高三数学平面解析几何部分 直线的方程知识精讲 人教实验版B

高三数学平面解析几何部分直线的方程知识精讲
一. 本周教学内容：
平面解析几何部分：直线的方程
二. 教学目的：
掌握直线方程的几种形式及其相关应用
三. 教学重点、难点： 重点：（1）直线的斜率与倾斜角；（2）直线方程的几种形式及求法；（3）两直线的位置关系；（4）点到直线的距离；（5）有关对称问题． 难点：（1）注意斜率与倾斜角的区别：每条直线都有倾斜角，其X 围是0°≤θ<180°，但并不是每条直线都有斜率．
（2）直线方程的五种形式之间要熟练转化，在使用直线方程时，要注意方程表示直线的“局限性”．
（3）判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．
（4
）在运用公式=
d 求平行直线间的距离时，一定要把,x y 项的系数化成
相等．
（5）中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具，解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都归结为关于点的对称问题加以解决．
四. 知识分析： 【知识梳理】
1. 直线的斜率与倾斜角
（1）已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12≠x x ，那么直线PQ 的斜率为21
21
-=
-y y k x x 。

（2）在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的角度，称为这条直线的倾斜角，由定义可知倾斜角的取值X 围是[)0,π。

2. 两条直线平行或垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//⇔=l l k k 。

（2）两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121⊥⇔⋅=-l l k k 。

3. 直线的点斜式方程
如果直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则把方程00()-=-y y k x x 叫做直线的点斜式方程。

当直线l 的倾斜角为0°时，k ＝0，这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是00-=y y ，即0=y y ．
当直线l 的倾斜角为90°时，k 不存在，这时l 与y 轴垂直，直线方程为0=x x 。

4. 直线的斜截式方程
如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，则方程=+y kx b 叫做直线的斜截式方程，其中b 叫做直线l 在y 轴上的截距． 5. 直线的两点式方程 经过两点111222(,),(,)P x y P x y （其中1212,≠≠x x y y ）的直线方程
11
12122121
(,)--=≠≠--y y x x x x y y y y x x 叫做直线的两点式方程。

6. 直线的截距式方程
如果直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b ，其中a ≠0，b ≠0，则
1+=x y
a b
叫做直线的截距式方程。

7. 直线的一般式方程
我们把关于x ，y 的二元一次方程0++=Ax By C （其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程。

8. 线段的中点坐标公式 若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P
P 的中点M 的坐标为(,)x y ，则121
22
2
+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩x x x y y y ，此公式为线段12P P 的中点坐标公式．
9. 两点间的距离
平面上两点111222(,),(,)P x y P x y
间的距离公式12||=PP 地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y
的距离||=OP
10. 点到直线的距离
点000(,)P x y 到直线:0++=l Ax By C
的距离=
d
11. 两平行直线间的距离
两条平行直线0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 间的距离
为
=
d 。

【要点解析】
1. 要深刻理解每种直线方程的适用X 围，此时多涉及分类讨论的思想，如点斜式及斜截式的适用条件是直线的斜率必须存在；两点式的适用条件是直线既不与x 轴垂直也不与y 轴垂直；截距式的适用条件是两截距都存在，且均不为0.
2. 直线在两坐标轴上截距相等的条件是直线斜率为－1或其经过原点，往往容易忽视直线过坐标原点的情况．
3. 在解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，在一般式中，若A ＝0，则
C y B =-
，它表示一条与x 轴平行或重合的直线；若B ＝0，则C
x A
=-，它表示一条与x 轴垂直的直线．
4. 确定直线的方程通常有两种途径：一是用方程的五种形式，主要利用待定系数法；二是用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程。

5. 点到几种特殊直线的距离．不套公式而直接求出： （1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =； （2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =；
（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y a =的距离0||d y a =-； （4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x b =的距离0||d x b =-；
6. 直线系方程
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它们的方程叫做直线系方程．其特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有待定系数（也称参变量）． 几种常用的直线系方程如下：
（1）共点直线系方程：经过两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C +++λ++=，其中12210A B A B -≠，待定系数
R λ∈。

