【八年级上册数学培优竞赛-素养提升】专题13 直线在坐标系中的变换

专题13 直线在坐标系中的变换
【专题解读】直线的变换本质上就是点的变换，两点确定一条直线，我们只要抓住变换后！
直线上的两个特殊点就能求出变换后新直线的函数表达式，体现直线的本质。

同时，抓住平移、轴对称和旋转的基本特性，利用勾股定理等构建方程（组）解决计算问题. 思维索引
1．阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用特定系数法，求出这个一次函数的解析式．
有这样一个问题：直线1l 的解析式为26y x =-+，若直线2l 与直线1l 关于y 轴对称，求直线2l 的解析式． 下面是小明的解题思路，请补充完整．
第一步：求出直线1l 与x 轴的交点A 的坐标(3,0)，与y 轴的交点B 的坐标(0,6)； 第二步：在所给的平面直角坐标系中（图1)，作出直线1l ； 第三步：求点A 关于y 轴的对称点C 的坐标为(3,0)-；
第四步：由点B ，点C 的坐标；利用待定系数法，即可求出直线2l 的解析式． 小明求出的直线2l 的解析式是 ．
（1）若直线3l 与直线1l 关于直线y x =对称，求出直线的解析式；
（2）若点(,4)M m 在直线1l 上，过点M 作直线1l 的垂线A l ，求直线A l 的解析式．
【解答】解： ∴直线2l 的表达式为：26y x =+．
（1）∴直线3l 的表达式为：1
32y x =-+．
（2）∴直线A l 的表达式1722
y x =
+．
例2.直线l :y ＝－2x ＋1与x 轴、y 轴分别交于点A 、B .
（1）将直线l 平移后得到直线l 1，直线与坐标轴所围成的面积1，求直线的表达式； （2）求直线l 沿x 轴翻折后的直线l 2的表达式；
（3）将直线l 绕点B 逆时针旋转90°，求所得直线l 3的表达式. 【答案】（1）y ＝－2x ±2 （2）y ＝2x －1 （3）y ＝1
2x ＋1.
素养提升
1．已知函数(0)y kx b k =+≠的图象如图，则2(0)y kx b k =-+≠的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
2.在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线上的点的坐标是( )
A.（3，12）
B.（1，20）
C.（一0.5，26）
D.（一2.5，32） 【答案】D
3.直线y ＝kx ＋b （k ＜0）与x 轴交于点（3，0），关于x 的不等式x ＋2b ＞0的解是( ) A.x ＜6 B.x ＞6 C.x ＜0 D.x ＞0 【答案】A
4.一次函数y ＝（m 2－4）x ＋（1－m ）和y ＝（m ＋2）x ＋（m 2－3）的图像分别与y 轴交于点P 和点Q ，这两点关于x 轴对称，则m 的取值是( )
A.2
B.2或－1
C.1或－1
D.－1 【答案】D
5.在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y ＝x －3与y ＝x ＋k 的交点为整点时，k 的值可以取( )
A.2个
B.4个
C.5个
D.6个 【答案】C
6.直线y ＝kx ＋b 沿y 轴向上平移4个单位，得直线y ＝－2x ＋3，则k ＝ ，b ＝ 【答案】－2. －1
7.直线y ＝x ＋2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的表达式是 . 【答案】y=x －3
8.直线y ＝2x ＋1绕着原点O 旋转90°后所得直线的表达式为 . 【答案】y=－12x±1
2
9.如图，正方形ABCD 中，其中A （－1，1），D （－1，2），若直线y ＝－2x ＋b 与正方形有公共点，则b 的取值范围为 .
【答案】-3≤b ≤0:
10.如图，在等腰RI △ABO ，∠A ＝90°，点B 的坐标为（0，2），若直线l :y ＝mx ＋m （m ≠0）与AB 边所在的直线垂直，则m 的值为 . 【答案】1
11.一次函数y ＝2x ＋2的图像直线l 1与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，将直线l 1绕点A 顺时针旋转45°得到直线，求直线l 2对应的函数表达式. 【答案】y=13x+2
12．在平面直角坐标系中，直线4
:43
l y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，将AOB ∆绕点O 顺时针旋转
90︒后得到△A OB ''．
（1）求直线AB ''的解析式；
（2）若直线AB ''与直线l 相交于点C ，求△A BC '的面积． 【答案】（1）y=34x －3
（2）29425
13．（1）点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是 直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是 ； （2）直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式是 ；
（3）如图，已知点C 为直线y x =上在第一象限内一点，直线21y x =+交y 轴于点A ，交x 轴于B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移2个单位，求平移后的直线的解析式．
【解答】解：（1）(0,1)-，21221y x x =+-=-； （2）2(2)123y x x =-+=-； （3）y =2x －1
14．如图，直线1
:22
L y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点(0,4)N ，动点M 从A
点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动． （1）点A 的坐标： ；点B 的坐标： ；
（2）求NOM ∆的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；
（3）在y 轴右边，当t 为何值时，NOM AOB ∆≅∆，求出此时点M 的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，MGN ∆沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G 的坐标．
【解答】解： （1）(4,0)；(0,2)； （2）由题题意可知AM t =，
①当点M 在y 轴右边时，4OM OA AM t =-=-，
(0,4)N ，4ON ∴=，
11
4(4)8222
S OM ON t t ∴==⨯⨯-=-；
②当点M 在y 轴左边时，则4OM AM OA t =-=-，1
4(4)282S t t ∴=⨯⨯-=-；
（3）NOM AOB ∆≅∆，2MO OB ∴==，(2,0)M ∴； （4）2OM =，4ON =，
222425MN ∴+ MGN ∆沿MG 折叠，
NMG OMG ∴∠=∠，
∴
OG OM
NG MN =
，且NG ON OG =-， ∴
425OG OG =-，解得51OG =， 51)G ∴．
15．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知6
OA=，10
OB=．点D为y轴上一点，其坐标为(0,2)，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC CB
-的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求OPD
∆的面积S关于t的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B'恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使BDP
∆为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）则此时直线DP解析式为
4
2
3
y x
=+；
（2）①当点P在线段AC上时，2
OD=，高为6，6
S=；
当点P在线段BC上时，2
OD=，高为6102162
t t
+-=-，
1
2(162)216 2
S t t
=⨯⨯-=-+；
②设(,10)
P m，则PB PB m
='=，如图2，
10
OB OB
'==，6
OA=，
228
AB OB OA
∴''-，
1082
B C
∴'=-=，
6
PC m
=-，
222
2(6)
m m
∴=+-，解得
10
3 m=
则此时点P的坐标是
10
(
3
，10)；
（3）满足题意的P坐标为(6,6)或(6，272)或(6,1027)
-．。