高考数学专题复习：复数的三角表示

高考数学专题复习：复数的三角表示
一、单选题
1．
1-的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
C ．7π7π2sin i cos 66⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
2．已知复数z 满足4z z ⋅=且0z z +=，则19312021z +的值为（ ） A ．19762-
B ．39522-
C ．19762
D ．39522
3．设n 是正整数，分别记方程1n x =、()6
11x -=的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A 与B ．若存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，则n 的值可以是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
4．复数的(12i )6+(11i i -+)9
虚部为（ ）
A ．﹣i
B ．i
C ．1
D ．﹣1
5．已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点)，OZ 与实轴正向的夹角为120︒，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）
A ．1
B ．2
C ．1--
D ．1-
6．复数sin50cos50z i =-的辐角主值是（ ）
A ．50
B ．220
C ．310
D ．320
7．已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点)，OZ 与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）
A ．1
B ．2
C ．(1-
D ．－1
8．把复数3对应向量按顺时针方向旋转2
3
π，所得向量对应复数为（ ）
A ．
B ．－
C ．－3
D ．39．已知复数2i +和3i --的辐角主值分别为α、β，则()tan αβ+等于（ ）
A B ．C ．1-
D ．1
10．如果非零复数有一个辐角为74
π
-，那么该复数的（ ） A ．辐角唯一 B ．辐角主值唯一 C ．辐角主值为74
π-
D ．辐角主值为
74
π 11．复数isin10z =︒的三角形式为（ ） A ．cos10isin10︒+︒ B ．isin10︒
C ．()sin10cos90isin90︒︒+︒
D ．()sin10cos0isin0︒︒+︒
12．已知复数1z -的辐角为56π
，1z +的辐角为3
π，则复数z 等于（ ）
A ．12
B ．12-
C ．12
D ．12-
二、填空题
13．若复数1z 2cos isin 33ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，则12z z 的辐角的主值为______．
14．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1Z ，2Z ，3Z ，O (其中O 是原
点)，已知1Z 对应复数11z =.则1Z 和3Z 对应的复数的乘积13z z =________. 15．如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4
π后再把模变为原来的3
2倍
得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是________.
16．设1z ，2z ，3z 复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，()
3
12
z =+．若11z =，
21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为______．
三、解答题
17．已知复数12sin z θ=，()212cos i z θ=+，ππ,32θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦.
（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；
（2）若复数1z ，2z 对应的向量分别是a ，b ，存在θ使等式()()
0a b a b λλ+⋅+=成立，求实数λ的取值范围.
18．计算：
（1）8(cos
6π+i sin 6π)•2(cos 4π
+i sin 4π)； （2）[12(cos
74
π+i sin 74
π)]4
；
（3+i +i sin60°)； （4）2
4
4
cos
isin
π
π+.
19．若z C ∈，4233z z i +=+，sin cos (i ωθθθ=-为实数，i 为虚数单位． （1）求复数z ；
（2）求||z ω-的取值范围．
20．求复数1cos isin (2)z θθπθπ=++<<的模与辐角主值.
21．（110
10
12i ⎛+- ⎝⎭⎝⎭
；
（2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3
z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)2z z z --.
22．如图，分别以ABC 的两边AC BC ，为边向外作正三角形ACE 及BCD △，设AD BE ，交于F 用复数证明：AD BE =且60AFE ︒∠=.
参考答案
1．B
【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】
解：122122cos isin 233π
π⎛⎫⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎝⎭
． 故选：B ． 2．D 【分析】
首先根据条件求得复数z ，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值. 【详解】
设i x,y R z x y ∈=+（），
()()
22i i 4z z x y x y x y ⋅=+-=+=，即2z ==，
020z z x +=⇔+，解得：x =
224x y +=，y ∴=
当z =时，
3i 43322cos sin i 244z e π
ππ⎛⎫⎛
⎫
==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 则3952
3i 19312021
3952i2964422z
e e π
π+⎛⎫== ⎪⎝⎭
()()39522cos 2964isin 2964ππ=+⎡⎤⎣⎦
()395239522cos0isin02=+=，
当z =时，
i 422cos sin i 244z e π
ππ⎫⎛⎫=-=-+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
则3952
i 19312021
3952i988422z
e e π
π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
()()39522cos 988isin 988ππ=+⎡⎤⎣⎦
()395239522cos0isin02=+=，
故选：D 3．B 【分析】
根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合B ，再把选项中的值分别代入计算得到集合
A ，一一判断即可求解.
