甘肃省白银市靖远县第一中学2024学年高三数学第一学期期末质量检测试题含解析

甘肃省白银市靖远县第一中学2024学年高三数学第一学期期末质量检测试题 请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）
A ．[32]-，
B ．[42]-，
C ．[0]2，
D ．2[3]e -，
2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=n n n a a （n *∈N ），则5S =（ ）
A ．30
B ．312
C ．2
D ．62
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4
324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1- C ．1,0,1,2 D ．{}0,1,2
4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若31
2S a S +=，46a =，则5S =（ ） A ．5 B ．10 C ．15
D ．20 5．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，
E 、
F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）
A ．11[,]216-
B ．1(,]16-∞
C ．1
[,0]2- D ．(,0]-∞
6．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23 C ．8 D ．17 7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114 C ．
1054 D ．1174 8．若直线不平行于平面，且
，则（ ） A ．内所有直线与异面
B ．内只存在有限条直线与共面
C ．内存在唯一的直线与平行
D ．内存在无数条直线与相交
9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足
5i 12i z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+
C ．12i -
D ．12i + 10．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,2
D ．()2,e 11．已知12log 13a =13
1412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．a c b >> 12．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线
0x y +=对称时，APB ∠=（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下： 寿命（天） 频数
频率 [)200,300 40 a
[)300,400 60 0.3 [)400,500
b 0.4 [)500,600
20 0.1 合计 200 1
某人从灯泡样品中随机地购买了()*n n N ∈个，如果这n 个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样．．．．．．．．所得的结果相同，则n 的最小值为______.
14．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
15．如图，ABC 的外接圆半径为23，D 为BC 边上一点，且24BD DC ==，90BAD ∠=︒，则ABC 的面积为______.
16．己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数()()1f x x a x a R =++-∈．
（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．
18．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数
． （1） 证明:
； （2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
19．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) （2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若
220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
20．（12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上且2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H 点，2OH =
C 2. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且满足2OA OB BA OB +=-，求ABO ∆的面积. 21．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2，左、右焦点分别为1,F 2F ，点D 在椭圆C 上，12DF F △ 的周长为222.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过圆222:3E x y +=
上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：AOB ∠为定值.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ
=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点M 22⎛ ⎝⎭
对应的参数4π
ϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；
（2）若点A ，B 为曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求22
11+||||OA OB 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解题分析】
由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦
⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【题目详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦
⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-；
当2
[1,],[0,2]t e S ∈∈ 综上：[]42S ∈-，
. 故选：B
【题目点拨】
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
2、B
【解题分析】
根据14+=n n n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公
式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可.
【题目详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=n n n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，
由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩
因此5S =
=故选：B
【题目点拨】
本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.
3、B
【解题分析】
利用换元法化简()f x 解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得()f x 的取值范围，由此求得[]()y f x =的值域.
【题目详解】 因为12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），所以()21
241324232424x
x
x x y =-⋅+=-⋅+，令2x t =（14t <<），则21()342f t t t =-+（14t <<），函数的对称轴方程为3t =，所以min 1()(3)2f t f ==-，max 3()(1)2
f t f ==，所以13(),22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
，所以[]()y f x =的值域为{}1,0,1-. 故选：B
【题目点拨】
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
4、C
【解题分析】
利用等差通项，设出1a 和d ，然后，直接求解5S 即可
【题目详解】
令()11n a a n d +-=，则11113232d a a a a d ⨯⨯+
+=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()55310315S =⨯-+⨯=.
【题目点拨】
本题考查等差数列的求和问题，属于基础题
5、A
【解题分析】
建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-
设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =，找出m 与n 的关系．
通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅的取值范围．
【题目详解】
以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，
设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-
设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤
所以(,3),(1,1))AE m m CF n n ==--
由||2||AE CF =得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ，
所以227
13(1)(1)4734()816
DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112
n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅的取值范围是11[,]216
-．故选A ． 【题目点拨】
本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．
6、C
【解题分析】
首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可；
【题目详解】
解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C
【题目点拨】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
7、C
【解题分析】
根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值.
【题目详解】 由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩
其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304
k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．
①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44
x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π 2.5π44
x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π 4.5π44
x +=时，()13f x =成立； 综上所得ω的最大值为
1054． 故选:C
【题目点拨】
本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
8、D
【解题分析】 通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误.
【题目详解】 根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D. 【题目点拨】
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
9、A
【解题分析】 分析：题设中复数满足的等式可以化为512z i i =
++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有512112z i i i i i
=+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
10、A
【解题分析】
试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x
-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
11、D
【解题分析】
由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关
系，进而得解.
