(精选试题附答案)高中数学选修一专项训练

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(名师选题)(精选试题附答案)高中数学选修一专项训练单选题
1、已知F1,F2是椭圆x2
36+y2
9
=1的两个焦点,P是椭圆上任意一点,过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足
为Q,则Q与短轴端点的最近距离为()
A.5B.4C.3D.2
答案:C
分析:由|PM|=|PF1|可知|MF2|=|PM|+|PF2|,又已知OQ是△F1F2M的中位线,点Q与y轴重合时,Q与短轴端点距离最近.
解:设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M,则由题意知|PM|=|PF1|
∵|PF1|+|PF2|=2a=12
∴|MF2|=|PM|+|PF2|=2a=12
由题意知OQ是△F1F2M的中位线
∴|OQ|=a=6
∴Q点的轨迹是以O为圆心,以6为半径的圆
∴当点Q与y轴重合时,Q与短轴端点取最近距离d=a−b=6−3=3
2、若ab≠0,则ax−y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的()
A.B.
C.D.
答案:C
分析:根据椭圆、双曲线的性质判断参数a,b的符号,结合直线的位置判断a,b与曲线参数是否矛盾,即可知正确选项.
方程可化为y=ax+b和x 2
a +y2
b
=1.
A:双曲线的位置:a<0,b>0,由直线的位置:a>0,b>0,矛盾,排除;
B:椭圆知a,b∈(0,+∞),但B中直线的位置:a<0,b<0,矛盾,排除;
C:双曲线的位置:a>0,b<0,直线中a,b的符号一致.
D:椭圆知a,b∈(0,+∞),直线的位置:a<0,b>0,矛盾,排除;
故选:C.
3、若平面内两条平行线l1:x+(a−1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为3√5
5
,则实数a=()A.−2B.−2或1C.−1D.−1或2
分析:根据平行关系得出a =2或a =−1,再由距离公式得出a =−1满足条件. ∵l 1//l 2,∴a ⋅(a −1)=2,解得a =2或a =−1
当a =2时d =|2−12
|√2
=
3√2
4
,当a =−1时d =
√5
=
3√5
5
故选:C 4、已知椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)的右焦点和上顶点分别为点F (c,0)(b >c )和点A ,直线l:6x −5y −28=0交
椭圆于P,Q 两点,若F 恰好为△APQ 的重心,则椭圆的离心率为( )
A .√2
2
B .√33
C .√5
5D .2√5
5
答案:C
分析:由题设F (c,0),A (0,b ),利用F 为△APQ 的重心,求出线段PQ 的中点为B (3c 2,−b
2),将B 代入直线方程得9c +
5b 2
−28=0,再利用点差法可得2a 2=5bc ,结合a 2=b 2+c 2,可求出a, b, c ,进而求出离心率.
由题设F (c,0),A (0,b ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则线段PQ 的中点为B (x 0,y 0),
由三角形重心的性质知AF
⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,即(c,−b)=2(x 0−c,y 0),解得:x 0=3c 2
,y 0=−b 2
即B (3c 2,−b 2
)代入直线l:6x −5y −28=0,得9c +5b 2
−28=0①.
又B 为线段PQ 的中点,则x 1+x 2=3c,y 1+y 2=−b , 又P,Q 为椭圆上两点,∴
x 12
a 2
+y 12
b 2
=1,
x 22
a 2
+
y 22
b 2
=1,
以上两式相减得
(x 1+x 2)(x 1−x 2)
a 2+
(y 1+y 2)(y 1−y 2)
b 2=0,
所以k PQ =y 1−y
2x 1
−x 2
=−b 2
a 2⋅x 1+x
2y 1
+y 2
=−b 2
a 2×3c
−b =6
5,化简得2a 2=5bc ②
由①②及a 2
=b 2
+c 2
,解得:{a =2√5b =4c =2
,即离心率e =√5
5.
小提示:方法点睛:本题考查求椭圆的离心率,求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出a,c ,从而求出e ;②构造a,c 的齐次式,求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.
5、已知圆C :x 2+y 2=4,直线L :y =kx +m ,则当k 的值发生变化时,直线被圆C 所截的弦长的最小值为2,则m 的取值为( )
A .±2
B .±√2
C .±√3
D .±3 答案:C
分析:由直线L 过定点M(0,m),结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.
