的极限定理 .请问：这两个定
理主要揭示了哪两个基本原理？
参考答
案：
此题是在方差-未知的情况下求均值’的置信度为95%的置信区间.
T
故选用T 统计量
其置信区间的公式为:
(X _g (旳 一1) : X + g (x _
2 的
现在已知：…=1500 ,
L-tf = 0.953 <7 = 0,05
5
临界值可从所附数据得到 ^(15)=2.1315
5
将已知数据全部代入公式, 即得 ’的置信度为
95%的置信区间为:
=(148?3425: 1510.6575)
H J -1
丄一//
/ -L
(2 )什么是切比雪夫不等式？有什么意义？
(3)本课程介绍了三个中心极限定理：林德-贝格三个中心极限定理、李雅普诺夫三个中
心极限定理、德莫弗-拉普科斯三个中心极限定理.请问：这三个定理有什么样的区别？（2 0分）
参考答案：（1）大数定理从理论上证明了随机现象的频率稳定性”并进一步推广到算
术平均值法则”.中心极限定理揭示了独立随机变量序列的和服从或近似服从正态分布.（2）切比雪夫不等式是：设随机变量忑具有期望Eg = U，方差，则对于
（7
円|疋一“金劭莖r
任意正数巴，总有：芒.
它的意义在于不论随机变量疋服从什么分布，只要具有期望Eg"，方差DgB
就可以估计它在某区间上的概率；
（3）这三个定理是针对三种具有不同性质的随机变量序列讨论的.林德-贝格三个中心极
限定理讨论的是独立同分布的随机变量序列；李雅普诺夫三个中心极限定理则推广到独立但
不同分布的随机变量序列；而德莫弗-拉普科斯三个中心极限定理是针对二项分布中，n趋
于无穷大时随机变量的极限分布情况.
解题思路：（1）大数定理与中心极限定理的意义.
（2）切比雪夫不等式的定义与意义.
⑶中心极限定理.。