【题目详解】 根据指数函数的图像与性质可知1314
120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，
由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小；
而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-
lg13lg14lg12lg13
=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13
-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得
()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13
⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅ 221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅
11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13
⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=⋅
(
(lg13lg130lg12lg13+⋅-=
>⋅ 所以a c >，
综上可知a c b >>，
故选：D.
【题目点拨】
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 12、C
【解题分析】
判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠．
【题目详解】
如图，设圆22(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -，半径为2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关
于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴15
222PC -+==，
设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21sin 2
22AC PC θ=
==，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒． 故选：C ．
【题目点拨】
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10
【解题分析】
先求出a ，b ，根据分层抽样的比例引入正整数k 表示n ，从而得出n 的最小值.
【题目详解】
由题意得，a =0.2，b =80，由表可知，灯泡样品第一组有40个，第二组有60个，第三组有80个，第四组有20个，所以四个组的比例为2:3:4:1，所以按分层抽样法，购买的灯泡数为n =2k +3k +4k +k =10k (*k N ∈)，所以n 的最小值为10.
【题目点拨】
本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题.
14、3227
a 【解题分析】
由题意容积()22V a x x =-，求导研究单调性，分析即得解.
【题目详解】
由题意：容积()22V a x x =-，02a x <<
， 则22(2)(2)(2)(2)(6)V a x x a x a x a x '=-⨯-+-=--，
由0V '=得6a x =或2
a x =（舍去）， 令0,(0,);'0(,)662
a
a a V x V x '>∴∈<∴∈ 则6a x =为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时3max 227
V a =. 故答案为：
3227a 【题目点拨】
本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
15、【解题分析】
先由正弦定理得到120BAC ∠=，再在三角形ABD 、ADC 中分别由正弦定理进一步得到B =C ，最后利用面积公式计算即可.
【题目详解】
依题意可得6BC =，由正弦定理得2
sin BC R BAC =∠，即sin BAC ∠==，由图可 知BAC ∠是钝角，所以120BAC ∠=，30DAC ∠=，在三角形ABD 中，sin AD BD B =，
4sin B =，在三角形ADC 中，由正弦定理得sin sin AD CD C DAC
=∠即4sin AD C =，
所以，sin sin B C =，故30B C ==，AB =2AD =，故ABC 的面积为
1
sin 2
AB BC B ⋅⋅=
故答案为：【题目点拨】
本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.
16、[]4,0-
【解题分析】
首先判断出函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-对任
意的[]1,3x ∈恒成立，可转化为2(2)230x a x a +---在[]1,3x ∈上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案．
【题目详解】
解：函数()f x 的定义域为R ，且||||()(21)(21)()x x f x x x f x --=--=--=-， ∴函数()f x 为奇函数，
当0x >时，函数()(21)x f x x =-，显然此时函数()f x 为增函数，
∴函数()f x 为定义在R 上的增函数，
∴不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-即为2223x x a ax ---，
2(2)230x a x a ∴+---在[]1,3x ∈上恒成立，
∴1223093(2)230a a a a +---⎧⎨+---⎩
，解得40a -． 故答案为[]4,0-．
【题目点拨】
本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(][),22,∞-⋃+∞-（2）(]
[),31,-∞+∞
【解题分析】
()1114||x x ++≥﹣利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集， ()2()2f x ≥对x ∈R 恒成立，则()2min f x ≥， 由三角不等式|1||1|1x a x
x a x a ++≥+++﹣﹣＝，得12a +≥求解 【题目详解】
解：()1当1a =时，不等式()4f x ≥即为114||x x
++≥﹣， 可得1114x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或11114x x x -<<⎧⎨++-≥⎩或1114
x x x ≥⎧⎨++-≥⎩， 解得2x -≤或x ∈∅或2x ≥，
则原不等式的解集为(,2[2,])∞-⋃+∞-
()2若对任意x ∈R 、都有()2f x ≥，
即为()2min f x ≥，
由|1||1|1x a x
x a x a ++≥+++﹣﹣＝，当()(1)0x a x +-≤取得等号， 则()1min f x a +＝，由12a +≥，可得13a a ≥≤-或，
则a 的取值范围是(,3][1,)-∞+∞
【题目点拨】
本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
18、 (1)见解析.
(1) .
【解题分析】
试题分析：（1）直接计算
，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可； （1），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
试题解析： （1）证明：函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜2，
则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a|+|﹣﹣a|=|x ﹣a|+|+a|≥|（x ﹣a ）+（+a ）|
=|x+|=|x|+≥1=1．
（1）f （x ）+f （1x ）=|x ﹣a|+|1x ﹣a|，a ＜2．
当x≤a 时，f （x ）=a ﹣x+a ﹣1x=1a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；
当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a+a ﹣1x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；
当x 时，f （x ）=x ﹣a+1x ﹣a=3x ﹣1a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞）.
