山东省青岛市高一上学期期末选科考试数学试卷

高一上学期期末选科考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，且，则实数的取值集合为
{
}2
1,3,A a ={}1,2B a =+A B B = a （
）
A. B.
C.
D.
{}1,1,2-{}1,2-{}1-{}2【答案】D
2. “”是“”的（ ）
,x y Q ∈xy Q ∈A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 3. 函数
）
()f x =A. B.
C.
D.
(1,)+∞[2,)+∞(1,2)(1,2]【答案】D
4. 在直角坐标系中，已知圆的圆心在原点，半径等于1 ，点从初始位置开始，C P ()0,1在圆上按逆时针方向，以角速度 均速旋转后到达点，则的坐标为C 2rad /s 9
π
3s P 'P '（
）
A. B. 1,2⎛
⎝21⎫
-⎪⎪⎭
C.
D. 1,2
⎛-
⎝12⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D
5. 已知，则下述一定正确的是（ ）
0,0,0a b c d e >><<<A. B. ae be >22c d <C.
D. 0e e
a c d
b +>--()e
a d c b
->
【答案】C
6. 设函数的定义域为，记 ，则（ ）
()f x ,I D I ⊆()()1212Δ,Δx x x y f x f x =-=-A. 函数在区间上单调递增的充要条件是：，都有
()f x D 1212,,x x D x x ∀∈≠Δ0Δy
x <B. 函数在区间上单调递减的充要条件是：，都有 ()f x D 1212,,x x D x x ∀∈≠Δ0Δy
x >C. 函数在区间上不单调递增的充要条件是：，使得 ()f x D 1212,,x x D x x ∃∈≠Δ0Δy
x ≥D. 函数在区间 上不单调递减的充要条件是：，使得 ()f x D 1212,,x x D x x ∃∈≠Δ0Δy
x
≥【答案】D
7. 已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
,,x y z 1xyz =()()()x y y z z x +++A. 2 B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D
8. 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，碳14的半衰期为5730 年，
55.2%，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（
）
lg0.5
1.1665lg0.552
≈A. 3500年 B. 2900年 C. 2600年 D. 2000年
【答案】B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下面选项中，变量是变量的函数的是（
）
y x A. 表示某一天中的时刻，表示对应的某地区的气温 x y B. 表示年份，表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)
x y C. 表示某地区的学生某次数学考试成绩，表示该地区学生对应的考试号 x y D. 表示某人的月收入，表示对应的个税 x y 【答案】ABD
10. 已知为第一象限角，下述正确的是（
）
θ
A. B.
为第一或第三象限角
02
π
θ<<
2
θ
C. D. sin tan θθ<()1cos sin 2
θ>
【答案】BCD
11. 已知函数，下述正确的是（ ）
()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
A. 函数为偶函数 12y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B. 函数的最小正周期为
()y f x =πC. 函数 在区间上的最大值为1
()y f x =,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦D. 函数的单调递增区间为 ()y f x =()5,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
【答案】ACD
12. 已知函数，下述正确的是（
）
()3
f x x =-A. 若，则
()21f x ->1x <B. 若为奇函数，则
()()2
g x f x ax bx =++0a =C. 函数在区间内至少有两个不同的零点 ()()31g x f x x =+-()1,2-D. 函数图象的一个对称中心为
()()2
3g x f x x =+()1,0【答案】ABC
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数是定义在上的周期4的奇函数，若，则()f x R ()11f =()2023f =________. 【答案】
1-14. 和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在
百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“”1周角等于6000密469-位，记作“”.如果一个扇形的半径为2 ，面积为，则其圆心角可以用密位制6000-5
π6
表示为________. 【答案】
1250-15. 若，则（1）_______；（2）13a a -+=13
33lg5lg2223a
a ⎛⎫+⨯⨯= ⎪⎝⎭
31log 2223a a +-+-=________. 【答案】
①.
