2017级高数一期末A解答(理工类多学时)(1)

2017级本科高等数学A （一）期末试题解答与评分标准A
（理工类多学时）
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．数列极限2
lim (1)n n n n →∞
+-的值为（ B ）.
A ．0；
B ．
1
2
； C ．1； D ．∞. 2．若函数1cos ,0(),0x
x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
在0x =处连续，则（ A ）. A . 12ab =
； B . 1
2
ab =-； C . 0ab =； D . 2ab =. 3．已知函数()sin f x x x =，则(0)f '的值为（ B ）. A ．1-； B ．0； C ．1； D ．不存在.
4．已知函数3
2
()26187f x x x x =---，则在[1,4]上的最大值为（ D ）. A . 3； B . 61-； C . 47-； D . 29-. 5．设
2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ C ）.
A ．22
2(1)x C -+； B ．22
2(1)x C --+；
C ．221(1)2x C -
-+； D ．221
(1)2
x C -+. 6．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度为2
21x x ρ=-++，则该细棒的质量为（ A ）. A .
53； B . 7
3
； C . 1； D . 2. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．()
6sin 0
lim 13k
x
x x e →+=（其中k 为常数），则k =2.
8. 曲线2
2ln y x x =+在拐点处的微分dy =4dx . 解：2
22
222(1)(1)2ln 22x x y x x y x y x x x +-'''=+⇒=+
⇒=-=， 2
2(1)(1)
01,1x x y x x x
+-''=
=⇒==-（舍），且1,0;1,0x y x y ''''>><<，所以，拐点为（1,1），此处的微分为11
2(2)
4x x dy x dx dx x
===+=
9．
3
22
(sin
)x x dx π
ππ-
+-=
⎰3
2
π．
10．
2
0sin()x d x t dt dx
-=⎰2sin x . 11．D 是曲线段sin (0)2
y x x π
=≤≤
及直线0,2
y x π==
所围成的平面图形，则D 绕x 轴
旋转所得的旋转体的体积为2
4
π.
12．已知()y f x =的图像过点(0,0)，且与x
y a =相切于点(1,2)，则
10
()xf x dx ''=⎰
2ln 22-.
解：因为()y f x =的图像过点(0,0)，所以，(0)0f =；
而x
y a =过点(1,2)，所以12a =，即2a =，曲线为2x
y =，它在点(1,2)的切线的斜率为
(1)2ln 2k y '==，又()y f x = x y a =相切于点(1,2)，所以(1)2f =，(1)2ln 2f '=，则
11
1
1
1
00
()()()()(1)()xf x dx xdf x xf x f x dx f f x ''''''==-=-⎰
⎰⎰
(1)(1)(0)2ln 22f f f '=-+=-
三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 13. 求极限20
cos lim
arcsin 5x x t dt
x
→⎰
.
解：原式20
cos =lim
5x x t dt x
→⎰ （3分）
2
0cos lim 5
x x →= （3分） =
1
5
（2分） 14. 已知曲线()y y x =由方程1y
y xe =+确定，求该曲线在点(1,0)-处的切线方程. 解：方程两边关于x 求导得：
y y y e xe y ''=+ （2分）
1y
y
dy e dx xe =- （2分）
1
2
dy dx =（-1,0) （2分）
则过点(1,0)-的切线方程为：1
(1)2
y x =
+，即21y x =+ . （2分） 15. 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t
⎧=+⎨=⎩确定，求22
t d y
dx =.
解：
cos 1t
dy dy dt t
dx dx dt e ==+ （3分） 2223
sin (1)cos 1sin (1)cos ==(1)1(1)t t t t t t t d y t e e t t e e t
dx e e e -+--+-⋅+++ （3分） 22
1
=8t d y dx =- （2分）
16. 求不定积分e x x dx -⎰
.
解：原式x xde -=-⎰
x x xe e dx --=-+⎰
（4分）
x
x xe
e C --=--+
(1)x x e C -=-++ （4分）
17. 求定积分
1cos 2x dx π
+⎰
．
解：
1cos 2x dx π
+⎰
20
2cos xdx π
=⎰
2
2
2(cos cos )xdx xdx ππ
π=-⎰⎰ （4分）
20
2
2(sin sin )x
x ππ
π=-
22= （4分）
18. 求反常积分
2
5
1
43
dx x x +∞-+⎰
．
解：
25
51143(1)(3)
dx dx x x x x +∞+∞=-+--⎰
⎰ 5111
()231
dx x x +∞=
---⎰ 5
13
ln
21
x x +∞
-=- （4分）
ln 2
2
=
（4分） 19. 已知曲线2
:(0)L y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ．设P 是L 上的动点，S 是直线OA
与直线AP 及曲线L 所围图形的面积．若P 运动到点(2,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此 时S 关于时间t 的变化率．
解：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则
1(1)2y S ydy y y =+-⎰
3211+
62y y =311
62
x x =+， 或者22
200(1)(1)22x x y x x x S x dx x dx ++=
-=-⎰⎰31126
x x =+， （4分） 所以
2()1122dS t dx dx
x
dt dt dt
=+， （2分） 又
(2,4)
=4dx dt
，
故
2(2,4)
()11
424=1022
dS t dt
=⋅+⋅⋅． （2分） 解法二：设在t 时刻，P 点的坐标为((),())x t y t ，则
22
200(1)(1)22
x x y x x x S x dx x dx ++=-=-⎰⎰， （4分）
22()1(3)2dS t dx dx dx
x x dt dt dt dt
=+-， （2分） 故
(2,4)
()1
(4344)44=102
dS t dt
=+⋅⋅-⋅． （2分） 20. 设(0,1)x ∈，证明：2
2
(1)ln (1)x x x ++<．
解：令2
2
()(1)ln (1)g x x x x =++-，则 （2分）
2()ln (1)2ln(1)2g x x x x '=+++-，2
()[ln(1)]1g x x x x
''=
+-+， （2分） 又由拉格朗日中值定理有，
ln(1)ln(1)ln11x
x x x ξ
+=+-=
<+，(0,01)x x ξ<<<< （或者令()ln(1)h x x x =+-，用单调性证明()(0)0h x h <=．） 则()0,(0,1)g x x ''<∈，所以()g x '在(0,1)上单调减少， 又(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g ''<=，
从而()g x 在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，
故有2
2
(1)ln (1)x x x ++<． （4分）。