勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理
一．勾股定理证明与拓展 模型一
. 图中三个正方形面积关系
思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？
例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .
变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.
变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.
（变式2）（变式3）
变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．
（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积
模型二
外弦图
D
C
B
A
内弦图
G
F
E
H
例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。

求中间小正方形的面积为__________;
变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2
2
25x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.
(变式1) (变式2)
变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为
变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。

记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1＋S 2+S 3 =10，则S 2=
二．勾股定理及逆定理 分类讨论思想：（易错点）
例题1、 在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
变式1：已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ．
变式2：在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是
变式3：在△ABC 中，AB=25 ，AC=4，BC=2以AB 为边向△ABC 外做△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，则线段CD 的长为
方程思想：
例题2、已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知cm AB 8=,cm BC 10=,求：（1）EC 的长；（2）求FEC ∆的面积；
例题3.在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积。

思考记忆：正三角形，边长为a,面积为
变式1：如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．
变式2：小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2米，当他把绳子的下端拉开旗杆底部8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，旗杆的高度为
变式3：小溪旁长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树A 高30尺，一棵树B 高20尺，两棵树之间距离恰好为50尺，每棵树顶部都停有一只小鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面游出一只小鱼，他们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，问游鱼出现在距离A 多少尺？
构造直角三角形：
例题4四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形
ABCD 的面积是
变式1.如图，在四边形ABCD 中135,120,6,33,6B C AB BC CD ∠=∠===-=,
则AD = .
变式2：如下（右）图一副直角三角板放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，AC=5，CD 的长 ．
变式3：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，点D 在AB 上，∠ACD=15°，AD=， 则BC=
变式4：如图所示，P 为ABC ∆边BC 上一点，且PC=2PB ，已知ABC ∠=︒45，︒
=∠60APC ,求ACB ∠的度数。

C
B
A
转化思想
例5.等边三角形ABC 内一点P ，AP ＝3，BP ＝4，CP ＝5，求∠APB 的度数．
变式1：如图，在等腰Rt △ABC 中，∠CAB =90°，P 是△ABC 内一点，且PA =1，PB =3，PC =7；求：∠CPA 的大小。

变式2：如图，O 是等边△ABC 内一点，OA =3，OB =4，OC =5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，下列结论：
①△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到； ②点O 与O ′的距离为4； ③∠AOB =150°； ④四边形AO BO ′的面积为336+； ⑤S △AOC +S △AOB =6+4
3
9． 其中正确的结论是 （只填正确的序号）
变式3．如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.
变式4如图，△ABC 是直角三角形，∠CAB =90°,︒=45MCN .
（1）当点M 、N 在AB 上时，求证：2
22BN AM MN +=
（2）将MCN ∠绕点C 旋转，当点M 在BA 的延长线上时，以上结论是否成立？若不成立，请说明理由．
直角的判定：
例5、已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件c b a c b a 2624103382
22++=+++，求证：△ABC 是直角三角形.
变式1、如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒、3AB =、4BC =、12CD =、13AD =，求四边形ABCD 的面积。

变式2如图ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D 点，b AC =,a BC =， h CD =.
有下列四种说法：(1)ab=ch （2）2221
11h b a =
+；
（3）h c b a +<+；(4)以b a +、h 、h c +为三边的三角形是直角三角形。

其中正确的有 （填序号）
A
B
C
D
格点问题
例6、如图，2×2的方格中小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，AB 边上的高长为（ ）
A 、
355 B 、253 C 、3510 D 、35
2
变式1、如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，
小明在观察探究时发现：①△ ABC 的形状是等腰三角形；②△ABC 的周长是210＋2；③△ABC 的面积是5；④点C 到AB 边的距离是4
5
10.你认为小明观察的结论正确的序号有
变式2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
变式3、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 变式4、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A ． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
B
C
A
A
B
C
C
（图1） （图2） （图
C B
A
三．勾股定理实际应用 最短路径问题
例题1如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，已知蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）
A.
215
B.25
C.5510+
D.35
变式1、如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知7AB =、5BC =、5CG =，求这只蚂蚁爬行的最短距离 .
变式2、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，所用细线最短需要 cm 。

变式3、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A ．13cm B ．2cm C ．cm D ．2cm
变式2图 变式3图
变式1图
影响判定问题
例题2如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上。

该货船航行30分钟到达B 处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

变式1如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
变式2：如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。

假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？
东北
30︒60︒B A C
M D D B C
A
变式3：某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由
综合练习
一、选择题
1、以a 、b 、c 三边长能构成直角三角形的是（ ）
A.a=1，b=2，c=3
B.a=32，b=42，c=52
C.a=，b=，c=
D.a=5，b=6，c=7
2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平
分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）
A 、32
B 、76
C 、256
D 、2
3、如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜
边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外
作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值
为（ ）
A ． （）6
B ．（）7
C ．（）6
D ．（）7
二、填空题
1、如图，已知AB=16，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA =10，CB=2，AB 上有一点E 使DE+EC 最短，那么DE+EC 的最短距离为 .
2、如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是 .
3、如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S A ，S B ，已知S A +S B =39，则纸片A 的面积是
A D
B E C
4、如图，在同一平面内，两条平行高速公路l 1和l 2间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路l 1成30°夹角，长为20km ，BC 段与AB 、CD 段都垂直．长为10km ，CD 段长为30km ，则高速公路间的距离为____________．（结果保留根号）
5、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要________
6、（整体思想）已知Rt △ABC 的周长是344+，斜边上的中线长是2，则
S △ABC ＝____________.
7、直角三角形周长为13cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积
____________
8、四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ，过各较长直
角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH ．已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=2
EF ，则正方形ABCD 的面积为 （用含s 的式子表示）
三、解答题
1.在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。

（1）说明：222EF CF BE =+ （2）若BE=12,CF=5，试求DEF ∆的面积。

F E
D C
B A。