人教A版高中数学必修第一册2.2基本不等式(第一课时)

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人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1公开课教案(优秀教案,表格式)

数学公开课教案科目授课班级授课时间授课地点讲课人数学课题§2.2基本不等式（第一课时）教学目标1.知识目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值2.知识与技能：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。

3.情感态度价值观：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重点基本不等式在解决最值问题中的应用教学难点基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件教法启发式、探究式学法合作探究课前准备多媒体教学过程主要内容及教师活动设计意图一.复习引入回顾重要不等式：如果Rba∈,，则abba222≥+（当且仅当ba=时，取“=”号）如果0,0a b>>,我们用,a b分别代替,a b,可得什么不等关系?巩固知识，导入新课二.新课讲解1.用分析法证明abba≥+2,0,0a b>>2.如果a,b都是正数，那么2baab+≤，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为均值不等式。

其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.探究：如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?几何解释：圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等学习新的知识点。

2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。

22222222)2(2)()214c b a c a ab b ab c a b ab =+∴=+−+∴=−+⋅ （证明：a b （1）大正方形边长为___________，面积S 为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S 与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S 与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22b a +22b a +全等ab2'S S >ab b a 222>+a b 上述结论可描述为：ab b a b a 20,022≥+>>时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（b a 5时取等）。

当且仅当证明：b a ab b a b ab a b a =≥+∴≥+−∴≥−(2020)(22222 此不等式称为重要不等式1、基本不等式0,0,,,,a b a b a b >>如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2a b a b+⋅≥2a b ab +≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当b a b a =>>2a b ab +≥即：基本不等式ab b a ≥+2注意：0,01>>b a 、时取等、取等条件：当且仅当b a =2叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 23+基本不等式的几何解释A B C D E a b O 如图, AB 是圆的直径, O 为圆心，点C 是AB 上一点, AC=a , BC=b . 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD 、BD 、OD.②如何用a , b 表示CD? CD=______①如何用a , b 表示OD? OD=______2+a bab③OD 与CD 的大小关系怎样? OD_____CD ≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C 在什么位置时OD=CD ？此时a 与b 的关系是？基本不等式的证明2a b ab +≥证明：要证只要证_______a b +≥只要证_____0a b +−≥只要证2(______)0−≥显然, 上式是成立的.当且仅当a =b 时取等。

人教A版高中数学必修第一册第二章基本不等式课件

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4．若 a≥b＞0，试比较 a，
a2＋2 b2，a＋2 b， ab，1a＋2 1b，b 的大小．
解：a≥b>0，∴
a2＋b2 2≤
a2＋a2 2 ＝a，
∵a2＋b2≥2ab，
a2＋b2 a＋b ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴ 2 ≥( 2 )2.
∴a≥
a2＋b2 a＋b 2 ≥2≥
ab≥a1＋2 1b≥b.
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1．知识清单：(1)基本不等式． (2)利用基本不等式求最值的两类模型． (3)利用基本不等式判断不等关系及比较大小． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．
(2)已知 x＞－2，求 x＋x＋162的最小值．解：(2)因为 x＞－2，所以 x＋x＋162＝(x＋2)＋x＋162－2≥2 (x＋2)·x＋162－2＝6. 当且仅当 x＋2＝x＋162，即(x＋2)2＝16，x＝2 时等号成立，因此所求的最小值为 6.
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利用基本不等式判断不等关系及比较大小已知 a＞0，b＞0，则 a＋b_≥___2 ab， ab_≤___a＋2 b.
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[例 3] (1)(多选)下列条件中能使ba＋ab≥2 成立的是(ACD)
A．ab＞0
利用基本不等式求最值的两类模型已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值_2__P__；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，

新人教A版高中数学必修第一册2.2 基本不等式教学设计(1)

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。

从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。

引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件；多媒体2a b+新人教A 版必修第一册教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？（二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b （a ≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有，当且仅当a=b 时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为通过介绍第24届国际数学家大会会标的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第二章基本不等式-第1课时基本不等式与不等式的证明

<
1
2
B.

