2023-2024学年湖北省襄阳市高三下学期高考适应性考试数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省襄阳市高三下学期高考适应性考试数学试题
一、单选题
1．“A B ⊆”是“A B A = ”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】由A B A A B ⋂=⇔⊆即可得出答案【详解】因为A B A A B ⋂=⇔⊆所以“A B ⊆”是“A B A = ”的充要条件故选：C
本题考查的是充要条件的判断，较简单.2．复数2i(1i)z =+的虚部为（）
A ．2-
B ．2
C ．2i
-D ．2i
【正确答案】B
【分析】根据复数的乘法运算，即可求得答案.
【详解】由于2i(1i)22i z =+=-+，所以2i(1i)z =+的虚部为2，故选：B
3．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3
n 个图中阴影部分的面积为
A 1n +
B ．
3()62
n
⋅C ．
3()44
n ⋅D ．
3(34
n ⋅【正确答案】D
【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的
3
4
，根据等比数列公式得到答案.
【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的34，即面积为首项为4
，公比为
3
4
的等比数列，
故第n 1
33()44
n n -⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
.故选：D.
本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．6
212x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项是（
）
A ．250-
B ．240
-C ．250
D ．240
【正确答案】D
【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于0，即可求得答案.【详解】由题意得二项式的通项公式为666216
621C (2)
C 2(1)r
r
r
r r
r r r r T x x x x ----+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭
63666C 2(1,0,,,)1,2r r r r x r --==⋅⋅⋅- ，
令630,2r r -=\=，则常数项为242
36C 2(1)240T =⋅⋅-=，
故选：D
5．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，动点M 满足2=MA MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线():1l y k x b =-+与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是（
）
A ．33⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦B ．33⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎢⎣
⎦D ．44,33⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【正确答案】C
【分析】设点(),M x y ，求出动点M 的轨迹圆C 的方程，再求出直线l 过定点坐标，依题意
点()1,b 在圆C 的内部，即可得到不等式，解得即可.
【详解】设点(),M x y ，2MA MO = ，2222(2)44x y x y ∴++=+，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：2233440x y x +--=，又直线():1l y k x b =-+恒过点()1,b ，
若对任意实数k 直线():1l y k x b =-+与圆C 恒有公共点，
()1,b ∴在圆C 的内部或圆上，所以23380b +-≤，所以235b ≤，解得33
b -≤≤，
即b 的取值范围为⎡⎢⎣⎦
.故选：C
6．一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（）A ．120种B ．60种C ．40种
D ．20种
【正确答案】A
【分析】把3人连同他的座位一起插入另5个座位形成的6个空隙即可.
【详解】依题意，把3人连同他的座位一起插入另5个座位形成的6个空隙中，有3
6A 120
=种.故选：A
7．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，记ABC 的面积为S ，若26c S =，则a b
的最小值为（）
A ．1
2
B ．
32
C ．1
D 3
【正确答案】B
【分析】利用余弦定理和三角形面积公式得222cos 3sin a b ab C ab C +=+，再对上式两边同除ab ，结合正弦函数有界性即可求出a
b
的范围.
【详解】22
16,6sin 3sin 2
c S c ab C ab C =∴=⨯= ，
由余弦定理知：2222cos c a b ab C =+-，则222cos 3sin a b ab C ab C +-=，即222cos 3sin a b ab C ab C
+=+
两边同除ab
有(
)2cos 3sin sin a b
C C C b a
ϕ+=++2tan 3ϕ=，
设
,0a x x b =>
，即133
022x x x +<+≤≤≤，a
b ∴
最小值为32
.故选：B.
8．已知焦点在x 轴上的椭圆22
2:1(0)4x y C b b
+=>的内接平行四边形的一组对边分别经过其
两个焦点（如图所示），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则b 的取值范围是（
）
A ．()0,2
B ．()
1,2C
．)
D ．[)
1,2【正确答案】C
【分析】解法1、设直线AB 为x ty c =-
，联立方程组，利用弦长公式求得
2222
2ab AB b t a
+，求得直线AB 与CD
的距离为d =ABCD
的面积为4S abc =
m b =≥
22
m m c
=+，转化为2
c m m +的值最小即可，结合函数的单调性和椭圆的性质，即可求解.