直线L :y =kx +m 恒过点M(0,m),由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为2,即当直线L 与直线OM 垂直时(O 为原点),弦长取得最小值,于是22=(1
2×2)2
+|OM|2=1+m 2,解得m =±√3. 故选:C
6、已知F 1、F 2是椭圆C :x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .若△PF 1F 2的面积
为9,则b =( ) A .2B .3C .4D .5 答案:B
分析:根据△PF 1F 2的面积以及该三角形为直角三角形可得|PF 1|⋅|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,然后结合|PF 1|+|PF 2|=2a ,简单计算即可.
依题意有|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2
又PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,S △PF 1F 2=1
2|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=9,所以|PF 1|⋅|PF 2|=18,
又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,可得4c 2+36=4a 2, 即a 2−c 2=9,则b =3, 故选:B.
7、若直线l 的斜率k =−2,又过一点(3,2),则直线l 经过点( ) A .(0,4)B .(4,0) C .(0,−4)D .(−2,1) 答案:B
分析:利用斜率公式逐个验证即可
对于A ,k =4−2
0−3=−2
3≠−2,不符合题意; 对于B ,k =2−03−4=−2,所以B 正确; 对于C ,k =
2−(−4)3−0=2≠−2,不符合题意;
对于D ,k =2−13−(−2)=1
5≠−2,不符合题意, 故选:B
8、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|,则C 的离心率为( ) A .√7
2B .√13
2
C .√7
D .√13 答案:A
分析:根据双曲线的定义及条件,表示出|PF 1|,|PF 2|,结合余弦定理可得答案. 因为|PF 1|=3|PF 2|,由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2|PF 2|=2a , 所以|PF 2|=a ,|PF 1|=3a ;
因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理可得4c 2=9a 2+a 2−2×3a ⋅a ⋅cos60°, 整理可得4c 2=7a 2,所以e 2=c 2
a 2=7
4,即e =√72
. 故选:A
小提示:关键点睛:双曲线的定义是入手点,利用余弦定理建立a,c 间的等量关系是求解的关键.
9、已知双曲线C:x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1
2a ,则双曲线
C 的渐近线方程为( )
A .y =±1
2
x B .y =±2x
C .y =±4x
D .y =±1
4x 答案:A
分析:首先根据题意得到d =
√b 2+a 2
=b =12a ,从而得到b a =1
2,即可得到答案.
由题知:设F (−c,0),一条渐近线方程为y =b
a x ,即bx −ay =0. 因为d =
√b 2+a
2
=b =12
a ,所以
b a
=1
2
, 故渐近线方程为y =±1
2x . 故选:A
10、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0,这两圆的位置关系是( ) A .相离B .相交C .内切D .外切 答案:B
分析:先求出两圆圆心和半径,再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得,圆C 1圆心(0,0),半径为7;圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16,圆心(3,4),半径为4, 两圆心之间的距离为√32+42=5,因为7−4<5<7+4,故这两圆的位置关系是相交. 故选:B. 填空题
11、已知F 1,F 2是椭圆x 2
4+y 2=1的两个焦点,点P 在椭圆上,PF 2⊥x 轴,则△PF 1F 2的面积为_________. 答案:√3
2##1
2√3
分析:PF 2⊥x 轴可得P 点横坐标,再根据点P 在椭圆上,求出P 的纵坐标,代入三角形面积公式即可求解. 由题意不妨设F 1(﹣√3,0),F 2( √3,0), ∵P F 2⊥x 轴,∴P (√3,±1
2),
∵△P F 1F 2的面积=12
|P F 2||F 1F 2|=12
× 1
2
×2√3=√32

所以答案是:√32

12、写出一个焦点在x 轴上,且离心率为√63
的椭圆的标准方程:___________.
答案:
x 23
+y 2=1(答案不唯一)
分析:由离心率及a 、b 、c 之间的关系,给a 取一个值求出b 即可.
解析设椭圆的标准方程为x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0),则e =√1−b 2
a 2=√63
, 所以a 2=3b 2,令b =1,则a 2=3,
所以满足题意的一个椭圆的标准方程为x 2
3+y 2=1 所以答案是:x 2
3+y 2=1
13、直线l:x +my −m −1=0被圆O ;x 2+y 2=3截得的弦长最短,则实数m =___________. 答案:1
分析:求出直线MN 过定点A (1,1),进而判断点A 在圆内,当OA ⊥MN 时,|MN |取最小值,利用两直线斜率之积为-1计算即可.
直线MN 的方程可化为x +my −m −1=0, 由{y −1=1x −1=0
,得{x =1y =1 ,
所以直线MN过定点A(1,1),
因为12+12<3,即点A在圆x2+y2=3内.
当OA⊥MN时,|MN|取最小值,
)=−1,∴m=1,
由k OA k MN=−1,得1×(−1
m
所以答案是:1.
