2014-2015学年吉林省实验中学高一(下)期末数学试卷与解析word(文科)
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2014-2015学年吉林省实验中学高一(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共计60分)
1.(5分)下列说法正确的是()
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点
2.(5分)设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是()
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ
③若m∥α,n∥α,则m∥n
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
A.①②B.②③C.③④D.①④
3.(5分)若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1,则a2等于()
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(5分)已知数列{a n}是等比数列,且a1=,a4=﹣1,则{a n}的公比q为()A.2 B.﹣ C.﹣2 D.
5.(5分)在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于()
A.B=45°或135°B.B=135°
C.B=45°D.以上答案都不对
6.(5分)已知a<0,﹣1<b<0,则下列不等式中正确的是()
A.ab>ab2>a B.a<ab<ab2C.ab>a>ab2D.a>ab>ab2
7.(5分)若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:12:13,则△ABC()A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是钝角三角形,也可能是锐角三角形
8.(5分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()
A.8﹣B.8﹣C.8﹣2πD.
9.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,二面角C1﹣AB﹣C的平面角等于()
A.30°B.45°C.60°D.90°
10.(5分)等差数列{a n}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为S n(n∈N*).有下列命题
①若S3=S11,则必有S14=0;
②若S3=S11,则必有S7是S n中最大的项;
③若S7>S8,则必有S8>S9;
④若S7>S8,则必有S6>S9
其中正确的命题的个数是()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(5分)如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体,使G1,G2,G3三点重合于点G,这样,下列五个结论:(1)SG⊥平面EFG;(2)SD⊥平面EFG;(3)GF⊥平面SEF;(4)EF⊥平面GSD;(5)GD⊥平面SEF.正确的是()
A.(1)和(3)B.(2)和(5)C.(1)和(4)D.(2)和(4)12.(5分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共计20分)
13.(5分)如果log3m+log3n=4,那么m+n的最小值是.
14.(5分)若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为.15.(5分)已知△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,AB=10,点P是平面ABC 外一点,若PA=PB=PC,且PO⊥平面ABC,O为垂足,则OC=.16.(5分)已知数列{a n},{b n}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1,b1,且a1+b1=5,a1,b1∈N*,设,则数列{c n}的前10项和等于.
三、解答题:(本题共6小题,共计70分)
17.(10分)在△ABC中,A=120°,b=1,S△ABC=
(1)求a、c的大小;
(2)求sin(B+)的值.
18.(12分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a,f(x)<0的解集为{x|﹣1<x<t}(Ⅰ)求a,t的值;
(Ⅱc为何值时,(c+a)x2+2(c+a)x﹣1<0的解集为R.
19.(12分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1,这个几何体的体积为.
(1)求棱A1A的长;
(2)求经过A 1,C1,B,D四点的球的表面积.
20.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=AD,F为PD的中点.
(1)求证:AF⊥平面PDC;
(2)求直线AC与平面PCD所成角的大小.
21.(12分)已知点(1,)是函数f(x)=a x(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{a n}的前n项和为f(n)﹣c.数列{b n}(b n>0)的首项为c,且前n
=+(n≥2).
项和S n满足S n﹣S n
﹣1
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;
(2)若数列{}前n项和为T n,问T n>的最小正整数n是多少?22.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.
(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(Ⅱ)当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD?
(Ⅲ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.
2014-2015学年吉林省实验中学高一(下)期末数学试卷
(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共计60分)
1.(5分)下列说法正确的是()
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点
【解答】解:A.不共线的三点确定一个平面,故A不正确,
B.四边形有时是指空间四边形,故B不正确,
C.梯形的上底和下底平行,可以确定一个平面,故C正确,
D.两个平面如果相交一定有一条交线,所有的两个平面的公共点都在这条交线上,故D不正确.
故选:C.
2.(5分)设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是()
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ
③若m∥α,n∥α,则m∥n
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
A.①②B.②③C.③④D.①④
【解答】解:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n,是直线和平面垂直的判定,正确;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ,推出α∥γ,满足直线和平面垂直的判定,正确;
③若m∥α,n∥α,则m∥n,两条直线可能相交,也可能异面,不正确.
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点,α与β可以相交.不正确.
故选:A.