解法2、设直线AB 的倾斜角为θ，求得2
2222cos θ
=-ab AB a c ，原点O 的距离为sin d c θ=，
得到矩形面积222
si 4n 4cos OAB b abc a c S S θ
θ
==⨯-，设sin t b θ=，得到222222sin 1
cos b b a c c t t b
θθ=-+，结合基本不等式的成立的条件，得到b c ≥，进而求得实数b 的取值范围.【详解】解法1：设AB 所在直线方程为x ty c =-且()()1122,,,A x y B x y 联立方程组22214x ty c x y b
=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()
222224
620t a y b tcy b +--=，
可得24121222222
22,b c b y y y y b t a b t a +-+==++
，所以22222ab AB b t a
+，
由直线CD 方程为x ty c =+，所以直线AB 与垂线CD
的距离为d =
矩形ABCD
的面积为4S AB d abc
=⋅=m b =≥，则2222b t m b =-2221m
c m c m m
==++
，要使S 最大，则只需2
1
c m m
+的值最大，即2c m m
+的值最小即可，
当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，即当0=t 时，有S 最大值，
即m b =时，2
c m m
+的值最小，
由双勾函数性质2
c y m m =+在()0,c 上单调递减，在区间(),c +∞为单调递增，
又由m b ≥，当m b =
时，2
c m m
+有最小值，
所以b c ≥，所以22b c ≥，可得2
24b b ≥-，即224b ≥，解得22b ≥，所以b ≥又因为24b ≥，解得2b <，所以实数b 的取值范围是
)
2.
解法2：设AB 所在直线方程为x ty c =-且()()1122,,,A x y B x y 联立方程组22214x ty c x y b
=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()
222224
620t a y b tcy b +--=，
可得2412
1222222
22,b c b y y y y b t a b t a +-+==++，所以22222ab AB b t a
+，设直线AB
的倾斜角为θ，可得1
tan t θ
=，即1tan =t θ
，
代入上式，化简得2
222
2cos θ
=-ab AB a c ，又由原点O 的距离为sin d c θ
=，所以矩形ABCD 的面积：
22222
2
2sin sin 4co 114442s cos 2OAB ab S S AB d b c abc a c a c θ
θθθ⋅===⨯⋅=⨯⨯⨯--，设sin t b θ=，则t b ≤，且22
2sin t b
θ=，可得22
2cos 1t b θ=-，
则22222
2
2
2
2
22222
22
2
2
sin 1
co (()1s )
b t t t b a
c a c a t t c t c t b
b
b c b t b θ
θ
=
=
=
=
----+++
，
要使S 最大，则只需2
2
2
1
c b t t b +的值最大，即222c b t t
b +的值最小即可，
当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，即当0=t 时，有S 最大值，
即t b =时，222c b t t
b
+的值最小，
因为2222b c t c b t ≥+=，当且仅当222c b t t b =时，即2b t c =，
所以2
b b c
≥，即b c ≥，所以22b c ≥，可得224b b ≥-，即224b ≥，解得22b ≥，所以b
又因为24b ≥，解得2b <，所以实数b 的取值范围是)
2.
故选：C.
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
二、多选题
9．下列命题正确的有（
）
A ．空间中两两相交的三条直线一定共面
B ．已知不重合的两个平面,αβ，则存在直线,a b αβ⊂⊂，使得,a b 为异面直线
C ．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
D ．过平面α外一定点P ，有且只有一个平面β与α平行【正确答案】BD
【分析】根据平面的确定可判断A ；根据平面与平面的位置关系结合异面直线的概念可判断B ；根据棱柱的概念可判断C ；根据线面垂直的性质结合面面平行的判定可判断D.【详解】对于A ，空间中两两相交的三条直线交于同一点时，可能共面也可能不共面，A 错误；
对于B ，不重合的两个平面,αβ，可能平行或者相交，
不论是平行还是相交，都存在直线,a b αβ⊂⊂，使得,a b 为异面直线，B 正确；对于C ，如图示几何体满足两个平面平行，其他各个面都是平行四边形，
但该几何体不是棱柱，C 错误；
对于D ，由于过平面α外一定点P ，有且只有一条直线m 与平面α垂直，过点P 有且只有一个平面β与m 垂直，则βα∥，
故过平面α外一定点P ，有且只有一个平面β与α平行，D 正确，故选：BD
10．已知事件,,A B C 满足()0.6P A =，()0.2P B =，则下列结论正确的是（）
A ．如果()1P A
B
C = ，那么()0.2
P C =B ．如果B A ⊆，那么()0.6P A B ⋃=，()0.25P B A =C ．如果A 与B 互斥，那么()0.8P A B = D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.32P A B ⋅=【正确答案】CD
【分析】古典概型、条件概率、互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式的运用。

【详解】对于选项A ，设一个盒子里有标号为1到10的小球,从中摸出一个小球,记下球的编号,
记事件A=“球的编号是偶数”，事件B=“球的编号是1，2，3”，事件C=“球的编号是奇数”满足()1P A B C = ,但是()0.5,P C =选项A 错误;