14、在平面内,一只蚂蚁从点A(−2,−3)出发,爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+(y−2)2=2上,则它爬到的最短路程是______.
答案:4√2
分析:求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3),结合圆的性质,即可求解.
由圆C:(x+3)2+(y−2)2=2,得圆心坐标C(−3,2),半径为√2,
求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3),
可得|A′P|=|A′C|−r=√(−3−2)2+(2+3)2−√2=4√2.
如图所示,可得爬到的最短路程为4√2.
所以答案是:4√2
15、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A、B两点,则公共弦AB的长是___________. 答案:2
分析:两圆方程相减可得公共弦所在直线方程,利用垂径定理即可得解.
解:由题意AB 所在的直线方程为:(x 2+y 2+2x −4y −5)−(x 2+y 2+2x −1)=0,即y =−1, 因为圆x 2+y 2+2x −1=0的圆心O (−1,0),半径为r =√2, 所以,圆心O (−1,0)到直线y =−1的距离为1, 所以|AB |=2√2−12=2. 所以答案是:2 解答题 16、已知椭圆C:x 26
+y 2=1,经过原点的直线与椭圆C 交于P ,Q 两点,直线PM 与直线PQ 垂直,且与椭圆C 的另
一个交点为M .
(1)当点M 为椭圆C 的右顶点时,求证:△PQM 为等腰三角形; (2)当点P 不是椭圆C 的顶点时,求直线PQ 和直线QM 的斜率之比. 答案:(1)证明见解析;(2)6.
分析:(1)设点P (x 0,y 0),则点Q (−x 0,−y 0),由已知得出QP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,可求得x 0、y 02的值,利用两点间的距
离公式得出|MP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|QP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,进而可证得结论成立; (2)设点M (x 1,y 1),利用点差法计算得出k PM ⋅k QM =−16,由PM ⊥PQ 得出k PM ⋅k PQ =−1,由此可得出k
PQ k QM
=
k PQ ⋅k PM k QM ⋅k PM
,即可得解.
(1)设点P (x 0,y 0),则点Q (−x 0,−y 0),x 02
6+y 02=1,可得y 02
=1−
x 0
26

当点M 为椭圆C 的右顶点时,M(√6,0),MP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 0−√6,y 0),QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2x 0,2y 0), MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2x 0(x 0−√6)+2y 02=0,即x 02−√6x 0+1−x 02
6=0, 整理可得5x 02−6√6x 0+6=0,即(5x 0−√6)(x 0−√6)=0,
由题意可知,点P 不与点M 重合,则x 0=
√65
,可得y 02
=24
25,
|QP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√x 02+y 02=2√305,|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 0−√6)2
+y 02=2√305,
即|MP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|QP ⃑⃑⃑⃑⃑ |, 因此,△PMQ 为等腰三角形;
(2)设点M (x 1,y 1),则k PM =y 1−y 0x 1
−x 0
,k QM =y 1+y
0x 1
+x 0
,则k PM ⋅k QM =y 12−y 0
2
x 1
2−x 0
2,
由已知得{x 1
26+y 12=1x 0
2
6
+y 02=1
,两式相减得x 12−x 026+y 12−y 02=0,可得k PM ⋅k QM =y 12−y 02
x 1
2−x 0
2=−16
, ∵PM ⊥PQ ,∴k PM ⋅k PQ =−1,所以,k PQ k QM
=k PQ ⋅k PM k QM
⋅k PM
=
−1−
1
6
=6.
小提示:求定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 17、在平面直角坐标系xOy 中,已知四点A(0,1),B(3,0),C(1,4),D(0,3).
(1)这四点是否在同一个圆上?如果是,求出这个圆的方程;如果不是,请说明理由; (2)求出到点A ,B ,C ,D 的距离之和最小的点P 的坐标.
答案:(1)四点A(0,1),B(3,0),C(1,4),D(0,3)都在圆(x −2)2+(y −2)2=5上;(2)(12,5
2).
分析:(1)设经过A ,B ,C 三点的圆的方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2,代入点A ,B ,C 的坐标可解得圆的方程,再判断点D 是否在圆上即可;
(2)由|PA|+|PC|≥|AC|,当且仅当点P 在线段AC 上时取等号,同理|PB|+|PD|≥|BD|,当且仅当点P 在线段BD 上时取等号,进而可得当点P 为AC ,BD 交点时距离之和最小,故求AC ,BD 交点坐标即可. (1)设经过A ,B ,C 三点的圆的方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2, {(0−a)2+(1−b)2=r 2
(3−a)2+(0−b)2=r 2,(1−a)2+(4−b)2=r 2
解得a =2,b =2,r 2=5 因此,经过A ,B ,C 三点的圆的方程为(x −2)2+(y −2)2=5. 由于(0−2)2+(3−2)2=5,故点D 也在这个圆上.