3.(5分)若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1,则a2等于()
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:∵S 3=9且a1=1,
∴S3=3a1+3d=3+3d=9,
解得d=2.
∴a2=a1+d=3.
故选:A.
4.(5分)已知数列{a n}是等比数列,且a1=,a4=﹣1,则{a n}的公比q为()A.2 B.﹣ C.﹣2 D.
【解答】由,
故选:C.
5.(5分)在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于()
A.B=45°或135°B.B=135°
C.B=45°D.以上答案都不对
【解答】解:∵A=60°,a=4,b=4,
∴由正弦定理=得:sinB===,
∵b<a,∴B<A,
则B=45°.
故选:C.
6.(5分)已知a<0,﹣1<b<0,则下列不等式中正确的是()
A.ab>ab2>a B.a<ab<ab2C.ab>a>ab2D.a>ab>ab2
【解答】解:首先,ab﹣ab2=ab(1﹣b),
∵a<0,﹣1<b<0,∴ab>0,1﹣b>0,
∴ab(1﹣b)>0,
∴ab>ab2,
其次,ab2﹣a=a(b2﹣1),
∵﹣1<b<0,∴b2<1,∴b2﹣1<0,
又∵a<0,∴a(b2﹣1)>0,
∴ab2﹣a>0,∴ab2>a,
综上两个方面,ab>ab2,ab2>a,∴ab>ab2>a,
故选:A.
7.(5分)若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:12:13,则△ABC()A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是钝角三角形,也可能是锐角三角形
【解答】解:∵角A、B、C满足sinA:sinB:sinC=5:12:13,
∴根据正弦定理,整理得a:b:c=5:12:13
设a=5x,b=12x,c=13x,
满足(5x)2+(12x)2=(13x)2
因此,△ABC是直角三角形
故选:B.
8.(5分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()
A.8﹣B.8﹣C.8﹣2πD.
【解答】解:由题意可知,该几何体为正方体内挖去一个圆锥,
正方体的边长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,
则正方体的体积为V1=23=8,圆锥的体积为V2=•π•12•2=,
则该几何体的体积为V=8﹣,
故选:A.
9.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,二面角C1﹣AB﹣C的平面角等于()
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解答】解:如图,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,
以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),
∴,,
设面ABC1的法向量为,
∵,
∴,∴,
∵面ABC的法向量,
设二面角C1﹣AB﹣C的平面角为θ,
∴cosθ=|cos<>|
=||=,
∴θ=45°,
故选:B.
10.(5分)等差数列{a n}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为S n(n∈N*).有下列命题
①若S3=S11,则必有S14=0;
②若S3=S11,则必有S7是S n中最大的项;
③若S7>S8,则必有S8>S9;
④若S7>S8,则必有S6>S9
其中正确的命题的个数是()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:①若S3=S11,则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0,
即4(a7+a8)=0,即a7+a8=a1+a14=0,则S14==0,故①正确,;
②∵S3=S11,
∴3×a1+d=11×a1+d,
即8a1=﹣52d,则a1=﹣d,则d<0
∴a n=a1+(n﹣1)d=﹣d+(n﹣1)d=d(n﹣)
令a n=d(n﹣)≥0,
则n﹣≤0可解得n≤,
∴等差数列{a n}的前7项均为正数,从第8项开始为负值,
∴使得S n最大的正整数n为7;故②正确,
③若S7>S8,则d<0,且a8<0,则必有a9<0,即S8>S9成立,故③正确,
④若S7>S8,则d<0,且a8<0,即a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9成立,故④正确,故选:D.
11.(5分)如图,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是
EF的中点,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体,使G1,G2,G3三点重合于点G,这样,下列五个结论:(1)SG⊥平面EFG;(2)SD⊥平面EFG;(3)GF⊥平面SEF;(4)EF⊥平面GSD;(5)GD⊥平面SEF.正确的是()
A.(1)和(3)B.(2)和(5)C.(1)和(4)D.(2)和(4)【解答】解:(1)∵在折叠过程中,始终有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,
即SG⊥GE,SG⊥GF,∴SG⊥平面EFG.因此正确.
(4)由等腰三角形的对称性质可得:SD⊥EF,GD⊥EF,SD∩GD=D,可得EF⊥平面GSD,因此正确.