【详解】
由()6
11x -=，得()6
1cos 0isin 0x -=+， 即221cos
isin 66k k x ππ-=+，故22cos 1isin 66
k k x ππ
=++，k =0，1，2，4，5，
因此集合()311320,,,,,,2222B ⎧⎫⎛⎛⎛⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，.
当3n =时，同理得()111,0,,,22A ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=-- ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
， 此时不存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个， 同理可知4n =，6n =时，也不满足题意，故ACD 错； 当5n =时，得：
()224466881,0,cos ,sin
,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 55555555A ππππππππ⎧⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫⎛
⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎩⎭，
当122cos ,sin 55OZ ππ⎛
⎫
= ⎪⎝⎭
时，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，故B 正确. 故选B. 4．D 【分析】
分别计算66
1()()233
cos isin ππ=+=cos2π+i sin2π=1，2221(1)(
)[]111i i i --==++(﹣i )2=﹣1，即可得出. 【详解】
∵661()()233
cos isin ππ=+=cos2π+i sin2π=1，
2221(1)()[]111i i i --==++(﹣i )2=﹣1， ∴9411()(1)11i i i i --⎛⎫
=-=- ⎪++⎝⎭
i . ∴原式=1﹣i ，其虚部为﹣1. 故选：D 5．D
【分析】设复数z x yi =+，根据题意可得cos120||x OZ =︒，sin120||y OZ =︒，即可解决. 【详解】
设复数z x yi =+，
∵向量OZ 与实轴正向的夹角为120︒且复数z 的模为2，
∴1cos12021||2x OZ ⎛⎫=︒=⨯-=- ⎪⎝⎭，sin1202||y OZ =︒==
∴1z =-． 故选:D. 6．D
【分析】利用诱导公式化简可得出复数z 的辐角主值. 【详解】
()()sin 50cos50cos 9050sin 9050cos 40sin 40z i i i =-=---=- ()()cos 36040sin 36040cos320sin 320i i =-+-=+，
因此，复数z 的辐角主值为320. 故选：D. 7．D 【分析】
由复数对应向量与x 轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z 代数形式.
【详解】设复数z 对应的点为(x ,y )，则
1
||cos1202()12x z =︒=⨯-=-，||sin1202y z =︒==
∴复数z
对应的点为(1-，
∴1z =-． 故选：D. 8．C 【分析】
将复数3化成三角形式为11113[cos()sin()]66
z i ππ
=+，从而得到其对应向量绕原点O 按顺时针方向旋转23
π
后，所得向量对应的复数． 【详解】
因为111133[cos()sin()]66
i ππ
=+， 其对应向量绕原点O 按顺时针方向旋转
23
π
后，所得向量对应的复数为： 1121123[cos()sin()]6363
i ππππ
-+
-3=-.