在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l 。

（2）过定点00(,)x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-（k 为参数）及0x x =。

（3）平行直线系方程：与直线y kx b =+平行的直线系方程为y kx m =+（m 为参数且m ≠b ）；与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By ++λ=（λ是参数，且
C λ≠）
． （4）垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++=(0,0)A B ≠≠垂直的直线系方程是
0Bx Ay -+λ=（λ为参数）
． 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程
来求解。

7. 对称问题
（1）中心对称
①若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称，则由中点坐标公式得1
1
22x a x y b y =-⎧⎨
=-⎩。

②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关
于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．或者求出一个对称点，再利用12//l l ，由点斜式得到所求直线方程． （2）轴对称 ①关于直线对称的点 若两点111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，则线段12P P 的中点在对称轴l 上，而且连接12P P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组
12121212()()022x x y y A B C y y B x x A ++⎧++=⎪⎪
⎨-⎪=
-⎪⎩ 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标22(,)x y （其中120,A x x ≠≠）．
②关于直线对称的两条直线
此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决．若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直
线l 的距离相等，由平行直线系方程和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线．
【典型例题】
命题角度1 直线的倾斜角与斜率
例1. 已知两点A （－1，－5）、B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率。

解法1：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为α2，由题意可知：
.4
3
)1(3)5(22tan =-----=α
,43tan 1tan 22
=α-α∴
整理得.03tan 8tan 32
=-α+α 解得31tan =α或,043
2tan ,3tan >=α-=α
0tan ,450,9020>α︒<α<︒︒<α<︒∴，故l 的斜率为31。

解法2：设直线AB 的倾斜角为θ，则直线l 的倾斜角为2
θ
，由题意可知
.4
3)1(3)5(2tan =-----=θ
.
3
1sin cos 12tan .
5
3
tan cos sin ,
54cos ,tan 1cos sin cos cos 1.
900,043
tan 2
2222=θθ-=θ∴=θ⋅θ=θ=θθ+=θ
θ+θ=θ∴︒<θ<︒∴>=θ得由 ∴直线l 的斜率为3
1。

点评：求斜率一般有两种方法：其一，已知直线上两点，根据斜率公式
21
1221
()-=
≠-y y k x x x x 求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据tan =αk 来求
斜率，此类问题常与三角函数知识联系在一起，要注意准确、灵活地运用三角公式．
命题角度2 求满足某些条件的直线与方程
例2. 求适合下列条件的直线的方程：
（1）在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦是
5
3； （2）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （3）经过点A （―1，―3），倾斜角等于直线x 3y =的倾斜角的2倍。

解析：（1）设直线的倾斜角为α，则5
3
sin =α，
∴54cos ±=α，直线的斜率.4
3
tan k ±=α=
又直线在y 轴上的截距是－5，
由斜截式得直线方程为.5x 4
3
y -±
= （2）方法一：设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若0a =，即l 过点（0，0）和（3，2），
∴l 的方程为x 3
2
y =，即.0y 3x 2=-
若0a ≠，则设l 的方程为,1a y
a x =+
∵l 过点（3，2），∴,1a
2
a 3=+
∴,5a =∴l 的方程为,05y x =-+
综上可知，直线l 的方程为0y 3x 2=-或.05y x =-+
方法二：由题意，所求直线的斜率存在且,0k ≠ 设直线方程为),3x (k 2y -=-
令y ＝0，得k
2
3x -
=，令x ＝0，得,k 32y -= 由已知k 32k 23-=-，解得,3
2
k 1k =-=或
∴直线l 的方程为：
),3x (3
2
2y )3x (2y -=---=-或
即.0y 3x 205y x =-=-+或
（3）由已知：设直线x 3y =的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为α2。

