2019-2020学年北京市密云县数学高二下期末预测试题含解析

2019-2020学年北京市密云县数学高二下期末预测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()()10x
f x e
ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a
的取值范围为（ ） A ．1,121e ⎡⎫
⎪⎢
-⎣⎭
B ．2
1,12e -⎡⎫
⎪⎢
-⎣⎭
C ．21
1,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦
D ．11,212e ⎛⎤
⎥-⎝
⎦ 【答案】B 【解析】 分析：数()()()10x
f x e
ax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于
1x x
e a xe x <-+有两个整数解，构造函数()1
x
x e h x xe x =-+，利用导数判断函数的极值点在()0,1，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果..
详解：因为()()
0010,10,11
x
x x x
x x x e x e e e ≥<⎧⎧⇒-≥⇒->⎨⎨≥<⎩⎩ 所以110x xe x -+≥>函数()()()10x
f x e
ax ax a a =--+≥，
若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，
等价于1
x
x e a xe x <-+有两个整数解，
设()()()
()
22,'11
x x x
x x e x e e h x h x xe x xe x --==-+-+， 令()'020x
h x x e =⇒--=，
令()()2,'10x
x
g x x e g x e =--=--<恒成立，()g x ∴单调递减，
又
()()00,10g g ><，∴存在()00,1x ∈，
使()()()000,,,h x x x h x =∴∈-∞递增，()()0,,x x h x ∈-∞递减， 若()a h x <解集中的整数恰为2个，则0,1x =是解集中的2个整数，
故只需()()()()222
22
01
11
2121211121a h a h e e a h a e e a h e ⎧<=⎪
<=⎪⎪⎨≥=⇒≤<--⎪
⎪≥-=⎪-⎩
，故选B. 点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判
别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解. 2．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（ ）种． A ．8 B ．15
C ．18
D ．30
【答案】A 【解析】 【分析】
本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果． 【详解】
由题意知本题是一个分类计数问题，
解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ． 【点睛】
本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果． 3．设复数1=
-i
z i
，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）
A ．
12
B ．
2
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】 先对1=
-i
z i
进行化简，然后得出z ，即可算出z z ⋅ 【详解】
()()()1111122
i i i i z i i i +=
==-+--+ 所以122i z =--，所以11111
2222442
i i z z ⎛⎫⎛⎫-+--=+= ⎪⎭⎭=⎝⎝⋅⎪ 故选：A 【点睛】
本题考查的是复数的运算，较简单.
4．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．r 2<r 1<0 B ．r 2<0<r 1
C ．0<r 2<r 1
D ．r 2＝r 1
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较. 详解：
变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，
可得：变量Y 与X 之间成正相关，因此10r >；
变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)， 可得：变量V 与U 之间成负相关，因此20r <
∴第一组数据的系数大于0，第二组数据的相关系数小于0.
故选B.
点睛：本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力.
5．已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为1
3
的等比数列，则n a =
A ．31123n
（
）- B ．1
31123n --（
） C ．21133n
-（
） D ．1
21133n --（
） 【答案】A 【解析】
分析：累加法求解。

详解：1
11()
3
n n n a a ---=，2
121()
3
n n n a a ----=，3
232111
()
3
3
n n n a a a a ----=-=
解得31123
n n a =-（
） 点睛：形如()1n n a a f n --=的模型，求通项公式，用累加法。

6．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为
5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）
A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．73,88ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦ C ．921,48ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D ．933,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
利用排除法，根据周期选出正确答案． 【详解】
根据题意，设函数()cos()f x A wx φ=+的周期为T ，则3
11534884
T πππ
=-=,所以 T π=.因为在选项D 中，区间长度为339388
ππ
π-= ∴()f x 在区间933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上不是单调减函数．所以选择D 【点睛】
本题考查了余弦函数()cos()f x A wx φ=+的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等．属于中等题．
7． “所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理 A ．完全正确
B ．推理形式不正确
C ．错误，因为大小前提不一致
D ．错误，因为大前提错误
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三段论定义即可得到答案. 【详解】
根据题意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故选A. 【点睛】
本题主要考查逻辑推理，难度不大. 8．若函数
()sin cos f x a x x =+在[,]34
ππ
-为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．(,3]-∞
C ．[3,1]
D ．(,3][1,)-∞⋃+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的导函数在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
恒为非负数列不等式，用分离常数法求得a 的取值范围.
【详解】 依题意，()'
cos sin 0f
x a x x =-≥在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上恒成立，即cos sin a x x ≥，当ππ
,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
时，
cos 0x >，故sin tan cos x a x x ≥=，tan y x =在ππ,34x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时为递增函数，其最大值为πtan 14=，故1a ≥.所以选A. 【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题. 9．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．283
π-
B ．483
π-
C ．8π-
D ．1689
π
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。