对于选项B ，如果B A ⊆,那么()()()()()
P AB 0.21
0.6,P A 0.63
P A B P A P B
A ⋃====
=∣,选项B 错误;
对于选项C ，如果A 与B 互斥，那么()()()0.8P A B P A P B ⋃=+=,所以选项C 正确;对于选项D ，如果A 与B 相互独立，那么
(()((1())(1())0.40.80.32P A B P A P B P A P B ⋅==--=⨯=所以选项D 正确。

故选：CD
11．在直角梯形ABCD 中，,2,AB AD AB DC E ⊥=
为AB 中点，,M N 分别为线段DE 的两个
三等分点，点P 为线段BD 上任意一点，若AM AP AN λμ=+
，则λμ+的值可能是（
）
A ．1
B ．
32
C ．
57
D ．3
【正确答案】AB
【分析】建立平面直角坐标系，设,01BP xBD x =≤≤ ，用坐标表示出,,AP AM AN
，再根据
AM AP AN λμ=+
列方程可得2x λμ+=-，然后可得.
【详解】
如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设6,3,0AB AD m m ==>，则()()()()()()0,0,6,0,0,3,3,0,2,,1,2A B D m E M m N m ，则(2,),(1,2),(6,3),(6,0)AM m AN m BD m AB ===-=
设,01BP xBD x =≤≤
，则(66,3)
AP AB xBD x mx =+=- ∵AM AP AN λμ=+ ，
∴(66,3)(2,)(1,2)(2,2)x mx m m m m λμλμλμ-=+=++，
∴66232x mx m m λμλμ-=+⎧⎨=+⎩
整理得2x λμ+=-，
因为[0,1]x ∈，所以2[1,2]x λμ+=-∈故选：AB.
12．我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由ln y x =在点()0,1处的切线1y x =-写出不等式ln 1x x ≤-，进而用1
n n
+替换x 得到一系列不等式，叠加后有()111
ln 1123n n
+<+
++⋯+这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）
A ．()12
!e
n n n -<B ．()111
ln 223n n n
++⋯+<≥C ．34
22212111e n n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．2
3
1
121
231e
n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+<
⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【正确答案】BC
【分析】通过取特殊值确定AD 错误，通过证明当1x >时，1
1ln x x
-<，由此证明B ，通过证明1x >时，ln 1x x <-，由此证明C.【详解】A 选项：()12
!e
n n n -<，当1n =时1!1<不成立，A 错误
B 选项：()111ln 223n n n ++⋅⋅⋅+<≥等价于()()111
ln 13231
n n n ++⋅⋅⋅+
<-≥-，故要证明()111
ln 223n n n ++⋯+<≥只需证明()()1ln ln 13n n n n <--≥，且1ln 2ln12<-，
只需证明()1ln 21
n n n n <≥-，只需证明()11ln 21
1
n
n n n n -<≥--，
故考虑构造函数()()11ln 0f x x x x =-
->，则()21x f x x
-'=，当1x >时，()0f x '<，函数()f x 在()1,+∞上单调递减，当01x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以当0x >时，()()10f x f ≤=，即1
1ln x x
-
≤，当且仅当1x =时取等号，
当2n ≥时，11
n
n >-，将1
1ln x x -
≤中的x 替换为()21n n n ≥-，可得11ln 1n n n n --<-，即()1
ln ln 1n n n
<--，所以
1ln 2ln12<-，1ln 3ln 23<-，⋅⋅⋅，()1
ln ln 1n n n
<--，所以()111
ln 223n n n
+++<≥ ，B 选项正确
C 选项，设()()1ln 0g x x x x =-->，则()1
x g x x
-'=
，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在()1,+∞上单调递增，当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递减，
所以当0x >时，()()10g x g ≥=，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取等号，将ln 1≤-x x 中的x 替换为2
1i
n +
，因为
211i n +>，所以22
ln 1i i n n
⎛
⎫+< ⎪⎝⎭所以22
2212ln 1ln n 121l 1n n n
n n n
⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫++++++<
⎪ ⎪ ⎭++⋅⎭
⋅⋅⎪⎭⎝+⎝⎝ ，又()1122
n n n +++⋅⋅⋅+=
，
所以()2222
112ln 1ln 1ln 12n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，当2n ≥时，()21113
2224
n n n n +=+≤，
故3
422212111e n n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ ，C 正确；
D 选项：因为23
1211
232e
⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误，
故选：BC.
