2014中考数学动点最值问题归纳及解法

中考数学动点最值问题归纳及解法
最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析
近几年共同点： ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

小类知识归纳：
一、问题原型：
如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、
两镇供气，泵站修在管道的什
么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。

解这类问题 二、基本解法：
对称共线法。

利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。

三、一般结论：
(
在线段
上时取等号)（如图1-2）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

1.两个定点+一个动点。

如图1-3，作一定点
关于动点
所在直线的对称点，线段（
是另一定点）
与的交点即为距离和最小时动点
位置，最小距离和。

①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；
例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，
是对角线上一动点，则的最小值是。

解析：与关于直线对称，连结，则。

连结,在中，，，则
故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。

（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。

解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。

根据、、
三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。

设直线解析式为：。

把、代入得，。

当时，，则
2.两个定点+两个动点。

两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。

用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。

将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。

四边形为平行四边形，，此时值最小。

那么来往、两村最短路程为：。

例4(2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。

（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。

解析：作点关于轴的对称点，则，。

（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。

由
可知，那么，则。

（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。

从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。

在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。

此时值最小，则四边形的周长最小。

由、可求直线解析式为，当时，，即，则。

（也可以用（1）中相似的方法求坐标）
（二）“|动定|+|动动|”型：
两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。

利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。

例5（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为4 。

解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，，，当时，最小。

作于，交于，
∵，
∴
作交于，
3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。

例6（2009年漳州中考）如图8，，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。

解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时，周长最小，
∵，
∴。

则周长的最小值为
例7（2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。

著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速
公路同侧，
，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。

请你在
旁和
旁各修建一服务区
、
，使
、
、
、
组成的四
边形的周长最小，并求出这个最小值。

解析：作点
关于
轴的对称点
，点关于
轴的对称点
，连接
，。

当
、
在线段
上时，
最小。

过、分别作轴、轴的平行线交于。

在
中，
，
，
交
轴于
，交
轴于。

，而
∴ 四边形
的周长最小值为：
大类考题总结：
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内
函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”
时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，
大都应用这一模型。

二、 利用函数模型求最值
例1 、如图（1），平行四边形ABCD 中，︒=∠==120,3,4BAD BC AB ，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作AB EF ⊥于F ，设,x BE =DEF ∆的面积为.S 当E 运动到何处
时，S 有最大值，最大值为多少？
（1 【观察与思考】容易知道S 是x 的函数，为利用函数的性质求S 的最大值， 就应先把S 关于x 的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。

（1）
解：如图（1`），延长FE 交DC 的延长线于,G 易知DG FG ⊥。

DG EF S ⋅=
∴21，而x B BE EF 2
3
sin =⋅=， 又，在CEG Rt ∆中，2
360cos )3(,3x x CG x CE -=︒⋅-=-=。

2
11234x
x CG DC DG -=-+=+=∴。

,8
3
1183212x x DG EF S +-=⋅⋅=
∴中30≤<x 。

,08
3
<- 对称轴∴=,211x 当30≤<x ，S 随x 的增大而增大。

∴当3=x ，即E 与C 重合时，S 有最大值，33=最大S 。

【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。

三、利用几何模型求最值
（1）归入“两点之间的连线中，线段最短” 例1、几何模型：
条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；
（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；
（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．
G A
B
A '
P
l
O
A
B P
R
Q 图3 O
A
B C 图2
A
B E C
P D 图1
（第1题）
P
例2 如图（1）所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区B A ,，已知AB 10=千米，直线AB 与公路MN 的夹角,30︒=∠AON 新开发区B 到公路MN 的距离3=BC 千米。

（1）求新开发区A 到公路MN 的距离；
（2）现从MN 上某点P 处向新开发区B A ,修两条公路PB PA ,，使点P 到新开发区B A ,的距离
之和最短，请用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PB PA +的值。

【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。

对于（2），首先利用“轴对称”的性质，
把原题中的求“PB PA +” 最短，转化成求“ PB PA +'”最短（其中'A 是A 关于MN 的对点。

解：（1）先作AD 垂直于MN 于点D 如图（1`）
在OBC Rt ∆中，62==BC OB （千米）
在
AOD Rt ∆中，16=+=BO AB AO （千米）︒=∠30AOD
82
1
==
∴AO AD （千米） （2）作点A 关于MN 的对称点'A ，连结'BA 交MN 于点P 。

结果如图（1``），点P 即为所求。

如图（1``），作'//''BA CA 交'AA 的延长线于点''A 。

在D CA Rt ''∆中，11''=+=BC AD D A （千米）， 353338=-=-=OC OD CD （千米）。

1475121'''''22=+=+==∴CD D A CA BA （千米）。

∴此时PB PA +14'==BA （千米）
注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。

不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
A C
N O M
A C N
O
M
D
A
N
M
︒
例3 如图（1），抛物线35
18
532+-=x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，
的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。

解：如图（1`），由题意可得A （0，3），M )2
3,0(，抛物线的对称点
为3=x ，点M 关于x 轴的对称点为'M )2
3
,0(-，点A 关于抛物线
对称轴3=x 的对称点为'A （6，3）。

连结''A M 。

根据轴对称性及两点间线段最短可知，'A 'M 的长就是所求点P 运动中 最短总路程的长，'A 'M 在直线的方程为2
3
43-=
x y （过程略）。

设'A 'M 与x 的交点为,E 则E 为在x 轴上所求的点，'A 'M 与直线
3=x 的交点为所求的F 点。

可得E 点的坐标为（2，0），F 点的坐标为4
3
,3(）。

由勾股定理可求出'A 'M 2
15
=（过程略）
所以点P 运动的总路程（FA EF ME ++）最短时间为
2
15。

不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”
例5、如图（1），直线23+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D 。