<
1
C.

+ >
+
2D.
2
>
3.（多选题）已知,都是正实数,则() AC
A.( + 4
1
)(

1
+ )

≥
9B.2
5
2
+ 2

2 −+1
C.2 + 2 ≥ 3 + − D.
+
2

≥1
≤4
3
4.要证 3 − <
3
− 成立,,应满足的条件是() D
号成立.
1

（2）若 > 0, > 0, + = 3,求证： +
4
+1
9
4
≥ .
解由条件有 + ( + 1) = 4,且 > 0, + 1 > 0,又
1

+
4
+1
+ 4) =
1
4
1

= ( + + 1)( +
4
)
+1
1
4
= (5 +
+1
4
+
)

+1
1
4
≥ × (5 + 2
+

+
+

+
≥

+
+

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：2.2 第1课时基本不等式

关键能力·攻重难
题型探究题型一利用基本不等式判断命题真假
例 1 下列不等式一定成立的是( C )
A． x2＋14> x(x>0)
B．x＋1x≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．x2＋1 1>1(x∈R)
[解析] 选项 A 中，x2＋41≥x(当且仅当 x＝12时，x2＋14＝x)，故选项 A 不正确；选项 B 中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项 B 不正确；选项 C 中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项 C 正确；选项 D 中， x2＋1≥1，则 0<x2＋1 1≤1，故选项 D 不正确．
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 两个不等式
a2 ＋ b2≥2ab
与
a＋b 2
≥
ab 成立的条件是相同
的．( × )
(2)当 a>0，b>0 时，a＋b≥2 ab.( √ )
(3)当 a>0，b>0 时，ab≤(a＋2 b)2.( √ )
(4)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × )
[解析] (1)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式a＋2 b ≥ ab成立的条件是 a>0，b>0.

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册

6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－

2.2基本不等式 (第1课时)(课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)

1.教材P46练习第 2,5题；
2.P48-49习题2. 2,复习巩固第1,2题
（二）探究性作业：
教材P46 练习及参考答案
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等）
应用新知
12
练习(1) 当 x 0 时，求 4x 的最大值；
x
【解析】 x 0, x 0.
利用基本不等式求最值的注意事项
一正:各项必须都是正值.
12
12
( 4 x ) 2
(4 x) 8 3 ,
②
通常称不等式②为基本不等式（basicinequality）．
ab
其中，
叫做正数 a, b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数 a, b 的几何平均数．
文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。
认识新知
重要不等式： a 2 b 2 2ab ；
基本不等式：
ab
ab
2
.
问题3 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，
B.最小值 9 C.最大值-3 D.最小值-3
【答案】C
2
【解析】
x ,3x 2 0 ,
当遇见负数时，
3
先应该乘以负
1，再适当配

9
9
9
3 3 . 凑构造倒数型，
f ( x) 3 x 2
3 (2 3x)
3 2 (2 3x)
【解析】 x 0, x 0,
2
分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的
2
1
1
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新教材高中数学第2章基本不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：2.2 基本不等式第1课时基本不等式学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？提示：由图可知①a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．] 3．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解【例1】给出下面四个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2. ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4x≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4.③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. ② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x ＝1x时，即x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈R ＋，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.b a ＋a b≥2 C.a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞a ＋b24也就是a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用基本不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8. [证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．已知x ，y ，z 都是正数，求证： (x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥8xyz . [证明] ∵x ，y ，z 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ，y ＋z ≥2yz ，z ＋x ≥2zx ， ∴(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥2xy ·2yz ·2zx ＝8xyz . 当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7.[证明] 由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1(a ＞1)，则a ＋2b ＝a ＋6a a －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7≥26＋7，当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号.1．记牢2个不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；(2)a ＋b2≥ab (a ，b 都是正数)．2．掌握2个注意点利用基本不等式证明不等式时应关注两点：(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面，当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<ab<1 C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由基本不等式知ab <a ＋b2一定成立．]2．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由基本不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12.∴a 2＋b 2最大．]4．若x ＞0，则x ＋1x________2(填“＝”“≥”“≤”“＞”“＜”)．≥ [x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。