【详解】
根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为：3414
828.383
ππ-⨯⨯=- 故答案为：B. 【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；
侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
10．m N ∈且1m ，3m 可进行如下“分解”：333235,37911,413151719,=+=++=+++
若3m 的“分解”中有一个数是2019，则m =（ ）
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47
【答案】B 【解析】 【分析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断 【详解】
由题意得底数是2的数分裂成2个奇数，底数是3的数分裂成3个奇数，底数是4的数分裂成4个奇数，则底数是m 数分裂成m 个奇数，则共有()()212342
m m m +-+++
+=
个奇数， 2019是从3开始的第1009个奇数，
()()4424419892
+-=，()()45245110342
+-=
∴第1009个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，即45m =，
故选B 【点睛】
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。

11．已知点(0,1)M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，F 为C 的焦点，过M 点的直线与C 相切于点N ，则FMN ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．
1
2
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N 的坐标，进而求得面积. 【详解】
点()0,1M -在抛物线2
:2(0)C x py p =>的准线上,可得到p=2,方程为：2
4x y =，切点N （x,y ）,满足
24x y =，过M 点的直线设为1,y kx =-和抛物线联立得到2440x kx -+=，
2161601k k ∆=-=⇒=±，取k=1,此时方程为()2
440,2,1x
x N -+=
FMN ∆的面积为:1122 2.22
N S FM x =⨯⨯=⨯⨯=
故答案为：B. 【点睛】
这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率. 12．设(),22
a b
a b F a b -+=
-.若函数()f x ，()g x 的定义域是R .则下列说法错误．．
的是（ ） A ．若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()()()
,F f x g x 为增函数 B ．若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()()()
,F f x g x 为减函数 C ．若()f x ，()g x 都是奇函数，则函数()()()
,F f x g x 为奇函数 D ．若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()()()
,F f x g x 为偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意得出()()()()()()
()()
(),,,g x f x g x F f x g x f x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，据此依次分析选项，综合即可得出答案．
【详解】
根据题意可知，(),,,22a a b a b a b F a b b a b ≥-⎧+=
-=⎨<⎩
，
则()()()()()()
()()(),,,g x f x g x F f x g x f x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩
，据此依次分析选项：
对于A 选项，若函数()f x 、()g x 都是增函数，可得图象均为上升，则函数()()()
,F f x g x 为增函数，A 选项正确；
对于B 选项，若函数()f x 、()g x 都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数
()()(),F f x g x 为减函数，B 选项正确；
对于C 选项，若函数()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()()
,F f x g x 不一定是奇函数，如()f x x =，
()3g x x =，可得函数()()(),F f x g x 不关于原点对称，C 选项错误；
对于D 选项，若函数()f x 、()g x 都是偶函数，可得它们的图象都关于y 轴对称，则函数
()()(),F f x g x 为偶函数，D 选项正确．故选C ．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，解题时要理解题中函数的定义，考查判断这些基本性质时，可以从定义出发来理解，也可以借助图象来理解，考查分析问题的能力，属于难题． 二、填空题：本题共4小题
13．设实数,x y 满足约束条件10
{10210
x y x y x y -+≥+-≤--≤,则目标函数2z x y =+的最大值为________.
【答案】2 【解析】
分析：由题意，作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数过点A 时，取得最大值，即可求解.
详解：由题意，作出约束条件所表示的平面区域， 如图所示，
目标函数2z x y =+，即2y x z =-+，当直线2y x z =-+在y 上的截距最大值， 此时z 取得最大值，
结合图象可得，当直线2y x z =-+过点A 时，目标函数取得最大值，
由10
210x y x y +-=⎧⎨
--=⎩
，解得(1,0)A ，
所以目标函数的最大值为2102z =⨯+=
.
点睛：本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键，着重考查了数形结合法思想的应用． 14．命题000:,tan p x R x x ∃∈>的否定是__________．
【答案】,tan x R x x ∀∈≤ 【解析】
分析：特称命题的否定是全称命题，即“,?x p ∃的否定为“,?x p ∀⌝.
详解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题000:,tan p x R x x ∃∈>的否定是,tan x R x x ∀∈≤. 点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. “,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝，“,?x p ∃的否定为
“,?x p ∀⌝.
15．对于三次函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设''()f x 是函数()y f x =的导数'()y f x =的
导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数3
231()324
f x x x x =-+-，计算1232018
()()()()2019201920192019f f f f +++⋅⋅⋅+=__________． 【答案】1 【解析】
分析：求出二阶导数"()f x ，再求出()f x 的拐点，即对称点，利用对称性可求值．
详解：2
'()333f x x x =-+，"()63f x x =-，由"()0f x =得1
2
x =
，1()12f =，
即()f x 的图象关于点1
(,1)2
对称，∴()(1)2f x f x +-=， ∴122018(
)()()201920192019f f f +++ 1201822017
(()())(()())2019201920192019
f f f f =++++
10092010
((
)())20192019
f f ++ 210092018=⨯=．
故答案为1．
点睛：本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出()f x 的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．
