高一物理必修二-功、功率-学生笔记

功和功率
一．功
1.功的定义：物体受力的作用，并沿力的方向发生一段位移，就说力对物体做了功．力对物体做功是和某个运动过程有关的．功是一个过程量，功所描述的是力对空间的积累效应．
2.功的两个要素：力F 和沿力的方向发生位移l ．
两个要素对于功而言缺一不可，因为有力不一定有位移；有位移也不一定有力．
特别说明：力是在位移方向上的力；位移是在力的方向上的位移．如物体在光滑水平面上匀速运动，重力和弹力的方向与位移的方向垂直，这两个力并不做功．
3.功的计算式：cos W Fl α=．在计算功时应该注意以下问题：
（1）上式只适用于恒力做功．若是变力，中学阶段一般不用上式求功．
（2）式中的l 是力的作用点的位移，也是物体对地的位移．α是F 方向与位移l 方向的夹角．
（3）力对物体做的功只与F 、l 、α三者有关，与物体的运动状态等因素无关．
（4）功的单位是焦耳，符号是J ．
4.
功是标量，只有大小没有方向，因此合外力的功等于各分力做功的代数和（也就是带上正负号相加）．5.物理学中的“做功”与日常生活中的“工作”含义不同．
例如：一搬运工在搬运货物时，若扛着货物站着不动不算做功；扛着货物水平前进不算做功；而在他拿起货物向高处走时就做功了．所以力对物体做功必须具备两个要素：力和在力的方向上有位移．
6.功的正负
（1）正负功：力对物体做正功还是负功，由F 和l 方向间的夹角大小来决定．根据cos W Fl α=知：当0°≤α＜90°时，cosα＞0，则W ＞0，此时力F 对物体做正功
当α＝90°时，cosα＝0，则W ＝0，即力对物体不做功
当90°＜α≤180°时，cosα＜0，则W ＜0，此时力F 对物体做负功，也叫物体克服这个力做功
（2）功的正负的物理意义：因为功是能量转化的量度，是描述力在空间位移上累积作用的物理量。

而能量是标量，故相应地，功也是标量．功的正负有如下含义：
意义动力学角度
能量角度正功
力对物体做正功，这个力对物体来
说是动力力对物体做功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功力对物体做负功，这个力是阻力，
对物体的运动起阻碍作用物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，即负功表示物体失去了能量
说明不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方
向与位移方向相反．一个力对物体做了负功，往往说成物体克服这个力做了功(取绝
对值)，即力F 做负功-Fs 等效于物体克服力F 做功Fs
7.功的计算方法：
（1）一个恒力F 对物体做功W ＝F·lcos α有两种思考角度：一种是W 等于力F 乘以物体在力F 方向上
的分位移lcosα，即将物体的位移分解为沿F 方向上和垂直于F 方向上的两个分位移l ∥和l ⊥，则F 做的功cos W F l Fl α=⨯=∥；一种是W 等于力F 在位移l 方向上的分力Fcosα乘以物体的位移l ，即将力F 分解为沿l 方向上和垂直于l 方向上的两个分力∥F 和⊥F ，则F 做的功
cos W F l F l α=⨯=⨯∥．
功的正、负可直接由力F 与位移l 的夹角α的大小或力F 与物体速度v 方向的夹角α的大小判断．
（2）总功的计算
虽然力、位移都是矢量，但功是标量，物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
①先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F 合，然后由cos W F l α=合计算．
②由cos W Fl α=计算各个力对物体做的功W 1、W 2、…、n W ，然后将各个外力所做的功求代数和，即12n W W W W =+++合……（带正负号进去）．
8.相互作用力所做的功：
（1）作用力与反作用力特点：大小相等、方向相反，但作用在不同物体上．
（2）作用力、反作用力作用下物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向同一方向运动，也可能一个运动，而另一个静止，还可能两物体都静止．
（3）由cos W Fl α=不难判断，作用力做的功与反作用力做的功没有必然的关系．一对作用力和反作用力可以均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功．
9.变力做功的计算：
恒力做的功可直接用功的公式cos W Fl α=求出，变力做功一般不能直接套用该公式，但对于一些
特殊情形应掌握下列方法：
（1）将变力做功转化为恒力做功．
①分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功．
②用转换研究对象的方法．
利用cos W Fl α=进行计算，如图所示，人站在地上以恒力F 拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功．拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但细细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功．
（2）方向不变，大小随位移线性变化的力，可用平均力求所做的功．
（3）用图像法求解变力做功问题．
我们可以用图像来描述力对物体做功的大小．以Fcosα为纵轴，以l 为横轴．当恒力F 对物体做功时，由Fcosα和l 为邻边构成的矩形面积即表示功的大小，如图(a)所示．
如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和，如图(b)所示．
二．功率
1．物理意义：功率是表示做功快慢的物理量.所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢.