因此,四点A(0,1),B(3,0),C(1,4),D(0,3)都在圆(x −2)2+(y −2)2=5上.
(2)因为|PA|+|PC|≥|AC|,当且仅当点P 在线段AC 上时取等号. 同理,|PB|+|PD|≥|BD|,当且仅当点P 在线段BD 上时取等号.
因此,当点P 是AC 和BD 的交点时,它到A ,B ,C ,D 的距离之和最小. 因为直线AC 的方程为y =3x +1,直线BD 的方程为y =−x +3,
联立{y =3x +1y =−x +3
,解得点P 的坐标为(12,52).
18、已知抛物线C :y 2=4x ,坐标原点为O ,焦点为F ,直线l :y =kx +1.
(1)若l 与C 只有一个公共点,求k 的值;
(2)过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点,求△OAB 的面积. 答案:(1)1或0;(2)2√2.
分析:(1)将直线方程与抛物线方程联立,由k =0或Δ=0即可求解;
(2)求出抛物线的焦点坐标,即可得直线方程,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立直线与抛物线方程,根据S △OAB =12|OF|⋅|y 1−y 2|及韦达定理即可求解;
解:(1)依题意{y =kx +1y 2=4x
消去x 得y =14ky 2+1,即ky 2−4y +4=0, ①当k =0时,显然方程只有一个解,满足条件;
②当k ≠0时,Δ=(−4)2−4×4k =0,解得k =1;
综上,当k =1或k =0时直线与抛物线只有一个交点;
(2)抛物线C :y 2=4x ,所以焦点F(1,0),所以直线方程为y =x −1,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由{y =x −1y 2=4x
,消去x 得y 2−4y −4=0,所以y 1+y 2=4,y 1y 2=−4, 所以|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√42−4×(−4)=4√2, 所以S △OAB =12|OF|⋅|y 1−y 2|=12×1×4√2=2√2.
19、已知圆心C 在第一象限,半径为54的圆与y 轴相切,且与x 轴正半轴交于A ,B 两点(A 在B 左侧),|OA | ⋅|OB | =1(O 为坐标原点).
(1)求圆C 的标准方程;
(2)过点A 任作一条直线与圆O:x 2+y 2=1相交于P ,Q 两点.
①证明:|PA | |PB | +|QB | |QA | 为定值;②求|PB | +2|PC | 的最小值.
答案:(1)(x −54)2+(y −1)2=2516;(2)①|PA ||PB |+|QB ||QA |=52,证明见解析,②52
分析:(1)首先C (54,b)(b >0),得到|AB |=2√2516−b 2,|OA |=54−12|AB |,|OB |=54+12|AB |,再根据|OA | ⋅|OB | =1即可得到答案.
(2)①首先根据(1)得到A (12,0),B (2,0),设P (x 0,y 0),再分别计算|PA | |PB | +|QB | |QA | 即可;②根据|PB |=2|PA |得到|PB | +2|PC | =2(|PA |+|PC |)≥2|AC |,即可得到答案.
(1)设C (54
,b)(b >0),由题知: |AB |=2√(54)2−b 2=2√2516−b 2,|OA |=54−12|AB |,|OB |=54+12
|AB |, 所以|OA | ⋅|OB | =(54−12|AB |)(54−12|AB |)=2516−14×4(2516−b 2)=1, 解得b =1,所以圆C:(x −54)2+(y −1)2=2516.
(2)由(1)知:|AB |=2√(54)2−1=32,|OA |=54−12|AB |=12, |OB |=54+12|AB |=2.所以A (12,0),B (2,0),
设P(x0,y0),
|PA| |PB|=
√(x0−1
2
)
2
+y02
√(x0−2)2+y02
=
√(x0−1
2
)
2
+1−x02
√(x0−2)2+1−x02
=
√5
4
−x0
√5−4x
=1
2

同理|QB|
|QA|=2,所以|PA|
|PB|
+|QB|
|QA|
=5
2
.
②因为|PB|=2|PA|,
所以|PB|+2|PC|=2(|PA|+|PC|)≥2|AC|=2√(5
4−1
2
)
2
+(1−0)2=5
2
.
所以|PB|+2|PC|的最小值为5
2
.。

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