大学物理2009年B下学期期末计算题总结

(4cm ) ϕ1
=
π 6
r A2 (3cm)
ϕ2
=
−
5π 6
r A(1cm)
ϕ=π
.
6
合振动方程： x = 1cos(2t + π / 6) m
19
例：已知两谐振动的曲线，它们是同频率的谐振动。 求：合振动方程。
解：由图知 A1 = A2 = 5cm T1 = T2 = 0.1s ∴ω = 2π T = 20π
υ
=
dx
=
−0.12πsin(πt
−
π )
dt
3
a
=
dυ
=
−0.12π2cos(πt
−
π )
dt
3
关键是找出相位：(π t − π ) = 2π 33
将相位代入得：
ω
2π
3
−A o
x
2
υ = dx = −0.12πsin(πt − π ) = - 0.33(m/s)
dt
3
a
=
dυ
=
−0.12π2cos(πt
合外力和位移成正比，方向和位移相反，木块作谐振2动3 。
平 衡 位a 置
任 意 位o x 置
a
而 m = ρaS ,
∑ F = − Sρ gx
∑ 由牛顿定律 F = ma
−
Sρ
gx
=
ρ
Sa
d2x dt2
,
x
d2x dt2
+
g a
x
=
0
ω=
g ,
a
T = 2π
a g
24
4
设振动方程为：x = Acos(ω t + ϕ )
不考的内容： 光的双折射、 洛伦兹速度变换
5. 相对论 （ 9 分）
三、以教材和练习册题目为主
1
1. 振动方程 （10分）
求解简谐振动的典型问题：
1）给出振动系统，证明物体的运动 是简谐运动。
2）已知物体作简谐运动，由系统的力学 性质及初始条件求出振动表达式；或 由振动曲线求出振动表达式。
3）已知振动表达式，求 A、ω、ϕ 及 υ、a、F 等
解：要求振动方程，只要确定 A、ω和ϕ 即可。
由题可知：k、m、x0、v0，代入公式可得：
ω=
k= m
0.72 0.02
= 6 rad ⋅ s−1 ,
A=
x02
+
v
2 0
ω2
= 0.04m
又因为 x0 为正，初速度 v0＝0，可得 ϕ = 0
υ0 = −ω Asinϕ = 0 , sinϕ = 0 , ϕ = 0 或 π 又由 x0 = Acosϕ > 0 ∴cosϕ > 0 ,
解：1）因T = 2s。于是 ω = 2π = π (rad / s)
T
将已知条件代入运动方程 x = A cos(ω t + ϕ )
得：x0 = A cosϕ
即
ϕ =±π 3
考虑到 t = 0时 v0 = −Aω sinϕ > 0
于是运动学方程为 x = 0.12 cos(π
⇒ϕ t−π
= )
−π 3
量的方法确定更方便。）
10
例：一质点作简谐振动，周期为T。求：当它由平衡位
置向x轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位
移处这段路程所需要的最短时间。
解：由旋转矢量图可知，
ωy
当质点由平衡位置向x
轴正向运动时，从二分之
一最大位移处到最大位移
x
处时，转过的角度为：
∆θ = 0 − (− π ) = π = ω ∆t 33
开始计时，写出振动方程。
a
o x
b
a
x 22
平 衡 位a 置
任 意 位o x 置
a
（设木块的截面积为Ｓ，水的 密度为ρ，木块的质量为m ） x
平衡时： mg = F浮 = ρ agS ∴ m = ρ a S
任意位置木块受到的合外力为：
∑ F = mg − F'浮 = a Sρ g − (a + x)Sρ g = − Sρ gx
.
