2013届唯博远大模拟一数学PDF

（1）求四棱锥 B1 − AECD 的体积；
（2）证明： B1 E ∥面 ACF ；
3 届唯博远大模拟题模拟一数学 201 2013
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（3）（理）求面 ADB1 与面 ECB1 所成二面角的余弦值． （文）求二面角 B1 − DC − A 的度数．
20．（本小题满分 12 分） 已 知 动 点 P ( x, y ) 到 F (1, 0) 的 距 离 与 到 y 轴 的 距 离 差 是 1 ， 动 点 Q ( x, y ) ， 满 足
1006 A． 1007
（
1005 C． 1006
）
B． 1009
1008
1004 D． 1005
8． （理）已知实数 x ∈ [0,8] ，执行如右图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 55 的概 率为 （ ）
1 A． 4
1 B． 2
3 C． 4
4 D． 5
（文） 某程序框图如图所示， 该程序运行后输出的 k 的值是 A． 4 B．5 C．6
3 sin ω x ⋅ cos ω x − cos 2 ω x(ω ＞ 0) 的最小正周期为 π
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（1）求 ω 的值及函数的单调递增区间；
（2）设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b = ac ，且边 b 所对的角为 x ，求此时 f ( x ) 的 值域．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的 4 个选项中， 只 有一项符合题目要求。 ）
x y x2 y 2 则集合 A ∩ B = + = 1}, B = {( x, y) 2 + 2 = 1} ， a b a b A． {( a, 0), (0, b)} B． [ − a, a ] C． [ −b, b] D． φ 1 + ai 2012 2012 2． （理）复数 z = 1 + ai + i 2011 为纯虚数，那么复数 ( ) 的值为 1 − ai
x
y
取值范围是 。 14． （理） 一个空间几何体的三视图如下左图所示， 则这个几何体的体积为
．
1 cm 2 cm 3 cm
（文）上示右图是一个几何体的三示图，该几何体的体积是
2
。

15．已知 A、B 为抛物线 y = 4 x 上不同两点，且直线 AB 倾斜角为锐角，F 为抛物线的 焦点，若 FA = −2 FB ，则直线 AB 的斜率为 16．下列命题中，正确命题的序号是
� � � π � � � 5．已知向量 a = 1, a + b = 13 ，两向量 a ， b 的夹角为 ，那么 b 为
π 6
B．
5π 12
C． 3
π
D． 4 （ ）
π
3
A． 1 B．2 C．3 D． 4 6．已知过 P(3, 4) 点向圆 x 2 + y 2 = 1 作切线 PA, PB ，切点是 A, B ，点 M (a, b)(a > 0, b > 0) 在 直线 AB 上， 那么 a + b 的最小值是 A． 11 + 4 6 B． 12 + 2 2 C．20
A． 35
6
B． 35
1
C． 35
8
D． 24
7
⎧ y−x≥0 ⎪ （文） 已知动点 P ( x, y ) 满足约束条件 ⎨ 2 x + y − 2 ≥ 0 ， 已知点 A (4, −2) ， O 是坐标原点， ⎪2 x + 3 y − 6 ≤ 0 ⎩
那么 OA ⋅ OP 的最小值是 3 届唯博远大模拟题模拟一数学 201 2013 第 2页
2 ④不等式 x + 3 − x −1 ≤ a −3a 对于任意实数 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围 (−∞, −1] ∪[4, +∞) ；
⑤在 ∆ABC 中， A < B 是 cos A > cos B 的充要条件． 三、解答题（本大题共 6 小题。共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) =
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3 届唯博远大模拟一 201 2013 数学
考试范围：学科内综合，第二轮复习用卷。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。 全卷统分卡 17 18 19 20 21 题号 1-12 13-1 22-2 总分 6 4 60 20 12 12 12 12 12 10 150 题分 得分 第Ⅰ卷答题卡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案
（2）求两名运动员分数之和超过 12 的概率?