不等式f （x ）+f （1x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜2，
则a 的取值范围是．
考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.
19、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析
【解题分析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值μ和样本方差2σ；
（2）由题意知X 服从二项分布()3, 0.7B ，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知Y 服从正态分布()60,25N ，继而可求出()5070P Y ≤<的值，从而可判断.
【题目详解】
解：（1）
()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+
()()()()2226047.572.5600.0260 52.52 67.5 602 0.13 σ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦-⨯+-+⨯⎣⎦
- ()2
2 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈
（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7.
随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ，
则()003300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()12
310.70.30.189P X C ==⨯⨯=， ()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=， 所以X 的分布列为： X
0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343
数学期望30.7 2.1EX =⨯=
（3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，
则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>，
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
【题目点拨】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.
20、（1）2212x y +=；（2. 【解题分析】
（1）根据离心率以及22MF OH =，即可列方程求得,,a b c ，则问题得解；
（2）设直线方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的0OA OB ⋅=，即可求得参数m ，则三角形面积得解.
【题目详解】
（1）设2(,0)F c ，由题意可得222
221,M x y b y a b a
+==±.
因为OH 是12F F M ∆的中位线，且4
OH =
所以2||2MF =，即22
b a =，
因为2222
c e a b c a ===+ 进而得221,2b a ==， 所以椭圆方程为2
212
x y += （2）由已知得22OA OB OA OB +=-两边平方 整理可得0OA OB ⋅=.
当直线l 斜率为0时，显然不成立.
直线l 斜率不为0时，
设直线l 的方程为11221.(,).(,)x my A x y B x y =-，
联立22112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(2)210m y my +--=， 所以12122221,22
m y y y y m m -+==++， 由0OA OB ⋅=得12120x x y y +=
将11221,1=-=-x my x my 代入
整理得1212(1)(1)0my my y y --+=，
展开得2121212()10m y y m y y y y -+++=，
整理得2
m =±，
所以11212ABO S OF y y ∆=
-=即为所求. 【题目点拨】
本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.
21、（1）2
212
x y +=（2）见解析 【解题分析】
(1)
由c e a ==
，周长222a c +=,
解得a =1b c ==即可求得标准方程. (2)通过特殊情况l 的斜率不存在时,求得2AOB π
∠=,再证明l 的斜率存在时0OA OB ⋅=,即可证得AOB ∠为定值.通过
设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆方程联立,借助韦达定理求得()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++,利用直线l 与圆相切,
即d =
=求得,m k 的关系代入,化简即可证得=0OA OB ⋅即可证得结论. 【题目详解】
（1
）由题意得2
c e a ==
，周长222a c +=，且222a c b -=.
联立解得a =1b c ==，所以椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=. （2）①当直线l
的斜率不存在时，不妨设其方程为3
x =，
则,33A ⎛ ⎝
⎭B ⎝⎭
，
所以0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥，即2AOB π
∠=.
②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，并设()11,,A x y ()22,B x y ， 由()()
2222
221422012y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ()22
8210k m ∆=-+>，2124,21k x m x k =-++21222221m x x k -=+， 由直线l 与圆E
相切，得223220d m k ==⇒--=. 所以()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++
()()2222
222222211
43220121212k m k m m k m k k k +---=-+==+++. 从而OA OB ⊥，即2AOB π
∠=. 综合上述，得2AOB π∠=
为定值.
【题目点拨】 本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.
22、（1）2
212x y +=．()2211x y -+=．（2）32
【解题分析】
（1）先求解a,b ，消去参数ϕ，即得曲线1C 的直角坐标方程；再求解R ，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线2C 的直角坐标方程；
（2）由于OA OB ⊥，可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
，代入曲线1C 直角坐标方程，可得12,,ρρθ的关系，转化2222121111||||OA OB ρρ+=+2222cos sin sin cos 22θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得解. 【题目详解】
（1
）将1,2M ⎛ ⎝⎭及对应的参数4πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⋅⎩
得1cos 4sin 2
4a b ππ
⎧=⎪⎪⎪=⎪⎩
，即1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以曲线1C
的方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，ϕ为参数， 所以曲线1C 的直角坐标方程为2
212
x y +=． 设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的极坐标方程为
2cos R ρθ=（或()222x R y R -+=）， 将点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =， 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
所以曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=．
（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+
⎪⎝⎭
代入曲线1C 直角坐标方程， 可得222
211cos sin 12ρθ
ρθ+=，222222sin cos 12ρθρθ+=， 所以222212
1111||||OA OB ρρ+=+ 2222cos sin 3sin cos 222
θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【题目点拨】
本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。