在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
三、填空题13．
已知随机变量()22,X N σ，且()()P X a P X b ≤=≥，则22a b +的最小值为__________.
【正确答案】8
【分析】由题意知,a b 关于2x =对称，故4a b +=，使用基本不等式可求22a b +的最小值.【详解】由随机变量()22,X
N σ，且()()P X a P X b ≤=≥知,a b 关于2x =对称，
故4a b +=，由不等式()2
2
2
2
a b a b
++≥
，得228,a b +≥当且仅当2a b ==时取等号，
22a b ∴+的最小值为8.
故8
14．已知等差数列{}n a 中，264,16a a ==，若在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为__________.【正确答案】
65
2
【分析】先计算出等差数列{}n a 的公差，进而得到新的等差数列{}n b 的公差，从而求出{}n b 的通项公式，求出新数列的第43项.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则114,516a d a d +=+=，所以11,3==a d ，
设在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数所得新数列为{}n b ，则新的等差数列{}n b 的公差为
3
44
d =，首项为111b a ==，所以新数列的通项公式为()33111444
n b n n =+-=+，故433165
43442b =
⨯+=.故答案为.
652
15．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为()
F ，点A 坐标为()0,1，点P 为双
曲线左支上的动点，且APF 的周长不小于18，则双曲线C 的离心率的取值范围为__________.
【正确答案】1,2⎛ ⎝⎦
【分析】APF 的周长不小于18，可得PA PF +的最小值不小于13，设2F 为双曲线的左焦
点，则22PA PF a ++的最小值不小于13，分析可得2,,A P F 三点共线时，22PA PF a ++取最小值52a +，从而可求a 的范围，根据离心率公式即可求解.
【详解】由右焦点为()
F ，点A 坐标为()0,1，可得5AF ==.因为APF 的周长不小于18，所以PA PF +的最小值不小于13.设2F 为双曲线的左焦点，可得22PF PF a =+，故22PA PF PA PF a +=++，
当2,,A P F 三点共线时，22PA PF a ++取最小值2AF a +,即52a +，所以5213a +≥,即4a ≥.
因为c =所以2
c e a a =
=≤
.
又1e >,所以e ⎛∈ ⎝⎦.
故答案为:⎛ ⎝⎦
.16．正四面体ABCD 的棱长为4，中心为点O ，则以O 为球心，1为半径的球面上任意一点P 与该正四面体各顶点间的距离的平方和：2222PA PB PC PD +++=__________.【正确答案】28
【分析】将正四面体放入正方体中，利用向量的线性运算可得22()PA PO OA =+
，同理可得
到2,PB 2,PC 2PD
，取,AB CD 的中点,M N ，可得到0OA OB OC OD +++= ，即可求出答案
【详解】因为正四面体ABCD 的棱长为4
=图所示，
由题意可得222
2()PA PO OA PO OA =+=++ 2PO OA ⋅ ,同理可得2222()PB PO OB PO OB =+=++ 2PO OB ⋅
,222
2()PC PO OC PO OC =+=++ 2PO OC ⋅ ,222
2()PD PO OD PO OD =+=++ 2PO OD ⋅ ,
取,AB CD 的中点,M N ，
则0OA OB OC OD OM MA OM MB ON NC ON ND +++=+++++++= ，
所以
2222PA PB PC PD =+++ 2222242PO OA OB OC OD PO +++++⋅ ()OA OB OC OD +++
2
2224441842PO OA =+=⨯+⨯⎭
=⎝ ，所以222228PA PB PC PD +++=
，
故28
四、解答题
17．已知数列{}n a 满足
12121111
n n n
a a a a a a a ---⋅= ，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()3
1
3
n
n
n a b +=，求使n b 取最大值时的n 的值.
