灞桥区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

灞桥区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
2． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}01
2
|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[
【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.
3． 已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D 满足=t
+（1﹣t ）
，若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）
A ．
B ．
﹣
C ．
﹣1
D ．
4． 图
1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的
取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）
A ．3
1,42⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．33,48
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．
6． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为2
1
-
，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．56
7． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜3
9． 数列{a n }满足a 1=， =﹣1（n ∈N *
），则a 10=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知A={﹣4，2a ﹣1，a 2}，B={a ﹣5，1﹣a ，9}，且A ∩B={9}，则a 的值是（ ）
A ．a=3
B ．a=﹣3
C ．a=±3
D ．a=5或a=±3
11．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．给出以下四个说法：
①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
②线性回归直线一定经过样本中心点，；
③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）=；
④对分类变量X 与Y 它们的随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“与X 与Y 有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为
．
14．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．
15．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．
16．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=
，且|ω|=5
，则复数ω= ．
17．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．
18．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为．
三、解答题
19．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的
最小值和最大值．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
21．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点(2,0)且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C 交于A ，B 两点与曲线C 交于E ，F 两点， 线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点P ，并求出定点P 的坐标．
22．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
23．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BD
CE ；
（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长
24．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
灞桥区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
2．【答案】C
3．【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；
若设AC=BC=a，则由得，CE=ta，CF=（1﹣t）a；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
故选：A．
【点评】考查当满足时，便说明D，A，B三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义．
4．【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念.
5．【答案】B
6．【答案】D
【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.
7．【答案】
D
【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，
故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，
故目标被击中的概率为1﹣=，
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，
属于基础题．
8．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
9．【答案】C
【解析】解：∵=﹣1（n∈N*），
∴﹣=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为=﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n﹣1）=﹣n﹣1，
∴a n=1﹣=．
∴a10=．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
∴2a﹣1=9或a2=9，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；
∴a=﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
11．【答案】B
【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，
其中恰有两个球同色C 31C 41
=12种，
故恰有两个球同色的概率为P==，
故选：B ．
【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错；
②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确；
③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）=，正确；
④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B ．
【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X ，Y 的关系，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】若1x <，则2421x x -+<- 【解析】
试题分析：若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定． 考点：否命题.
14．【答案】 ∃x 0∈R ，都有x 03＜1 ．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x ∈R ，都有x 3
≥1”的否定形式为：命题：“∃x 0∈R ，
都有x 03
＜1”．
故答案为：∃x 0∈R ，都有x 03
＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
15．【答案】
．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23
=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
16．【答案】±（7﹣i）．
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．
又ω===，|ω|=，∴
．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±=±（7﹣i）．
故答案为±（7﹣i）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
17．【答案】4．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，
故共有4个，
故答案为：4．
18．【答案】70．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，
所以二项式=展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C8r x8﹣2r
令8﹣2r=0得r=4
则其常数项为C84=70
故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
于是f（θ）===2
（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
因为P∈Ω，所以0≤θ≤，
∴f（θ）==，
且，
故当，即时，f（θ）取得最大值2；
当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．
【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD ⊥底面ABCD ，
∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC ⊥平面PDB ．
（Ⅱ）解：设AC ∩BD=O ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE ∥PD ，
，
又∵PD ⊥底面ABCD ， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，
在Rt △AOE 中，
，
∴∠AEO=45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
21．【答案】（１） 24y x ；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,
(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)
0)((0)('
'<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('
x f 不恒等于的参数的范围．
22．【答案】
【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C 的方程为（a ＞0，b ＞0），且可知左焦点为
F （﹣2，0），从而有
，解得c=2，a=4，
又a 2=b 2+c 2，所以b 2
=12，故椭圆C 的方程为
．
（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=x+t ，
由得3x 2+3tx+t 2
﹣12=0，
因为直线l 与椭圆有公共点，所以有△=（3t ）2
﹣4×3（t 2
﹣12）≥0，解得﹣4
≤t ≤4，
另一方面，由直线OA 与l 的距离4=，从而t=±2，
由于±2
∉[﹣4
，4
]，所以符合题意的直线l 不存在．
【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考
查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
∴
DE DC BC BA =BC AB
=，则2
4BC AB DE =⋅=，∴2BC =． ∴在Rt ABC ∆中，1
2
BC AB =，∴30BAC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，
∴在Rt ABD ∆中，30ABD ∠=︒，所以1
22
AD AB ==．
24．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解： （Ⅰ）由1)cos 2cos a B b A c -=及正弦定理得
1)sin cos2sin cos sin sin cos+cos sin
A B B A C A B A B
-==，（3分）
cos3sin cos
A B B A
=
，∴tan
tan
A
B
=6分）
（Ⅱ）tan A B
==
3
A
π
=
，
sin4
2
sin sin
3
a B
b
A
π
π
===，（8分）
sin sin()
C A B
=+=，（10分）
∴ABC
∆
的面积为111
sin2(3
222
ab C==（12分）。