故选：C ． 【点睛】
复数乘法的几何意义：复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的．在用到复数的三角表示式时，要先算出复数的模和辐角．求解时注意向量旋转的方向． 9．D
【分析】根据题意，得到11
tan ,tan 23
==αβ，结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】
由题意，复数2i +和3i --的辐角主值分别为,αβ，
则11tan ,tan 23
==αβ，所以 11
tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ+
++=
==--⨯. 故选：D. 10．B
【分析】由给出的非0复数有一个辐角为74
π
-，结合辐角主值的概念得答案． 【详解】
解：辐角主值的范围是[0，2)π，任何一个复数都有唯一的辐角主值， ∴非0复数有一个辐角为74π-
，则该复数有唯一的一个辐角主值4
π． 故选：B ． 11．C
【分析】根据复数的三角形式直接写出结果即可. 【详解】
因为isin10z =︒，所以sin10z =︒，辐角为90︒，所以复数isin10z =︒的三角形式为
()sin10cos90isin90︒︒+︒，
故选：C. 12．B
【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据辐角的定义得到方程组，解得即可； 【详解】
解：设()i ,z a b a b R =+∈， 因为11i z a b -=-+的辐角为56
π
，所以5tan 61b a π=
=- 因为11i z a b +=++的辐角为
3
π
，所以tan 31b
a π=
+
解得12a b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以12z =-
故选：B 13．
712
π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【详解】
1212cos isin cos isin 33244z z ππππ⎛
⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
cos isin cos isin 3344ππππ⎛
⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
2cos cos i cos sin isin cos i sin sin 34343434
ππππππππ=+++
cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛
⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝
⎭
1277cos sin i 12
ππ+=，
所以12z z 的辐角的主值为712
π. 故答案为：
712
π
.
14．2i - 【分析】
根据11z =判断点1Z 与x 轴正半轴的夹角，得到点3Z 与x 轴正半轴的夹角，即得复数3z ，再利用复数的乘法运算计算31z z 即可. 【详解】
设3Z 对应的复数为3z ，可得312z z ==，
复平面上点1Z 与x 轴正半轴的夹角为π3，则点3Z 与x 轴正半轴的夹角为5π6
，
所以35π5π2cos i sin i 66z ⎛
⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，
所以()()
13i 12i z z ==-.
故答案为：2i -.
15． 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数 【详解】
解：因为332i 2cos isin 22ππ⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭， 所以由题意可得1OZ 对应的复数为
3332cos isin
cos isin 22244ππππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
333cos isin 2424ππππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
553cos isin
44ππ⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭
3⎛⎫
=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
=，
故答案为：
16 【分析】
根据题意，将复数z 改写成三角形式，结合已知条件分别算出OB 、AOB ∠、OC 、和BOC ∠，
即可求解. 【详解】
由11z =，得1OA =，由()
312z =
，得3cos isin 33z ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
因21z z z =，所以213cos isin 33z z ππ⎛
⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即3OB =，且3AOB π∠=，
又因32z z z =，所以323cos isin 33z z ππ⎛
⎫=⋅+ ⎪⎝
⎭，即9OC =，且3BOC π∠=,
因此11sin sin 2323OABC AOB BOC
S S S
OA OB OB OC ππ=+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
.
.
17．（1）π
3θ=；（2）2λ≤-20λ-≤.
【分析】
（1）首先根据复数三角形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先表示出a 、b 的坐标，即可得到22a b +，a b ⋅，再根据平面向量数量积的运算律得
到()()
2
812sin 0λλθθ++-=，参变分类，根据正弦函数的性质得到2
12021λ
λ-
≤≤+，解得即可；
【详解】
解：（1
）()(
)(
)(122sin 12cos i 2sin 2sin 2i z z θθθθθ⋅=+=++∈⎡⎤⎣⎦R ， 12z z ⋅为实数
∴sin 2θ=
又ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2π3θ≤≤，∴22π3θ=，即π3θ=. （2
）因为12sin z θ=，()212cos i z θ=+
，所以(2sin ,a θ=，()1,2cos b θ=，所以22
224sin 314cos 8a b θθ+=+++=
2sin a b θθ⋅=-，
()()()()22
210a b a b a b a b λλλλ+⋅+=+++⋅=. 得(
)()2812sin 0λλ
θθ++-=， 整理得22πsin 13λθλ⎛⎫=-- ⎪+⎝
⎭. 因为ππ0,36θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 0,32θ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.只要212021λλ-≤≤+即可，
解得2λ≤-
20λ-≤≤.