1.44=）
【正确答案】(1)()11n n n a =+≥(2)2
【分析】（1）由递推公式
12121111
n n n
a a a a a a a ---⋅= 求得{}n a 的通项公式；（2）用作比法比较1,n n
b b +大小确定{}n b 的单调性求得n b 的最大值.【详解】（1）由
12121111n n n
a a a a a a a ---⋅= 得，()1121211
1111
2n n n a a a n a a a a ------⋅=≥，
所以
()1
12n n n n
a a n a a --=≥，所以()112,n n a a n --=≥故{}n a 等差数列，所以211n a n n =+-=+，故{}n a 通项公式为()11n n n a =+≥.（2）()3
1
13n n n b ++=
，令3
12
(2)3
n n n b +++=，则3131233(2)3(2)13(1)3(1)n n n n b n n b n n +++++=⋅=>++，
所以
21
n n +>+，*1.27,N n n ∴<∈，
当1n =时，21,b b >当n 取2时，23b b >，当2n >时，1n n b b +>.
所以当n 取2时，n b 取最大值.
18．
斜三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为14,60A AB ∠=
，点1A 在下底面ABC 的投影为AB 的中点O
.
(1)在棱1BB （含端点）上是否存在一点D 使11A D AC ⊥？若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点1A 到平面11BCC B 的距离.【正确答案】(1)存在，45
BD =
(2)5
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，假设在棱1BB （含端点）存在一点D 使11A D AC ⊥，利用11A D AC ⊥ ，结合向量垂直的坐标表示即可求得答案.
（2）求出平面11BCC B 的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）因为点1A 在下底面ABC 的投影为AB 的中点O ，故1A O ⊥平面ABC ，连接OC ，由题意ABC 为正三角形，故OC AB ⊥,
以O 为原点，1OA OC OA ,,分别为x y z ､､
轴建立如图所示空间直角坐标系：
则(
()1(2,0,0),0,0,,0,A A C ，(
)(
(112,0,0,4,0,,2,B B C ---，
设
(11,2,0,BD BB BB λ==-
，可得()
22,0,D λ--
，(
(1122,0,,4,A AC D λ∴=---=-
，
假设在棱1BB （含端点）上存在一点D 使11A D AC ⊥，则(
)1114220,5
,A D AC λλ⊥∴++-=∴= ，
则11455
BD BB =
=；（2）由（1
）知(
()
12,0,,2,BB BC =-=
，
设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =r
，
则1020
,020n BB x z n BC x ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨
⋅=+=⎪⎪⎩⎩
，令x =1,1z y ==-，
则)
1,1n =
- ，
又(12,0,A B =--
，
则1A 到平面11BCC B 的距离为1||
5||A B n d n ⋅==
，
即点1A 到平面11BCC B 19．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对,M N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：
黄色蜂蜡罐
褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂
4020N 品种蜜蜂
50
10
(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？
(2)假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A
=+=⋅+⋅求解，现从装有a 只M 品种
蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求()P B （用,a b 表示()P B ）附：()()()()
22
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.
临界值表：
α
0.10.050.010.0050.001x α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【正确答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；(2)()a P B a b
=
+
【分析】（1）由已知数据结合公式求2χ，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；
（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求()()()()
,,,P A P B A P A P B A ，再代入所给公式求解.
【详解】（1）根据列表得2212060040
4.444 3.841609309
χ⨯=
=≈>⨯⨯，
所以依据0.05α=的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为2
3，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，
N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为5
6，N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16
，
依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍，所以品种M N ､的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；（2）由已知上式知，()()()()
1,,,11
a a
b a P A P B A P A P B A a b a b a b a b -=
===++-++-则()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅，
所以1()11a a b a
P B a b a b a b a b -=⋅+⋅++-++-，所以()()
()()
11a a b a P B a b a b a b
+-=
=
++-+，所以()a
P B a b
=
+.20．设()()5sin cos 4tan 3sin 5sin (f x x x θθθθ=+--为常数）为偶函数且()f x 的最小值为-6.(1)求sin cos θθ+的值；
(2)设()()π,0,02g x f x f x λωωλω⎛
⎫=-+>> ⎪⎝
⎭，且()g x 的图像关于直线π6x =对称和点
2π,333λ⎛⎫- ⎪⎝⎭
对称，若()g x 在π0,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，求λ和ω的值.【正确答案】(1)7sin cos 5
θθ+=(2)
1,ωλ==【分析】（1）先化简()f x ，()f x 为偶函数，且()f x 的最小值为-6，求得所以3
sin 5
θ=
，
4
cos 5
θ=
，从而可进一步求出sin cos θθ+的值．（2）先化简()g x ，再利用已知条件：()g x 它的图像关于直线π6x =对称和点2π,333λ⎛⎫- ⎪⎝⎭
对称，求出两个方程，解出ω，进一步解出λ的值．
【详解】（1）()()3sin cos 4tan 3sin 5sin f x x x θθθ=+--为偶函数，()()3
4tan 30tan 5sin cos 5sin 5sin cos 14f x x x θθθθθ∴-=⇒=∴=-=-,
()f x 的最小值为347
6,10sin 6sin ,cos ,sin cos 555
θθθθθ-∴-=-⇒=∴=∴+=.