2．功率的大小：力做的功和做这些功所用时间的比值叫功率，即P=
t W .（1）W P t
=是求一个力在t 时间内做功的平均功率.想想你们期末考前的复习效率.（2）由W P t
=
得αcos Fv P =，它有两种用法：
①求某一时刻的瞬时功率.这时F 是该时刻的作用力大小，v 取瞬时值，对应的P 为F 在该时刻的瞬时功率；
②求某一段时间内的平均功率.当v 为某段时间（位移）内的平均速度时，要求在这段时间（位移）内F 为恒力，对应的P 为F 在该段时间内的平均功率.
3.说明
（1）功率和功一样，它也是属于力的.说到“功率”必须说是哪个力的功率.如：重力的功率、拉力的功率、阻力的功率、弹力的功率等.
（2）平均功率描述的是做功的平均快慢程度，因此说平均功率必须说明是哪段时间（或哪段位移上）的平均功率.而瞬时功率描述的是做功瞬间的快慢程度，因此说瞬时功率必须说明是哪个时刻（或哪个位置）的瞬时功率.
（3）在国际制单位中功率的单位是W （瓦）.3
1W=1J/s 1kW=10W
，（4）功率是标量.功率的正负（仅由α角决定）表示是力对物体做功的功率还是物体克服外力做功的功率.
（5）重力的功率可表示为P G =mgv y ，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积.
4.额定功率与实际功率
发动机铭牌上的功率即为额定功率，它是指动力机械正常工作时的最大输出功率；
实际功率是机械实际工作时的功率.
正常工作时，机器的实际功率不应超过它的额定功率值.5.关于汽车的运动分析（机车启动问题，学完动能定理再说）
（1）对机车等交通工具类问题，应明确P ＝F·v 中，P 为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或等于其额定功率；F 为发动机(机车)的牵引力；v 为机车的瞬时速度．
（2）机车以恒定功率启动的运动过程中：
故机车达到最大速度时a ＝0，f F F =，m f m P Fv F v ==，这一启动过程的v t -关系图像如图所示：
（3）机车以恒定加速度启动的运动过程中：
设机车保持以加速度a 做匀加速直线运动的时间为t ：()f F v P F ma at P =⇒+=．
则/()f t P a F ma =+，此时速度/()f v at P F ma ==+．
这一启动过程的v t -关系图像如右上图所示．
（4）说明：
①当发动机的功率P 恒定时，牵引力与速度v 成反比，即1F v
∝，但不能理解为v 趋于零时牵引力F 可趋近于无穷大；也不能理解为当F 趋于零时v 可趋于无穷大，要受到机器构造上的限制.
②用P=Fv （此时cosα=1）分析汽车的运动时，要注意条件.如果汽车启动时可以看作匀加速直线运动，阻力可看作大小不变的力，则汽车的牵引力F 的大小不变，由P=Fυ可知发动机的功率是逐渐增大的.但是当功率达到额定功率时不再增大，由P=Fυ可知牵引力F 将逐渐减小，即汽车启动时做匀加速运动的时间是有限度的.在发动机功率不变的条件下，汽车加速运动的加速度将不断减小.