,43
tan 1tan 22tan ,3tan 2
-=α
-α=α∴=α 又直线经过点（―1，―3），
因此所求直线方程为),1x (4
3
3y +-=+
即.015y 4x 3=++
点评：在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线．因截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解第2问时，若采用截距式，应注意分类讨论．
命题角度3 直线方程五种形式的灵活运用
例3. 过点M （0，1）作直线，使它被两直线08y x 2:l ,010y 3x :l 21=-+=+-所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程。

解法1：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求方程为1kx y +=，与已知两直线21l ,l 分别交于A ，B 两点，
联立方程组⎩
⎨⎧=+-+=010y 3x 1
kx y ①
⎩
⎨
⎧=-++=08y x 21
kx y ② 由①解得,1k 37x A -=
由②解得.2
k 7
x B +=
∵点M 平分线段AB ，∴,x 2x x M B A =+
即
,02k 71k 37=++-解得,41
k -= 故所求直线方程为.04y 4x =-+
解法2：设所求的直线方程为,1kx y += 代入方程,0)8y x 2()10y 3x (=-+⋅+-
得,049x )7k 28(x )k 3k 52(22=-++-- 同解法一，设所求直线与21l ,l 交于A ，B 两点， 由题意,0x 2k
3k 527
k 28x x M 2
B A ==--+-
=+ 可得,4
1k -=∴所求直线方程为.04y 4x =-+ 解法3：设所求直线与21l ,l 分别交于A ，B 两点。

∵点B 在直线08y x 2:l 2=-+上，故可设B （t 28,t -）.
∵M （0，1）是AB 的中点，
由中点坐标公式得A （6t 2,t --）， ∵A 点在直线010y 3x :l 1=+-上， ∴010)6t 2(3)t (=+---，解得4t =， ∴A （－4，2），B （4，0）， 故所求直线方程为.04y 4x =-+
点评：求直线方程最常用的方法是待定系数法，本题所要求方程的直线过已知点M （0，1），故设出直线方程的点斜式，由题中另一条件确定斜率，思路顺理成章，但要想在解题过程中，不断提高自己的逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力，还应联系题中已知条件与相关知识，看能否得到新的解法，如本题的解法二。

特别是能否把已知条件与相关知识联系变通再得新的解法，如本题的解法三。

确定直线方程基本可分为两类题型：一是根据题目条件或确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程（含有参数或待定系数），再确定方程（即求出参数值），此时对直线方程来讲可称为间接法。

命题角度4 直线方程中参数的讨论
例4. 已知两条直线04by ax :l 1=+-和0b y x )1a (:l 2=++-，求满足下列条件的a 、b 的值：
（1）21l l ⊥，且1l 过点（－3，－1）；
（2）21l //l ，且坐标原点到这两条直线的距离相等。

解：（1）由已知可得2l 的斜率必存在，且.a 1k 2-= （I ）若0k 2=，则.1a ,0a 1==-
∵21l l ⊥，∴直线1l 的斜率1k 必不存在，即b ＝0。

又∵1l 过（－3，－1），
∴04a 3=+-，即a 34=（不合题意）。

∴此种情况不存在，即0k 2≠。

（II ）若0k 2≠，即21k k 、都存在。

,1k k ,
l l ,a 1k ,b
a
k 212121-=⋅∴⊥-==
即1)a 1(b
a
-=-① 又∵1l 过点（－3，－1），∴04b a 3=++-② 由①、②联立，解得.2b ,2a == （2）∵2l 的斜率存在且21l //l ，
∴直线1l 的斜率存在，且21k k =，即
a 1b
a
-=③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，21l //l ，
∴21l l 、在y 轴上截距互为相反数，即b b
4
=④
由③、④联立解得
.2
b 32a 2b 2a ⎪⎩⎪⎨⎧
==
⎩⎨⎧-==或 ∴a 、b 的值为2和－2或3
2
和2。