（1）求点D 的坐标；
（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标。

若不存在，请说明理由。

x
x
解：（1）在23+-=x y 中，分别令0,0==y x 得B 点的坐标为（2，0），C 点的坐标为
)0,3
3
2(
OB 为⊙A 的直径，BC OD ⊥∴。

,33233
2tan ==∠CBO ,60,30︒=∠︒=∠∴C B 且12
1
==OB OD
在COD Rt ∆中，由︒=∠30COD 和1=OD ，得点D 的坐标为（
1,2
3
）（2
）如图（1``），当点P 为该抛物线的对称轴3
3
=x 和CD 所在的
直线23+-=x y 的交点处时，CD PD PC PD PO =-=-，其值最大，而
3
3
33130tan =
⨯
=︒⋅=OD CD 。

解得此时点P 的坐标为)1,3
3
(。

∴点P 为)1,33(
时PD PO -取最大值为
3
3。

【说明】这里将求“两线段之差的最大值”，借助“三角形两边之差 小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线 对称轴的性质。

x
x
2
3+-=x y 3
3
=
x
x
解题技巧总结：
例1.如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；
(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.
解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB ∽△EAC, ∴AC
BD CE AB =,
∴
1
1x y =, ∴x y 1=.
(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2
90α
-︒,
且函数关系式成立, ∴2
90α
-︒=αβ-, 整理得=-
2
α
β︒90. 当=-
2
α
β︒90时,函数解析式x
y 1
=
成立. 应用求图形面积的方法建立函数关系式
例2（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .
(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.
解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2
1
BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC
⋅=∆2
1
, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,
在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴2
22)2(2)1(x x -+=+. 解得6
7=
x . 此时,△AOC 的面积y =6
17674=-
. A
E
D
C
B 图
2
3(1) A
B C
O
图8
H
②当⊙O 与⊙A 内切时,
在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得2
7=x . 此时,△AOC 的面积y =2
1274=-
. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为
6
17或21.
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与
特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

建立联系，计算说明
例3：如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 .
分析：能否将DN 和NM 进行转化，与建立三角形两边之和大于第三边
等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD 为正方形，因此连结BN ，
显然有ND=NB ，则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了，一般情况下：BN+NM ≥BM,只有在B 、N 、M 三点共线时，BN+NM=BM ，因此DN+MN
的最小值为BM=
522=+CM BC 本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边
及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。

例4：如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=4，OA ⊥BC 于O,点E
和点F 分别在边AB 、AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A 、C 重合，点E 不与B 、A 重合。

判断四边形AEOF 的面积是否随点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.
∆AEF 的面积是否随着点E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

（即例3的第2、第3问）
分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF 与
AE 长的函数关系式，如设AE=x ，则AF=x -22，
而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积之比=x 2
2，而三
角形AOB 的面积=221
=⨯⨯OA OB ，则三角形AOE 的面积=
2x ，同理三角形AOF 的面积=222x
-，因此四边形AEOF 的面积=
22)
22(=-+x x ；即AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是一个定值，且为
M
N
D C
B A F
E
O
C
B
A
2.
当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE 与三角形COF 全等，则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等，而AOC 的面积为2，因此AEOF 的面积不会随点E 、F 的变化而变化，是一个定值，且为2.
本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.
第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, ∆AEF 的面积=
1)2(21
)22(212+--=-x x x ,又x 的变化范围为220<<x ,由二次函数知识得∆AEF 的面积的范围为: <0∆AEF 的面积1≤.
本题也可以根据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系确定∆AEF 的面积范围: 不难证明∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积，它们公用边EF ，取EF 的中点H ，显然由于∆
OEF 为等腰直角三角形，则OH ⊥EF ，作AG ⊥EF ，显然AG ≤AH=AG （=EF 21），所以∆
AEF 的面积≤∆OEF 的面积，而它们的和为2，因此<0∆AEF 的面积1≤.
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供
读者欣赏.
例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x
x 41
y 2+-=）
⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；
⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的
两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．
为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、
B 四点为
顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．
的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示
各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却
与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。

例1. 在Rt ABC ∆中，AC ＝5，BC ＝12，∠ACB ＝90°，P 是AB 边上的动点（与点A 、B 不重合），Q 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合），当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

（03年广州市中考）
分析：不论P 、Q 如何运动，∠PCQ 都小于∠ACB 即小于90°，又因为PQ 与AC 不平行，所以∠PQC 不等于90°，所以只有∠CPQ 为直角，△CPQ 才可能是直角三角形，而要判断△CPQ 是否为直角三角形，只需构造以CQ 为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB 边上的动点P 在圆上，∠CPQ 就为直角，否则∠CPQ 就不可能为直角。

以CQ 为直径做半圆D 。

①当半圆D 与AB 相切时，设切点为M ，连结DM ，则 DM ⊥AB ，且AC ＝AM ＝5
所以 M B AB AM =-=-=1358 设CD x =，则DM x DB x ==-，12 在Rt DMB ∆中，DB DM MB 2
2
2
=+，即 ()1282
22-=+x x
解得：x =
103，所以CQ x ==2203 即当CQ =20
3且点P 运动到切点M 的位置时，△CPQ 为直角三角形。

②当20
3
12<<CQ 时，半圆D 与直线AB 有两个交点，当点P 运动到这两个交点的位
置时，△CPQ为直角三角形。

③当0
20
3
<<
CQ时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0＜∠CPQ＜90°，
此时，△CPQ不可能为直角三角形。

所以，当20
3
12
≤<
CQ时，△CPQ可能为直角三角形。