（2）由（1）得()3cos 3f x x =-，
所以()()π2g x f x f x λωω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭π3cos 33cos 3
2x x λωλω⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭()3cos sin 33x x λωωλ=++-，
由()g x 的图像关于直线π6x =
对称，也关于点2π,333λ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，可知，π2π
()(3333
g g λ-==-，
πωπ
3cos 3sin 0
33
2π2π3cos 3sin 033
ωλωωλ⎧-=⎪⎪∴⎨
⎪+=⎪⎩
，π2π2πtan
tan tan()333
ωωωλ∴==-=-，π
2ππ3
3k ωω∴
=-
或π2π
33
ωω=-（舍去），*N k ω∴=∈，
*π
tan
,N 3
k k λ∴=∈，0λ> ，31(N)k n n ∴=+∈
，31(N)n n λω∴==+∈
，π
()3sin 36sin()33x x x g x ωωω=++-=++-∴π024x ≤≤
，ππππ
33243
x ωω∴≤+≤
+，()g x 在π0,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，πππ2432ω∴+≤，
4ω∴≤，0,1,1,4n ω==∴，
经检验，4ω=
时，不满足对称性，舍去，
1λω∴==．
21．过抛物线22(0)x py p =>内部一点(),P m n 作任意两条直线,AB CD ，如图所示，连接
,AC BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB CD ⊥时，四边形ACBD 面积的最小值为
32
(1)求抛物线的方程；
(2)若点()1,1P ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.【正确答案】(1)24x y =(2)证明见解析，220
x y --=【分析】（1）设直线:2
p AB y kx =+
，联立方程组求得2
12122,x x pk x x p +==-，利用弦长公式，分别求得,AB CD ，得到22
2122ABCD S p k k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
，结合基本不等式，即可求解；
（2）由,,A P B 和,,C P D 共线，得到12124x x x x +=+，34344x x x x +=+，又由,,A C Q 和,,B D Q 共线，得到()1300134x x y x x x +=+和()2400244x x y x x x +=+，进而得到00220x y --=，即可求解.
【详解】（1）解：设22
2
2
31241234,
,,
,,,,4444x x x x A x B x C x D x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，
设直线:2p
AB y kx =+，联立方程组222p y kx x py
⎧
=+⎪⎨
⎪=⎩，整理得2220x pkx p --=，可得2
12122,x x pk x x p +==-，
所以
()
221AB p k =+，
同理可得2121CD p k ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，
所以222
211228322ABCD S AB CD p k p k ⎛⎫==++≥= ⎪⎝⎭
，当且仅当21k =时取等号，
所以2p =，所以抛物线的方程为24x y =.
（2）解：当P 为()1,1时，()00,Q x y ，
由,,A P B 共线，可得22
12
1211
4411
x x x x --=
--，可得12124x x x x +=+①，同理由,,C P D 共线34344x x x x +=+②
又由,,A C Q 共线，可得22
3100
1030
44x x y y x x x x --=
--，所以()1300134x x y x x x +=+③同理由,,B D Q 共线，可得()2400244x x y x x x +=+④由①③得300
21230
441x x y x x x x x --=
=--，即()()()0230300200144440x x x x x x y x y x -+-+-+-=⑤又由②④得3020
4320
441x x x y x x x x --=
=--，即()()()0230200300144440x x x x x x y x y x -+-+-+-=⑥由⑤⑥得()()()()0320023440x x x x y x x --+--=，
即00044x x y -=-，即00220x y --=，所以Q 在220x y --=上
.