点评：当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1）若用1212120l l A A B B ⊥⇔+=则可避免分类讨论．
命题角度5 直线方程的应用
例5. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪（如图1），另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100m ，BC ＝80m ，AE ＝30m ，AF ＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？
分析：建立适当的坐标系，把问题转化为在线段EF 上找一点P ，使以P 、C 为对角顶点的矩形的面积最大的问题。

解：如图2所示建立坐标系，则E （30，0），F （0，20）， ∴线段EF 的方程为
).30x 0(120
y 30x ≤≤=+ 在线段EF 上取点P （m ，n ），
作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则).n 80)(m 100(|PR ||PQ |S --== 又).30
m 1(20n ),30m 0(120n 30m -=∴≤≤=+ ).
30m 0(3
18050)5m (32)
m 32
2080)(m 100(S 2≤≤+--=+--=∴
∴于是当m ＝5时，S 有最大值，这时
.1:55
5
30|PF ||EP |=-= 所以当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分FE 成5：
1时，草坪面积最大。

点评：利用解析法解决实际问题，就是在实际问题中建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决．
命题角度6 距离公式的应用
例6. 已知直线l 经过点P （3，1），且被两条平行直线01y x :l 1=++和06y x :l 2=++截得的线段之长为5，求直线l 的方程。

解法1：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为
x ＝3，此时与21l ,l 的交点分别为A ′（3，－4）和B ′（3，－9），截得的线段B A ''的长5|94||B A |=+-=''，符合题意。

若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为,1)3x (k y +-=
解方程组),1k 1
k 4,1k 2k 3(A ,01x y 1)3x (k y +--+-⎩
⎨
⎧=+++-=得 解方程组),1k 1
k 9,1k 7k 3(B ,0
6x y 1)3x (k y +--+-⎩⎨
⎧=+++-=得 由|AB|＝5，得
,5)1
k 1k 91k 1k 4()1k 7k 31k 2k 3(
22
2=+-++--++--+- 解之得k ＝0，即所求的直线方程为1y =， 综上可知，所求直线l 的方程为1y 3x ==或。

解法2：由题意，直线21l ,l 之间的距离为 ,2
2
52
|
61|d =
-=
且直线l 被平行直线21l ,l 所截得的线段AB 的长为5， 设直线l 与直线1l 的夹角为θ，
则.45,2
252
25sin ︒=θ==
θ故 由直线01y x :l 1=++的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°。

又由直线l 过点P （3，1），
故直线l 的方程为1y 3x ==或。

解法3：设直线l 与21l ,l 分别相交于A （11y ,x ），B （22y ,x ）， 则,06y x ,01y x 2211=++=++ 两式相减得5)y y ()x x (2121=-+-① 又25)y y ()x x (221221=-+-② 联立①②可得
,5y y 0
x x 0y y 5x x 21
212121⎩⎨⎧=-=-⎩⎨
⎧=-=-或 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°， 故所求的直线方程为1y 3x ==或。

点评：一般地，求过一定点且被两已知平行直线截得的线段为定长a 的直线，当a 小于两平行直线之间距离d 时无解；当a ＝d 时有惟一解；当a ＞d 时，有且只有两解。

另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角θ，再求直线l 的斜率或倾斜角，从解法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程。

命题角度7 对称问题
例7. 已知直线,01y 3x 2:l =+-点A （―1，―2）。

求：
（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
（2）直线06y 2x 3:m =--关于直线l 的对称直线m ′的方程； （3）直线l 关于点A （－1，－2）对称的直线l ′的方程。

解析：（1）设A ′（x ，y ），再由已知
.
134,1333A ,134y 13
33x ,0122y 321x 2132
1x 2y ⎪⎭
⎫
⎝⎛-'∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+-⨯--⨯-=⋅++解得 （2）在直线m 上取一点，如(2,0)M ，则(2,0)M 关于直线l 的对称点必在m ′上。