②. 1 512
3
16. 已知函数，满足不等式的解集为，()2
f x ax bx c =++()0f x <()(),2,t -∞-⋃+∞且为偶函数，则实数________. ()1f x -t =【答案】0
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，集合U =R {}
22sin ,R A y
y x x ==-∈∣，集合. 91,4B y y x x A ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭
∣{}
21,R x
C y
y x ==+∈∣（1）求集合； A B （2）求集合. ()
R A C ⋃ð【答案】（1）；
[]0,1（2）. (,0)[2,)-∞⋃+∞【小问1】
∵，
[]R,sin 1,1x x ∈∈-∴，即，
[]22sin 0,4y x =-∈[]0,4A =∴， []91,8,14B y
y x x A ⎧
⎫
==-+∈=-⎨⎬⎩
⎭
∣
∴； []0,1A B =I 【小问2】 ∵, R,0x x ∈≥∴，
221,12x
x
≥+≥∴，又， {}
21,R [2,)x
C y
y x ==+∈=+∞∣[]0,4A =∴或， {
R 0A x x =<ð}4x >∴. ()
R (,0)[2,)A C ⋃=-∞⋃+∞ð18. 已知函数.
()sin cos 3cos sin x x
f x x x
+=-（1）若，求的值；
()3f
θ=tan θ（2）若，且，求的值. ()0,θπ∈31
sin sin 25
θθπ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭()f θ【答案】（1）2 （2） 1
13
-
【小问1】
由得; , ()sin cos 3cos sin x x f x x x +=-()tan 1
3tan x f x x
+=
-所以，即
， ()3f θ=tan 1
33tan θθ
+=-解得 ； tan 2θ=【小问2】 由得： ①， 31sin sin 25θθπ⎛⎫-+
= ⎪⎝
⎭1
sin cos 5
θθ+=所以 ， 2
1
(sin cos )12sin cos 25
θθθθ+=+=
则 ，所以 ，
242sin cos 025
θθ=-
<(,)2π
θπ∈则 ， 2
49(sin cos )12sin cos 25
θθθθ-=-=
而 ，所以 ②， sin 0,cos 0θθ><7
sin cos 5
θθ-=
由①②联立可得 ，故 ， 43sin ,cos 55θθ=
=-4tan 3
θ=-所以 . 41
tan 11
3()43tan 1333
f θθθ-++=
==--+19. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数. ()()()f x g x h x =+()R,g x ()h x （1）若，求和的解析式；
()e sin x
f x x =()
g x ()
h x （2）若函数为周期函数，为其一个周期，，判断并证明
()f x 2π()()()
2
h x h x x πϕ++=函数的奇偶性. ()x ϕ【小问1】
解：由题意，函数的定义域为为偶函数，为奇函数， ()()()f x g x h x =+()R,g x ()h x 因为，即，
()e sin x
f x x =()()e sin x
g x h x x +=可得，即，
()()()()g x h x g x h x -+-=-()()e
sin x
g x h x x --=-联立方程组， ()()()
()e sin e sin x
x
g x h x x
g x h x x -⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得. ()()()()
11
e e sin ,e e sin 22
x x x x g x x h x x --=-=+【小问2】
解：由函数的定义域为为偶函数，为奇函数， ()()()f x g x h x =+()R,g x ()h x 可得，
()()()()()f x g x h x g x h x -=-+-=-联立方程组，解得， ()()()()()()f x g x h x f x g x h x ⎧=+⎪⎨-=-⎪⎩
()()()2f x f x h x --=则 ()()()()()()()
2222
f x f x f x f x h x h x x ϕπππ--++==
+---+，
()()()()
4
f x f x f x f x ππ--++---=
因为函数为周期函数，为其一个周期，可得， ()f x 2π()()f x f x ππ+=-所以，
()()()()()
4
f x f x f x x f x ϕππ+------=
又由
()()()()()
4
f x f x x x f x f ππϕ-+------=
，
()()()()
()4
f x f x f x x f x ππϕ+------
=--=所以函数的奇函数. ()x ϕ20. 已知函数. ()21
8
x f x x -=
+（1）判断并证明在区间上的单调性； ()f x []22-,（2）设，试比较 ()1
2
12222log ,sin ,cos3,tan 357a f b f c f d f ππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
==== ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
⎝
⎭的大小并用“”将它们连接起来.