22．已知函数()()2
e 23x
f x x a x a =-+++⎡⎤⎣⎦.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 在()0,2有两个极值点12,x x ，求证.()()2
1224e
2f x f x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦
【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，结合一元二次方程知识分类讨论，即可求得答案；（2）法一：根据()f x 在()0,2有两个极值点12,x x 可得210x ax -+=在()0,2上有两个不等实数根，可确定12,x x 范围以及韦达定理，进而求得()()12f x f x +表达式，结合其表达式构造函数，利用导数判断单调性，推出()()124e f x f x +<，即可证明结论；
法二和法三：结合（1）以及解法一，由()()12f x f x +表达式构造函数求导后，将a 看作变量，将该导数整理变形或者利用导数中的切线不等式的重要结论判断导数的正负，即可判断函数单调性，即可证明结论.
【详解】（1）()f x 的定义域为R ，
()()
2e 1x f x x ax '=-+，e 0x >，对于21y x ax =-+，则24a ∆=-，
当[]2,2a ∈-时，0∆≤，()210,x ax f x -+≥∴在R 上单调递增，
当()(),22,a ∈-∞-+∞ 时，由()0f x '=得1222a a x x +==，
当,2a x ∞⎛∈- ⎝⎭和2a x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，
当22a a x ⎛+∈⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()f x \在,∞∞⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，
∴综上，当[]2,2a ∈-时，()f x 在R 上单增，
当()(),22,a ∈-∞-+∞ 时，()f x 在,∞∞⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在
⎫⎪⎪⎝⎭
上单调递减；.（2）法一：()f x 在()0,2上有两个极值点12,x x ，
则()0f x '=，即210x ax -+=在()0,2上有两个不等实数根，
即这两个极值点即为（1）中12,x x ，
242105Δ40,22022a a a a ⎧⎪-+>⎪⎪∴=->∴<<⎨⎪⎪<<⎪⎩
，由韦达定理知1212,1,
x x a x x +==()()()()1121111e 23e 22x x f x x a x a x a =-+++=-++，
()()()
()2222222e 23e 22x x f x x a x a x a =-+++=-++，()()2152,,1,2,0,12a x x ⎛⎫∈∴∈∈ ⎪⎝⎭
()()()()
121212e 22e 22x x f x f x x a x a +=-+++-++111111111111111111e 2e 2e e 2e e x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+=--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由于()10,1x ∈，故111y x x =
-在()0,1上单调递减，则1110x x ->，则111
111111e 2e 20x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即()()120f x f x +>，令()1
11e e 2e e x x x
x
G x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，()
1
2231e ()e 1(1)(1)1x x G x x x x x x ⎛⎫'=--+-- ⎪⎝⎭()213(1)1e e x x x x x x ⎛⎫-+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭()()213(1)1e e ,0,1x x x x x x x x -⎛⎫-+=-∈ ⎪⎝
⎭，由于1y x x =
-在()0,1上单调递减，则10x x ->，故11e e 01,x x x x x ->->∴，()()0,G x G x '∴>在()0,1上单调递增，()14e G =，即()4e G x <，即()()124e f x f x +<，
而要证明()()2
1224e 2f x f x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦
，即转化为证明()()124e f x f x +<，由以上结论可知，()()21224e 2f x f x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦成立；
法二：结合以上分析可得()()()()
121212e 22e 22x x f x f x x a x a +=-+++-+
+
(22=+，令(
)(
2e 2g a =++-，(2)4e g =，由于522
a <<
，则20>，则()0g a >，则(
))e 2g a a ⎡⎤'⎥=+⎥⎦()()0,g a g a <∴'在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，则()4e g a <得证..法三：(
)(
22g a a ⎛'=-⋅-+ ⎝，设()e 1,0x h x x x =-->，则()e 10x h x '=->，
即()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=，则e 1x x >+，
故1>，
则1⎛⎫> ⎪ ⎪⎝
⎭
(22224
a a a a --+-
-=
20-+-+->，
故()0g a '<，()g a ∴在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
为减函数，而()24e g =，则()4e g a <得证.
难点点睛：根据()f x 在()0,2有两个极值点12,x x ，证明不等式()()21224e 2f x f x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦
成立，首先要结合导数确定12,x x 的范围，继而要表示出()()12f x f x +，由此构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合单调性解决问题，计算过程相当复杂，难度较大.。