设对称点M ′（a ，b ），则202()3()1022021
23
a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得：/630(,)1313M ，
设m 与l 的交点为N ，则由,06y 2x 30
1y 3x 2⎩
⎨
⎧=--=+- 得N （4，3），
又∵m ′经过点N （4，3），
∴由两点式得直线方程为.0102y 46x 9=+-
（3）设P （x ，y ）为l ′上任意一点，
则P （x ，y ）关于点A （－1，－2）的对称点为 ),y 4,x 2(P ----'
∵P ′在直线l 上，∴,01)y 4(3)x 2(2=+----- 即.09y 3x 2=-- 点评：
1. 在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
2. 处理直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决，也可以用夹角公式来解．
3. 直线关于点的对称都可以转化为点关于点的对称来处理．
【模拟试题】
1、设两直线),2
3
,(,0a cos 1y sin x :l ,0b cos 1y x :l 21ππ∈α=-α++α=+α-+则直线
21l l 和的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 平行或重合
C. 垂直
D. 相交但不一定垂直
2、如图，直线0b y ax :l 1=+-与直线)0ab (0a y bx :l 2≠=-+的图象应是（ ）
3、三条直线015ky x 5:l ,02y x :l ,0y x :l 321=--=-+=-构成一个三角形，则k 的X 围是（ ）
A. R k ∈
B. R k ∈且0k ,1k ≠±≠
C. R k ∈且10k ,5k -≠±≠
D. R k ∈且1k ,5k ≠±≠
4、设两条直线的方程分别为0b y x 0a y x =++=++、，已知a 、b 是关于x 的方程
0c x x 2=++的两个实数根，且8
1
c 0≤
≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（ ） A.
2
1,42 B. 22,
2 C.
2
1,2 D.
2
1,22 5、点（θθcos ,sin ）到直线01sin y cos x =+θ+θ的距离小于2
1
，则θ的取值X 围是（ ） A. )Z k )(6k 2,65k 2(∈π
-ππ-
π B. )Z k )(12k ,125k (∈π
-ππ-π
C. )Z k )(3k 2,32k 2(∈π
-ππ-π
D. )Z k )(6
k ,3k (∈π
-ππ-π
6、（2006，某某）如图所示，平面中两条直线21l l 和相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线21l l 和的距离，则称有序非负实数对（p 、q ）是点M 的“距离坐标”。

已知常数0q ,0p ≥≥给出下列三个命题：
word 11 / 11 ①0q p ==，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个。

②若0pq =，且0q p ≠+，则“距离坐标”为（p 、q ）的点有且仅有2个。

③若0pq ≠，则“距离坐标”为（p 、q ）的点有且仅有4个。

上述命题中，正确命题的个数是（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
7、第一象限内有一动点Q 在过点A （3，2）且方向向量)2,1(n -=的直线l 上运动，则y log x log 22+的最大值为____________。

8、△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的平分线所在直线方程为01y x 01y =++=+和，则直线BC 的方程为____________。

9、如图所示，已知直线x 3y :l =和点P （3，2），点Q 是l 在第一象限内的点，直线QP 交x 轴的正半轴于点M 。

问：点Q 在什么位置时，△OMQ 是等边三角形？
10、如图，已知△ABC 的顶点A （2，－7），从顶点B 、C 分别引出的高线和中线所在直线的方程为,07y 2x ,011y x 3=++=++求此三角形的三条边所在直线的方程。

11、直线l 经过点A （2，4），l 被02y x :l ,01y x :l 21=--=+-所截线段的中点在直线
03y 2x :l 3=-+上，求此直线的方程。

[参考答案]
1、C
2、B
3、C
4、D
5、B
6、C
7、3
8、x ＋2y －3＝0 9、923233()62
Q ++ 10、:3230,:43130,:79190AC x y AB x y BC x y --=++=++=
11、194220x y --=。