a b c d ,,,<【答案】（1）在区间上为增函数，证明见解析
()f x []22-,（2） c d b a <<<【小问1】
解：任取，
1222x x -≤<≤ ()()1212221211
88
x x f x f x x x ---=
-++
()()()()
()()
2212212212181888x x x x x x -+--+=
++，
()()()()
1212122
21
2888x x x x x x x
x -++-=
++因为，
1222x x -≤<≤所以，，，则， 120x x -<1244x x -<+<1244x x -≤<121280x x x x ++->所以，即，
()()120f x f x -<()()12f x f x <
所以函数在区间上为增函数；
()f x []22-,【小问2】
解：对于，由， 1
2
1log 3a f ⎛⎫
= ⎪
⎝
⎭1221log log 33
=则，即， 21log 32<<1
2
1
1log 23
<<对于，由， 22sin
5
b f π⎛⎫
= ⎪
⎝
⎭
222sin sin 55ππ=
， 2sin sin 135ππ=<<22sin 15
π
<<对于，由
，得，
()cos3c f =32
π
π<<1cos30-<<对于，由， 22tan
7
d
f π⎛
⎫
=
⎪
⎝
⎭
22tan tan 77ππ=则
0tan
tan
7
6
π
π
<<=
<220tan 7π<<
所以， 1
2
122222log sin tan cos31357
ππ>>>>>-因为函数在区间上为增函数， ()f x []22-,所以.
c d b a <<<21. 某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产x ()C x 量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时，
()2
10200C x x x =+ (万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600 万
()10000
6024500250
C x x x =+
--元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.
（1）求年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成()L x x =本固定成本)
-
（2）当年产量为多少时，年利润最大? 并求出最大年利润.
()L x 【答案】（1） ()2104002300,0505000
22200,5025x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪-⎩
（2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元. 【小问1】
当时，；
050x <<()()
2
2
102002300600400210300x x x L x x x +-=-=-+-当时，，
50x ≥()100006024500230022200250250005060L x x x x x x ⎛⎫
+
--=--+ ⎪--⎝
⎭
=-综上： ()2104002300,050
5000
22200,5025x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪
-⎩
【小问2】
当时，，当时，
050x <<()()22
40023001010201700L x x x x =+-=--+-20x =取得最大值为1700万元，
()L x 当时，
50x ≥()()
22200225215021501950252500505000x x x x L x =--
+=---+≤-=--，当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元， ()500525
22x x -=
-75x =因为，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元. 19501700>22. 函数且，函数 .
()3x
f x =(2)18f a +=()34ax
x
g x =-（1）求的解析式；
()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；
x ()80x
g x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，
()3x
f x =()()()()2
3,[]log p x h x p x p x x λ=-++，若对任意的，均存在，满足 ()21x x ϕλλ
=+-1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()
12h x x ϕ≤，求实数的取值范围. λ【答案】（1）
()24x
x
g x =-
（2） 1,124⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
（3） )
5⎡-+∞⎣【小问1】
由，可得： (2)18f a +=2318a +=解得： 32a =则有：
()24x
x
g x =-故的解析式为：
()g x ()24x
x
g x =-【小问2】
由，可得：
()80x
g x m -⋅=222x x m --=-不妨设
2x t -=则有：
2
21124
m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又 22x -≤≤则有：
1
44
t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 1
4
-4t =m 12故 1
124
m -
≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【小问3】
的反函数为：
()3x f x =()3log p x x =
若对任意的，均存在，满足
1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立
()()12max h x x ϕ≤
()()()23[]log h x p x p x x λ=-++
不妨设，则设 3log x b =()()2
1b s b b λ=-++
，则 1x ⎤∈⎦122
b ≤≤在上可分如下情况讨论： ()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈-①当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2
s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤上恒成立
则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1
,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则只需：时，不等式成立 12
b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52
λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：
0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1
,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
当时，只需保证：当时，成立 1
22λ+≤1
2b λ+=()2
1310b b λλ++-≥-则有：
21050λλ-+≤
解得：55λ-≤≤+
又
，故有： 122
λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：
1λ>-又故有：
1
22λ+>3λ>
故当时，
0λ>5λ≥-
综上所述，解得：实数的取值范围为： λ)5⎡-+∞⎣。