18．（1）
i ；（2）﹣20736；（3
；（4
. 【分析】利用棣莫佛定理､三角函数求值即可得出.
【详解】
（1）原式
12i
i
i . （2）原式=124(cos7π+i sin7π)=﹣20736.
（3
）原式(cos300°+i sin300°
)=
(12
)=. （4
）原式)()(
)
111i i i -====+-. 19．（1
）1i 2z =
+；（2）[]0,2.
【分析】 (1)根据复数写出它的共轭复数，结合相等复数的性质即可得出结果.
(2)根据求模公式求出||z ω
-. 【详解】
（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i z a b =-.
因为42i z z +=
，所以4(i)2(i)i a b a b ++-=，
即62i i a b +=
，因此621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以1i 2z =+． （2）由（1
）知：1i 2z =
+，而sin i cos ωθθ=-⋅（θ为实数）
因此1||i (sin i cos )|2z ωθθ-=--
⋅1|sin )(cos )i |2
θθ=-++
=
1sin()16πθ-≤-≤，022sin()46
πθ∴≤--≤， 0||2z ω∴≤-≤，故||z ω-的取值范围是[]0,2．
20．2cos 2
r θ=-，arg 2z θπ=+ 【分析】把复数化为三角形式后可得结论．
【详解】因为2πθπ<<，
所以1cos isin z θθ=++22cos i 2sin cos 2cos (cos isin )222222θ
θ
θθθθ
=+⋅=+
2cos (cos isin )2cos cos isin 222222θθθθθθππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 此时2cos 02θ
->，[0,2)2θ
ππ+∈． 所以2cos
2z θ=-，arg 2z θπ=+． 21．（1
12+；（2
33cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭； 【分析】
（1
)cos sin 44i i ππ+=+，
1cos sin 266i i ππ⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，结合复数的三角形
式的乘方运算即可求值；（2）由题意得
11(cos sin )233
z i z ππ-=+，进而得到 z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.
【详解】
（110101010
11)22i i i i ⎛⎫⎛+-=-+++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而)1010101011cos sin cos sin 24466i i i i i i ππππ⎫⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-=-+++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭
∴原式55551cos sin cos sin 22332i i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；
（2）由题意知：11(cos sin )233z i z ππ-=+，所以 1z =，1z =，
∴()3332cos sin 244z z z i ππ⎫--+⎪⎭
【点睛】
本题考查了复数的三角形式，利用复数三角形式的乘方运算化简求值，并由已知复数的模、复角求目标复数的三角形式.
22．证明见解析
【分析】
设向量CB 对应复数()1cos sin z a i θθ=+，向量CE 对应复数()2cos sin z b i αα=+，分别表示出向量BE 与AD ，利用复数的运算法则即可得到结论.
【详解】
证明：设向量CB 对应复数为()1cos sin z a i θθ=+，则向量CD 对应的复数为
()()
cos 60sin 60a i θθ︒︒⎡⎤+++⎣⎦； 设向量CE 对应复数为()2cos sin z b i αα=+，
则向量CA 对应的复数为()()cos 60sin 60b a i a ︒︒⎡⎤+++⎣⎦；
∴向量BE CE CB =-对应复数为
()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin b i a i b a b a i ααθθαθαθ+-+=-+-， (BE b ∴=
=
=同理，2AD a =
=AD BE ∴=.
由BE 对应的复数为()()cos cos sin sin b a b a i αθαθ-+-，DA 对应的复数为
()()()()60cos 6060sin 60bcos a a bsin a a i θθ︒︒︒︒⎤⎡⎤+-+++-+⎦⎣⎦，且两复数模相等，易知DA 对应复数是由BE 对应复数逆时针旋转60︒得到的，
又由图可知BE 对应复数逆时针旋转AFE ∠可得DA 对应复数，
60AFE ︒∴∠=.
【点睛】本题考查复数的三角形式，复数的模，复数的运算法则，属于难题.。