(2)(3)(5)都不正确.
故选:C.
12.(5分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解答】解:A中因为BD∥B1D1,正确;B中因为AC⊥BD,由三垂线定理知正确;
C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,故正确;
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选:D.
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共计20分)
13.(5分)如果log3m+log3n=4,那么m+n的最小值是18.
【解答】解:∵log3m+log3n=4,∴,得mn=34.
∵m>0,n>0,∴==18,当且仅当m=n=9时取等号.
故答案为18.
14.(5分)若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为.【解答】解:根据题意,圆锥的底面面积为π,则其底面半径是1,底面周长为2π,
又,
∴圆锥的母线为2,则圆锥的高,
所以圆锥的体积××π=.
故答案为.
15.(5分)已知△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,AB=10,点P是平面ABC 外一点,若PA=PB=PC,且PO⊥平面ABC,O为垂足,则OC=5.
【解答】解:∵PA=PB=PC,且PO⊥平面ABC,
∴O是△ABC的外心
∵△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°
∴O是AB的中点
∴AB=10,
∴OC=5
故答案为:5.
16.(5分)已知数列{a n},{b n}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1,b1,且a1+b1=5,a1,b1∈N*,设,则数列{c n}的前10项和等于85.【解答】解:∵a1+b1=5,a1,b1∈N*,
∴a1,b1有1和4,2和3,3和2,4和1四种可能,
当a 1,b1为1和4的时,c1==4,前10项和为4+5+…+12+13=85;
当a 1,b1为2和3的时,c1==4,前10项和为4+5+…+12+13=85;
当a 1,b1为4和1的时,c1==4,前10项和为4+5+…+12+13=85;
当a 1,b1为3和2的时,c1==4,前10项和为4+5+…+12+13=85;
故数列{c n}的前10项和等于85,
故答案为85.
三、解答题:(本题共6小题,共计70分)
17.(10分)在△ABC中,A=120°,b=1,S△ABC=
(1)求a、c的大小;
(2)求sin(B+)的值.
===,解得c=4.
【解答】解:(1)∵S
△ABC
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=12+42﹣2×1×4×cos120°=21.
∴a=.
(2)由正弦定理可得:,
∴sinB==,
∵B为锐角,∴cosB==,
∴=+cosBsin==.
18.(12分)已知函数f(x)=x2﹣2x+a,f(x)<0的解集为{x|﹣1<x<t}(Ⅰ)求a,t的值;
(Ⅱc为何值时,(c+a)x2+2(c+a)x﹣1<0的解集为R.
【解答】解(1)∵x2﹣2x+a<0的解集为{x|﹣1<x<t}.∴﹣1+t=2,﹣1×t=a,解得t=3,a=﹣3.
(2)由(1)可知:a=﹣3,代入得(c﹣3)x2+2(c﹣3)x﹣1<0,因为其解集为R,
∴,或c=3.
解得2<c≤3.
故当2<c≤3满足条件.
19.(12分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD﹣A 1C1D1,这个几何体的体积为.
(1)求棱A1A的长;
(2)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积.
【解答】解:(1)设A1A=h,∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为,
∴VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=,
即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=,
即2×2×h﹣××2×2×h=,解得h=4.
∴A1A的长为4.
(2)如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连OA1,OC1,OD.
∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体,∴A1D1⊥平面A1AB.
∵A1B⊂平面A1AB,∴A1D1⊥A1B.
∴OA1=D1B.同理OD=OC1=D1B.
∴OA1=OD=OC1=OB.
∴经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O.
∵D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24.
=4π×(OD1)2=4π×()2=π×D1B2=24π.
∴S
球
故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24π.
20.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=AD,F为PD的中点.
(1)求证:AF⊥平面PDC;
(2)求直线AC与平面PCD所成角的大小.
【解答】解:(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵正方形ABCD中,CD⊥AD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AF,
∵PA=AD,FP=FD
∴AF⊥PD
又∵CD∩PD=D
∴AF⊥平面PDC…(6分)
(2)连接CF
由(1)可知CF是AF在平面PCD内的射影
∴∠ACF是AF与平面PCD所成的角
∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC
在△ACF中,
∴
AF与平面PCD所成的角为30°.…..(12分)
21.(12分)已知点(1,)是函数f(x)=a x(a>0),且a≠1)的图象上一点,等比数列{a n}的前n项和为f(n)﹣c.数列{b n}(b n>0)的首项为c,且前n
=+(n≥2).