19． （本小题满分 12 分）
1 已知四边形 ABCD 满足 AD ∥ BC ， BA = AD = DC = 2 BC = a ， E 是 BC 的中点，将
∆BAE 沿着 AE 翻折成 ∆B1 AE ，使面 B1 AE ⊥ 面 AECD ， F 为 B1D 的中点．
1． 集合 A = {x A． 1 B．-1 C．3 D． 4
（
）
（
）
2i 的四个命题： 其中真命题为 1+ i ① z = 2； ②复数 z 的虚部是 i ； ③复数 z 对应的点在第一象限； ④复数 z 的共轭复数为 1 − i
（文） 下面关于复数 z = A．①②④ B．①③④ C．①②③
x
（
| QA | + | QB |= 4 ；其中 A( − 3, 0), B ( 3, 0) ， （1）分别求动点 P 与 Q 的轨迹方程；
（2）设点 P 点的轨迹为曲线 C2 ， Q 点的轨迹为 C1 ，请问是否存在直线 l 同时满足条 件：①过点 F；②与曲线 C1 交于不同的两点 E，H，且满足 OE ⊥ OH ，O 为原点？ 若存在求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由．
1 2
（
）
D． 3 + 4 6 1 7． （ 理 ） 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 为 S n = n 2 + n ， 那 么 数 列 cn = a a ， 则 n n +1 3 届唯博远大模拟题模拟一数学 201 2013 第 1页
k =0 S =0 S < 100
S = S + 2k k k = k +1
x
2
。 。
①若直线 ax + by − 3a = 0 与双曲线 9 − 4 = 1 有且仅有一个公共点， 则这样的直线有 2 条；
2 2 ②命题“若 x = 4 ，则 x = 2或x = −2 ”的逆否命题是“若 x ≠ 2或x ≠ −2 ，则 x ≠ 4 ” ；
y
2
③如果正数 a, b 满足 ab = a + b+3 ，则 ab 的取值范围是 [8, +∞)
）
D．②③④ （ ）
3．定义在 (a , a 2 − 5a − 12) 的奇函数 f ( x ) =
2 +b ，那么 a + b 的值为 2x + 1
A．-1 B．-2 C．-3 D． 4 4．将函数 y = sin 2 x + 3 cos 2 x 的图像向右平移 φ (φ > 0) 个单位，使平移后的函数为关 于 y 轴对称， 则 φ 的最小值是 （ ） A．
c1 + c2 +⋯+ c2012的和为
503 A． 2013
（
501
）
B． 2012
C． 2011
499
D． 2015
497
（ 文 ） 对 于 数 列 {an } ， 有 任 意 m, n ∈ N * ， 满 足 am + n = am + an ， a2 = 2 ， 那 么
a1 + a3 + a5 + ⋯ + a2011 的值为 a2 + a4 + ⋯ + a2012
2
18．（本小题满分 12 分） （理）为迎接 2012 年伦敦奥运会的召开，在国家羽毛球队举行了一场选拔赛，其中甲、 乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行了 7 轮比赛得分如茎叶图所示
8 5 4 5 4 1 1
7 8 9
9 4 4 6 7 4 1
（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选 3 个不低于 80 分且不高于 90 分的得分， 求甲的三个得分与其每轮比赛的平均分的差的绝对值不超过 2 的概率；
c 的最小值；
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（3） 若过点 M ( 2, m )( m ≠ 2 ) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线， 求实数 m 的取值范围．
（文） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) = a ln x + bx 2 图象上点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 2 x − y − 3 = 0. （1）求函数 y = f ( x ) 的解析式；
（
）
A． 5
18
B．-2
C．-4
x2 y2
4 D． 3
2 11．已知抛物线 y = 2 px( p > 0) 的准线与双曲线 4 − 12 = 1 的准线相同，在抛物线上取一 点 A， 在点 A 到直线 x − y + 4 = 0 的距离与到抛物线的准线的距离和的最小值是 （ ）
3 2 5 2 4 2 B． 2 C． 2 D． 3 12 ．已知函数 f ( x + 2) 为偶函数，且 x > 2 时，恒有 f '( x) > 0 恒成立， f (4) = 0 ，则 （ ） ( x + 2) f ( x + 1) > 0 的解集是 A． ( −2, −1) B． (3, +∞) ∪ ( −2, −1) C． (4, +∞ ) ∪ (−1, −1) D． (3, +∞ )
A． 2
第Ⅱ卷 （非选择题
共90分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上。 ）
lg x , ( x > 0 ) ⎧ ⎪ a f ( x ) = , f ( f (1 ) ) = 2 ， (a > 0) 则 a 的值为 ⎨ 13． （理） 函数 。 x + td t , ( x ≤ 0 ) ∫ ⎪ ⎩ 0 1 1 2 （文）已知 x > 0, y > 0, 不等式 x > 0, y > 0, x + y = 1, + ≥ m + 3m 恒成立，则实数 m 的
（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于 80 分且不高于 90 分的得分中任 选 1 个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值 ξ 的分布列与期望．
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（文）甲乙两名运动员，决定有一名运动员参加伦敦奥运会，为了决定出赛权，有教 练员对两名运动员进行五次试赛进行打分，五次的得分情况如下 1次 2次 3次 4次 5次 甲 4 5 7 9 10 乙 5 6 7 8 9 （1）根据上述分数，决定哪名运动员参加伦敦奥运会？
21．（本小题满分 12 分） （理）已知函数 f ( x) = ax3 + bx2 − 3x ( a, b ∈ R) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为 y + 2 = 0 （1）求函数 f ( x ) 的解析式；
（2）若对于区间 [ −2, 2] 上任意两个变量的值 x1 , x2 都有 f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ c ，求实数
1 （2）函数 g ( x) = f ( x) + m − ln 4 ，若 g ( x) ≥ 0 在 [ , 2] 恒成立，求实数 m 的取值范围。
e
【选做题】请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题记分。 22． （本小题满分 10 分） 【选修】 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O 为 BC 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径作半圆与 BC 边、AB 边分别交于点 D、E，连接 DE。 （1）若 BD=6，求线段 DE 的长； （2）过点 E 作半圆 O 的切线，交 AC 于点 F，证明：AF=EF。
开始
（ D． 7
）
否
是
输出
结束
9 ．如图，设 A 、 B 、 C 、 D 为球 O 上四点，若 AB 、 AC 、 AD 两两互相垂直，且
AB = AC = 6 ， AD = 2 ，则球的体积与三棱锥 O − ABC 的体积比是
（
）
A． 3
32π
B． 3
19π
C． 3
25π
20π D． 3
2
n
3 10． （理）已知函数 f ( x) = − x + 3 f '(2) x ，令 n = f '(2) ，则二项式 ( x + x ) 展开式中各项 重新排列，其中有理项互不相邻的概率是 （ ）