Ox
M1 20
∴ x1 = 5cos(20π t − π 2) cm x2 = 5cos(20π t + π ) cm
由旋转矢量法：
M2
A=
2
0M1
+
0M2
2
A
= 5 2 cm
5π
.4
Ox
M1
ϕ = 5 π ∴ x = 5 2 cos(20π t + 5 π )cm
4
4
21
例：一立方体木块浮于静止的水中，其浸入水中的高 度为 a，现用手指将木块轻轻压下，使其浸入水中的 高度为 b ，然后放手，任其自由振动。 （1）试证明，若不计水的粘滞阻力，木块将作简谐 振动；（2）求其振动周期和振幅；（3）若自放手时
−
π )
=
0.59(m/s2)。
dt
3
16
求：（4）从 x = - 0.06m 向 x 轴负向运动，第一次 回到平衡位置所需的时间（思考？）。
解：
∆ϕ = 3π − 2π = 5π 23 6
= ω∆t
∴∆t
=
∆ϕ ω
=
0.83
(s)
ωy
∆ϕ
ϕ = 2π
or 3
x
A
17
例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：
可得 −0.06 = 0.12cos(π t − π ) ⇒ π t − π = ± π + π
3
33
质点沿 x 负方向运动到 x = - 0.06m所需时间最短，即
v
=
−0.12π
sin(π
t
−
π 3
)
<
0
π
t
−
π 3
=
−
π 3
+π
⇒ t = 1s
（由初始时刻到 x = - 0.06m 处的最短时间用旋转矢
x1
=
4 cos(2t
+
π 6
)
m,
x2
=
3 cos(2t
−
5π 6
)
m
,
解：用解析法，合成后ω不变， x = Acos(2t + ϕ )
A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) =1m
tgϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 = 3 A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 3
3
（t = 1s 时的相位也可以用旋转矢量的方法确定。）7
例：已知 A = 0.12m，T =2s。当t = 0时，x0= 0.06m， 此时，质点沿 x 轴正向运动。
求：1）简谐振动方程；
2）当 t = 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；
3）由初始时刻到 x = - 0.06m 处的最短时间。
∴ϕ = π 6
因为当t = 0时
x1
+
x2
=
4 cos
π 6
+ 3cos(−
5π 6
)
>
0
合振动方程： x = 1cos(2t + π / 6) m
18
3
例：求合振动方程。已知两同方向、同频率谐振动：
x1
=
4 cos(2t
+
π 6
)
m,
x2
=
3 cos(2t
−
5π 6
)
m
,
用旋转矢量法：
r
.A1
由振动曲线还可知： t = 1s 时，x1 = 2cm, υ1 > 0
x0 = Acosϕ 即：− 又由 υ0 = −ω Asinϕ < 0
2= ,∴
4 c ∴ϕ
± =
2π
3 +
2
3
π
（初相位也可以用旋转矢量的方法确定。）
6
1
由 t = 1s 时，x1 = 2cm, 即：2 = 4cos(ω + 2 π )
m
3
（初相位也可以用旋转矢量的方法确定。） 8
于是运动学方程为 x = 0.12 cos(π t − π ) m 3
2）当 t = 0.5s 时，质点的位置、速度、加速度；
x = 0.12 cos(π t − π )
t = 0.5 0.104m
3
υ = dx = −0.12πsin(πt − π ) t = 0.5 - 0.19 (m/s)
)(m/s)
a
=
dυ
=
3 − Aω 2 cos(ω t + ϕ )
=
dt −0.06π
2
cos(π
t
−
π
)(m
/
s2
)
3
将 t= T/4 = 0.5 s 代入可得：
υ = −0.18(m/s)
a = −1.03(m / s2 )
15
（3）如果求：在 x = - 0.06m，且向 x 轴负方向
运动时刻的速度和加速度：
因而简谐振动的方程为：x = 0.04 cos(6t ) (m)
（初相位也可以用旋转矢量的方法确定。）
5
例：已知振动曲线，求： 振动表达式。
解：设振动表达式为：
x = Acos(ω t + ϕ )
x (cm)
4
o2
-2
1
-4
x−t 图
t (s)
由振动曲线知： A = 4cm
初始条件： t = 0 时，x0 = −2cm, υ0 < 0
x
3
证明： 找出平衡位置