项和S n满足S n﹣S n
﹣1
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;
(2)若数列{}前n项和为T n,问T n>的最小正整数n是多少?
【解答】解:(1)由已知f(1)=a=,∴f(x)=,等比数列{a n}的前n 项和为f(n)﹣c=c,
∴a1=f(1)=﹣c,a2=[f(2)﹣c]﹣[f(1)﹣c]=﹣,a3=[f(3)﹣c]﹣[f(2)﹣c]=﹣
数列{a n}是等比数列,应有=q,解得c=1,q=.
∴首项a1=f(1)=﹣c=
∴等比数列{a n}的通项公式为=.
∵S n﹣S n
==(n≥2)
﹣1
又b n>0,>0,∴=1;
∴数列{}构成一个首项为1,公差为1的等差数列,
∴=1+(n﹣1)×1=n
∴S n=n2
当n=1时,b1=S1=1,
当n≥2时,b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣(n﹣1)2=2n﹣1
又n=1时也适合上式,
∴{b n}的通项公式b n=2n﹣1.
(2)==
∴
==
由,得,,
故满足的最小正整数为112.
22.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.
(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(Ⅱ)当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD?
(Ⅲ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)在△ABD中,
∵AD=4,,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.
∴AD⊥BD.(2分)
又∵平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥平面PAD.
又BD⊂平面MBD,
∴平面MBD⊥平面PAD.(4分)
(Ⅱ)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时,PA∥平面MBD.(5分)证明如下:连接AC,交BD于点N,连接MN.
∵AB∥DC,所以四边形ABCD是梯形.
∵AB=2CD,∴CN:NA=1:2.
又∵CM:MP=1:2,
∴CN:NA=CM:MP,∴PA∥MN.(7分)
∵MN⊂平面MBD,∴PA∥平面MBD.(9分)
(Ⅲ)过P作PO⊥AD交AD于O,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD.
即PO为四棱锥P﹣ABCD的高.(11分)
又∵△PAD是边长为4的等边三角形,∴.(12分)
在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高.∴梯形ABCD的面积.(14分)
故.(15分)
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型:图形特征:
运用举例:
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证AC⊥BD;
(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求⊙O的半径.
O D
A
B C
E
A
O
D C
B
2.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于P,设⊙O的半径是2。
(1)求︵
AB l+
︵
CD l的值;
(2)求AP2+BP2+CP2+DP2的值;
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ,对角线AC ,BD 交于点P . (1)如图1,设⊙O 的半径是r ,若︵AB l +︵
CD l =πr ,求证:AC ⊥BD ;
(2)如图2,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为G ,AE 交BD 于点M ,交⊙O 于点E ;过点D 作DH ⊥BC ,垂足为H ,DH 交AC 于点N ,交⊙O 于点F ;若AC ⊥BD ,求证:MN =EF .
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图,在⊙O 中,弦AB 丄弦CD 与E ,弦AG 丄弦BC 与F 点,CD 与AG 相交于M 点.
(1)求证:︵BD =︵
BG ;(2)如果AB =12,CM =4,求⊙O 的半径.
G
C
M
E D
O
B
A
5.(1)如图1,在⊙O 中,C 是劣弧AB 的中点,直线CD ⊥AB 于点E ,求证:AE =BE ;
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦,C 是劣弧AB 的中点,直线CD ⊥PA 于点E ,则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ,再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
(3)如图3,PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦,若C 上优弧AB 的中点,直线CD ⊥PA 于点E ,
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系?写出结论,并证明.
B
A
O
E
E
F
D
B
O
P
E
D
B
O
P
图1 图2 图3
6.已知:四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,且AC ⊥BD 于E ,F 为AB 中点。
(1)如图1,若连接FE 并延长交DC 于H ,求证:FH ⊥DC ;
(2)如图2,若OG ⊥DC 于G ,试判断线段OG 与EF 的关系,并说明理由。
H
E
F
D
B
O
A
C
G
F
E
B
C
O
A
D
图1
图2。