2021-2022学年高中数学新人教A版必修第一册 2

“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,
和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.
【类题通法】利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
a
2b
3c
【思维导引】对不等式左边变形,使其能利用基本不等式.
【类题通法】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理, 经过逐步地逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”, 逐步推向 “未知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.
xyz
a
若a=4,b=16,则 ab a＋b ,故C错;由基本不等式可知D项正确.
2
2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为 ( )
A．25 B. 25 C. 25 D. 25
2
4
8
【解析】选D.a>0,b>0,a+2b=5,则ab= 1 a·2b≤ 1 ( a＋2b )2＝25，当且仅当
2
22
8
a= 5 ,b= 5 时取等号.
2
4
3.若a>1,则a+ 1 的最小值是 ( )
a－1
A.2
B.a
C. 2 a
D.3
a－1
【解析】选D.因为a>1,所以a-1>0,所以a+

2.2《基本不等式》教学设计

人教A版高中数学必修第一册《基本不等式》（第一课时）单位：山东省单县第五中学姓名：陈洪飞时间：2019年9月2.2基本不等式（第一课时）教材：人民教育出版社A版必修第一册课题：2.2基本不等式（一）一、教学目标1．通过一个探究实例,引导学生从几何图形中获得基本不等式,了解基本不等式的几何背景,体会数形结合的思想;2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力;3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想;4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过三个探究引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，锻炼学生的交流合作探究能力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点重点：1、应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过;2、熟练掌握基本不等式求代数式的最值;难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1、动手操作，几何引入先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a ≥），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？抽象出不等式. 通过学生动手操作，探索发现：2ba ab +≤接着让学生探讨取等号的条件,及a 、b 的取值范围;得出结论,展示课题内容.根据上述几何背景，初步形成不等式结论：0,0>>∀b a 有2b a ab +≤（当且仅当a=b 时等号成立）深化认识：称ab 为a 、b 的几何平均数；称2b a +为a 、b 的算术平均数基本不等式2b a ab +≤又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

2基本不等式说课稿-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2基本不等式说课稿-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式§2.2《基本不等式》（第1课时）说课稿一、说教材分析本节课是人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第2节《基本不等式》第1课时的内容。

基本不等式是一种重要且基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容，它与很多重要的数学概念和性质有关。

基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。

学习基本不等式内容可以进一步发展学生的逻辑推理、数学运算和数学建模等数学核心素养，为后续进一步学习不等式内容打好基础。

二、说学情分析基本不等式是在学生已经学习了等式性质与不等式性质，并且具备了一定的推理论证能力的基础上进行的。

基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最简单和最基本的情形。

基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。

在理解和应用基本不等式的过程中，体现了数形结合、数学建模等数学思想。

通过该内容的学习，不仅能进一步发展学生的推理论证能力，数学运算和数学建模的数学素养，而且能使学生把这些认识迁移到后继的学习中去，为以后学习一元二次不等式等打好基础。

三、说教学目标1.通过对赵爽勾股圆方图的观察分析，抽象概括出基本不等式；理解基本不等式的三种不同证明方法；2.结合具体实例，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力；4.通过赵爽勾股圆方图，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信。

四、说教学重点和难点重点：基本不等式的内容、意义，应用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

难点：基本不等式的证明过程。

五、说教法、学法分析1.教法：本节课以赵爽勾股圆方图引入，通过学生观察分析、抽象概括出基本不等式。

以问题驱动课堂，教师不断启发学生自主探究，充分发挥学生的积极性、主动性；在课堂上，教师有效地渗透数学思想方法，发展学生数学素养。

基本不等式教学设计

《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中教科书·数学（A 版）》必修第一册课题：2.2 基本不等式（第一课时）一.教学内容分析《基本不等式》是高中教材人教A 版必修一第二章第二节的内容，是在系统地学习了等式性质和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，是从几何背景（赵爽弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R +≥∈。

在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

二．教学目标设置《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想。

（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性。

三．学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式。

同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力。