湖南省湘潭市湘乡第一中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省湘潭市湘乡第一中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A. 2 B .4 C.8 D. 16
参考答案：
C
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：，此时不成立，结束循环，此时输出的S的值为8. 2. 过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为
( )
A．或 B．
C．或 D．或
参考答案：D
略
3. 函数f (x)=x+ln(x－1)的零点所在的区间为 ( )
A. （1，）
B. （，2）
C. （2，e）
D. (e，+∞)
参考答案：
A
4. 下列说法正确的是
有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，
四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，
有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，
以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥. 参考答案：
5. 设，“”是“复数为纯虚数”的（）
A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
B
考点：充分必要条件．
6. 已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，则对实数a、b，“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【分析】
本道题结合偶函数满足以及单调递增关系,前后推导,即可.
【详解】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在单调递增,得到,故可以推出.举特殊例
子,,但是,故由无法得到,故是
的充分不必要条件,故选A.
【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.
7. 已知a，b∈R，条件p：“a＞b＞0”，条件q：“2a＞2b+1”，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义以及指数函数的性质判断即可．
【解答】解：由条件p：“a＞b＞0”，再根据函数y=2x是增函数，可得 2a＞2b，
故条件q：“2a＞2b+1”不一定成立，故充分性不成立．
但由条件q：“2a＞2b+1”成立，能推出2a＞2b，得：a＞b，
条件p：“a＞b＞0”不成立，例如由 22＞20+1 成立，不能推出0＞0，
故必要性不成立．
故p是q的既不充分也不必要条件，
故选：D．
8. 若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=( )
A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．φ参考答案：
C
考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：通过函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解交集即可．
解答：解：因为集合A={x|={x|﹣1≤x≤1}，
B={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}，
所以A∩B={x|0≤x≤1}．
故选C．
点评：本题考查函数的定义域与函数的值域，交集的求法，考查计算能力．
9. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】规律型．
【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．
【解答】解：过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图： 则该几何体的左视图为C ． 故选：C ．
【点评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键．比较基础．
10. 展开式中不含项的系数的和为（ ）
（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 参考答案： B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设
是等比数列
的前项和，若
，则
．
参考答案：
1
12. 设集合A ＝{x||4x －1| 9,xR},B ＝{x| 0，xR},则AB ＝_____________
参考答案：
(－，－3)∪[，＋)
略
13. 已知集合A ={}，
，则
▲ .
参考答案：
14. 若
，则
参考答案：
15. 从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为__________. 参考答案：
略
16. 在
中，
，
是
的中点，若
，
在线段
上运动，则
下面结论正确的是____________.
①是直角三角形； ②的最小值为；
③
的最大值为； ④存在
使得
参考答案：
① ② ④
17. 在极坐标系中，圆C 的方程为ρ=2
，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴
建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数），则圆心C 到直线l 距离
为
．
参考答案：
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．
解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sinθ+2cosθ，
进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，
转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．
直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．
所以：圆心到直线的距离为：d=．
故答案为：
点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知在同一平面内的两个向量，，其中
.函数，且函数的最小正周期为.
⑴求函数的解析式；
⑵将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间.
参考答案：略
19. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；
（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；
（2）求圆C的极坐标方程．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）将参数方程代入m=3x+4y得到m关于参数φ得三角函数，利用正弦函数的性质得出m 的最值；
（2）先求出圆C的普通方程，再转化为极坐标方程．
【解答】解：（1）m=3（1+cosφ）+4sinφ=3+3cosφ+4sinφ=3+5sin（φ+θ）（sinθ=，
cosθ=）．
∵﹣1≤sin（φ+θ）≤1，∴﹣2≤m≤8．
即m的取值范围是[﹣2，8]．
（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0．
∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．
20. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，为直线l的倾斜角），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求时直线l的普通方程；
（2）直线l和曲线C交于两点A，B，点P的直角坐标为(2,3)，求的最大值.
参考答案：
（1）：x2+y2﹣4y＝0，：；（2）
【分析】
（1）把＝4sinθ两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可．
【详解】（1）由＝4sinθ，得2＝4ρsinθ，∴曲线的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．
当a＝时，直线过定点（2，3），斜率k＝﹣．
∴直线的普通方程为y﹣3＝﹣，即；
（2）把直线的参数方程为代入x2+y2﹣4y＝0，得t2+（2sina+4cosa）t+1＝0．设的参数分别为t1，t2.
所以t1+t2＝﹣（2sina+4cosa），t1t2＝1，则t1与t2同号且小于0，
由△＝（2sina+4cosa）2﹣4＞0，得2sina+4cosa＜﹣2或2sina+4cosa＞2．
∴|PA|+|PB|＝﹣（t1+t2）＝2sina+4cosa＝（tanθ＝2）．
∴|PA|+|PB|的最大值为．
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于中档题．
21. (本小题满分12分) 为了了解甘肃省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．
(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法
抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中
恰好没有第3组人的概率.
参考答案：
（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知n=, ∴ a=100×0.01×10×0.5=5，
b=100×0.03×10×0.9=27，…4分
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：
人；第4组：人…8分
（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，
(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，…….…10分
∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：. …….…12分
22. (本小题满分12分) 已知三点，曲线上任意一点满足：
．
（1）求曲线的方程；
（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为，问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若
存在，求及常数的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
（1）；（2），.
则
,又,
考点：1、
直接法求抛物线的标准方程；2、韦达定理及三角形面积公式.
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、切线方程及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参
数即可；④逆代法，将代入.。