kx = mg 0
x = mg
0
k
l 0
k
以平衡位置O为原点
x
F = mg − k( x0 + x)
0
o
f
= mg − kx0 − kx
x
m
= −kx
因此，此振动为简谐运动。
x
4
例：一弹簧振子系统，弹簧的弹性系数为 k = 0.72N/m， 物体的质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向 X轴正向拉长到 0.04m 处静止释放，求：振动方程。
x
or A
ϕ=−π 3
13
例： A = 0.12m，T = 2s， t = 0 时，x0 = 0.06m，v0 > 0。
求：（2）从初始时刻开始第一次通过平衡
位置所需时间。
解： 由旋转矢量法可知， 质点第一次通过平衡位置 时，振幅矢量转过的角度为：
∆ϕ = π + π = 5π = ω∆t 32 6
12
2
例： A = 0.12m，T = 2s， t = 0 时，x0 = 0.06m，v0 > 0。
求：（1）此简谐振动的表达式；
解： 取平衡位置为坐标原点，
ωy
设 x = Acos(ω t + ϕ )
ω = 2π = π (rad / s), T
由旋转矢量法得：ϕ = − π 3
∴ x = 0.12 cos(π t − π ) (SI ) 3
由初始条件： 当 t = 0 时, x0 = b−a , υ0 = 0
则 A=
x02
+
υ
2 0
ω2
= b−a,
由：υ0 = −Aωsinϕ = 0
∴ ϕ = 0 (Q x0 > 0)
∴振动表达式为：x = (b − a)cos⎜⎜⎝⎛
g a
⋅
t
⎟⎟⎠⎞
25
例：垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸 长量为b。用手将小球上托使弹簧保持自然长度后放手。
x /cm
5
振动1在 x10 = 0 ,
t= v10
0时： > 0 ∴ϕ1
=
−
π 2
0 −5
0.05
振动2在t = 0时：
x20 = −5cm , v20 > 0 ∴ϕ2 = π
M2
∴ x1 = 5cos(20π t − π 2) cm
x2 = 5cos(20π t + π ) cm
1
0.1 t/s 2
ωy
∆ϕ x
or A
ϕ=−π 3
∴ ∆t = ∆ϕ = 0.83 (s)
ω
14
求：（3）ｔ= T/4 时刻质点的位置、速度和加速度；
解： 由振动表达式： x = 0.12 cos(π t − π )(m)
3
可得：υ = dx = − Aω sin(ω t + ϕ )
=
dt
−0.12π
sin(π
t
-
π
2008年大学物理B下考试大纲
一、分数比例：振动和波动 26分；光学 35分；
相对论 12分；热学 9分；量子 18分。
（考到一维无限深势阱）
二、题型与考点：
选择题、填空题（共计51分）；计算题（共计49分）
计算题考点：
1. 振动方程 （10分）
2. 波动方程（ 10分） 3. 薄膜干涉 （10分） 4. 光栅衍射 （10分）
3 cos(ω + 2 π ) = 1
32
x (cm)
4
o2
-2
1
-4
x−t 图
t (s)
∴ω + 2π = ± π
3
3
又由 υ1 = −ωA
∴sin(ω + 2 π ) <
+ 2π , （注意：这里不能等于
sin(ω + 2 π ) > 0 ,
0,
∴ω
3 +
2π
=
5π
,
∴ω
±
π 3
）
=π
3
33
振动表达式为：x = 4cos(π t + 2 π ) cm
or A
ϕ=−π 3
所需的时间为： ∆t
=
∆θ ω
=
∆θ 2π
= T∆θ = T 2π 6
T
11
例：一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅 A = 0.12m，周 期 T = 2s，当 t = 0 时，x0 = 0.06m，此时质点向 x 轴 正向运动。求： （1）此简谐振动的表达式； （2）从初始时刻开始第一次通过平衡位置所需时间。 （3）ｔ=T/4时质点的位置、速度和加速度； （4）从 x = - 0.06m 向 x 轴负向运动，第一次回到平 衡位置所需的时间（思考？）。
注意：
1）振动方程用余弦函数的形式；
2）求初相位或某一时刻相位时，用旋转矢量的方
法较简单，要画出旋转矢量图。
2
例：一个轻质弹簧 竖直悬挂，下端挂 一质量为m的物体。 今将物体向下拉一 段距离后再放开。 证明：物体将作简 谐振动。
弹簧原长 l
0
挂m后伸长
平衡位置
x 0
o
伸长
x
k
受弹力
f m
某时刻m位置
dt
3
a = dυ = −0.12π2cos(πt − π ) t = 0.5 - 1.03 (m/s2)