动能、重力势能、弹性势能一．动能是什么
1.动能：
（1）概念：物体由于运动而具有的能叫动能．物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半．
（2）定义式：212
k E mv =，v 是瞬时速度．单位：焦(J)．（3）动能概念的理解．
①动能是标量，且只有正值
②动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能
③动能具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同
的动能，一般都以地面为参考系研究物体的运动
2.动能的变化：
动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负．“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量，12k k k E E E -=∆．k E ∆为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；k E ∆为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功．
二．重力势能
1.重力做功的特点：重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．物体沿闭合的路径运动一周，重力做功为零．
如物体由A 位置运动到B 位置，如图所示，A 、B 两位置的高度分别为h 1、
h 2，物体的质量为m ，无论从A 到B 路径如何，重力做的功均为：
cos G W mgl α=＝mgh ＝mg(h 1-h 2)＝mgh 1-mgh 2．
2.重力势能
（1）定义：物体由于被举高高而具有的能量（例如举到8844上面）．
（2）公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，P E mgh =，h 是物体重心到参考平面
的高度．单位：焦(J)．1J ＝21kg m s 1N m m -∙∙∙=∙．
（3）因为高度本身就是一个相对的量，故而重力势能具有相对性，它的数值与参考平面的选择有关．参
考平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面．
在参考平面内的物体，E P ＝0；在参考平面上方的物体，E P ＞0；在参考平面下方的物体，E P ＜0．
（4）重力势能是标量，它的正、负值表示大小．（功的正负又有什么意义？）
（5）重力势能是地球和物体（系统）共有的．
3.重力势能的变化却是绝对的
（1）尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量与参考平面的选择无关，这体现了它的绝对性．
（2）重力势能的计算公式mgh E p =，只适用于地球表面及其附近g 值不变时的范围，若g 值变化时，不能用其计算．
4.重力做功和重力势能改变的关系：
假设有两个高度1h 和2h （21h h ＞），则2
211p p E mgh mgh E ==＞物体从1h 运动到2h ，即从高往低处走，则重力做了正功，系统的重力势能减小；写成表达式：0)(21＞h h mg h mg W G -=∆=，也
就是2
1p p G E E W -=（初位置势能－末位置势能）物体从2h 运动到1h ，即从低往高处走，
则重力做了负功，系统的重力势能增加.写成表达式：0)(12＜h h mg h mg W G -=∆=，也就是12p p G E E W -=（初位置势能－末位置势能）
换句话说，重力做功与重力势能的该变量之间的关系为：p
p p G E E E W ∆-=-=末初
三．弹性势能
1.弹性势能：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能.
2.弹性势能的大小跟①形变的大小有关，形变量越大，弹性势能越大；②与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大.
3.弹性势能的表达式：212P E k l =∆
4.弹力做功跟弹性势能变化的关系：
当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增加，其他形式的能转化为弹性势能.这一点与重力做功跟重力势能变化的关系p p p G E E E W ∆-=-=末初一样：p p p E E E W ∆-=-=末初弹.
动能定理及其应用
一．动能定理
1.
内容表述：一个过程中，合外力对物体所做的总功等于这个过程物体功能的变化．2.表达式：21k k W E E =-，W 是合外力所做的总功，1k E 、2k E 分别为初、末状态的动能．若初、末
速度分别为v 1、v 2，则12112k E mv =，22212
k E mv =．3.物理意义：动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化．变化的大小由做功的多少来量度．动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系，即做功的过程是能量转化的过程．等号的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，并不意味着“功就是动能增量”，也不是“功转变成动能”，而是“功引起物体动能的变化”．
4.动能定理的理解及应用要点：
①动能定理既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程．
②动能定理既适用于物体做直线运动情况，也适用于物体做曲线运动情况．
③动能定理的研究对象既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的一个系统．
④动能定理的研究过程既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对运动的全过程．⑤动能定理的计算式为标量式，v 为相对同一参考系的速度．
⑥在21k k W E E =-中，W 为物体所受所有外力对物体所做功的代数和，正功取正值计算，负功取
负值计算；21k k E E -为动能的增量，即为末状态的动能与初状态的动能之差，而与物体运动过程无关．
二．应用动能定理解题的基本思路和应用技巧
1.应用动能定理解题的基本思路
（1）选取研究对象及运动过程；
（2）分析研究对象的受力情况及各力对物体的做功情况：受哪些力？哪些力做了功？正功还是负功？然后写出各力做功的表达式并求其代数和；
（3）明确研究对象所历经运动过程的初、末状态，并写出初、末状态的动能1K E 、2K E 的表达式；
（4）列出动能定理的方程：21K K W E E =-合，且求解.
2.动能定理的应用技巧
（1）由于动能定理反映的是物体在两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制.
（2）一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而往往用动能定理求解简捷；可是有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解.可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识.。