16．已知,x y 满足约束条件240,
1,50,x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≥⎩
则2z x y =+的最小值为______________.
【答案】8 【解析】 【分析】
由题意画出可行域，利用图像求出最优解，再将最优解的坐标代入目标函数即可求出z 的最小值. 【详解】
由题意画出约束条件240150x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≥⎩
的可行域如图所示，
由图像知，当2z x y =+过点A 时，z 取得最小值， 联立240
50
x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得()2,3A ，
代入目标函数，min 2238z =+⨯=. 故答案为：8 【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题，考查学生数形结合的思想，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．进入春天，大气流动性变好，空气质量随之提高，自然风光越来越美，自驾游乡村游也就越来越热．某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于确定是否对进入景区车辆实施限行．为此，该景区采集到过去一周内某时段车流量与接待能力指数的数据如表： 时间 周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
车流量（x
千辆） 10
9
9.5
10.5
11
8
8.5
接待能力指数y
78
76
77
79
80
73
75
（I ）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程．
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为该线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？
附参考公式及参考数据：线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+，其中()()112
2
2
1
1
()
ˆ n
n
i i i i i i n
n
i i i i x x y y x y nxy x x x nx
b ====----==
--∑∑∑
∑
；
a y
b x =-
【答案】（I ）ˆ258y
x =+ （Ⅱ）是可靠的，详见解析 【解析】
【分析】
（I ）根据表格中的数据，利用公式求得ˆˆ,b
a 的值，即可求得回归直线的方程. （Ⅱ）由（I ）中的回归直线的方程，分别代入8x =和8.5x =进行验证，即可得到结论. 【详解】
（I ）由表中的数据，可得1
5
x =
（10+9+9.5+10.5+11）＝10， 1
5
y =
（78+76+77+79+80）＝78， 又由
()()5
1
i
i
i x x y y =--=∑5，5
2
1
()i
i x x =-=∑ 2.5，
则()()121 522.5 ()ˆn
i i i n i i x x y y x x b ==---===-∑∑，ˆˆa y bx =-=78﹣2×10＝1． 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ258y
x =+； （Ⅱ）当8x =时，ˆ285874y
=⨯+=，满足|74﹣73|＝1＜2， 当8.5x =时，ˆ28.55875y
=⨯+=，满足|75﹣75|＝0＜2， 所以是可靠的． 【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归分析的应用，其中解答中认真审题，利用公式准确求解回归直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，1237a a a ++=，数列{}n n b a -的前n 项和为2
n S n =.
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）12n n a ；（Ⅱ）221n n +-.
【解析】 【分析】
（I ）将已知条件转化为1,a q ，由此求得q 的值，进而求得n a 的通项公式.（II ）利用1n n S S --求得n n b a -的表达式，由此求得n b 的表达式，利用分组求和法求n T 的值. 【详解】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比q
1237a a a ++=即217q q ++=，
解得：2q =或3- ，
又{}n a 的各项为正，0q ∴>，故2q =
∴ 12n n a -=
（Ⅱ）设n n n c b a =-，数列{}n c 前n 项和为2
n S n =.
由11,1,, 2.n n
n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得21n c n =-.
21n n b a n ∴-=-
.1
21212n n n b n a n -∴=-+=-+,
()(
)
11213+21122n n n T b b b n -⎡⎤∴=++
+=++
-+++
⎣⎦
2
2122112
n
n n n -=+=+--.
【点睛】
本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题. 19．已知函数()2f x x a x =++-. （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；
（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m n A ∈，
时，求证：|4|2||mn m n ++. 【答案】（1）1或5-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值不等式得到|2|3a +=，计算得到答案.
（2）去绝对值符号，解不等式()4f x ≤得到集合[]2,2A =-，利用平方作减法判断大小得证. 【详解】
（1）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =++-+--=+（当且仅当()(2)0x a x +-时取“=”）.
所以|2|3a +=，解得1a =或5-.
（2）当2a =时，2,2
()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪
=++-=-<⎨⎪⎩
.
当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-，又2x <-，所以不等式无实数解；
当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，所以22x -≤<；
当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x ≤，又2x ≥，所以2x =； 所以()4f x ≤的解集为[]2,2A =-.
()()222222(4)4()81642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++
22221644m n m n =+--
()()22224164m n m n =-+- ()()2244m n =-- .
因为[],2,2m n ∈-，所以224040m n --，
≤≤，所以2
2
(4)4()0mn m n +-+，
即2
2(4)4()mn m n ++，所以|4|2||mn m n ++.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式，绝对值不等式的证明，讨论范围去绝对值符号是解题的关键. 20．己知数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足：23n n S a n =+-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令(1)1n n n b a a =
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有5
6
n T <．
【答案】（Ⅰ）1
21n n a -=+（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由23n n S a n =+-，可得112(1)n n a a --=-，即数列{1}n a -时以1为首项公比为2的等比数列，
即可求解．（Ⅱ）111111111
(2)(1)2(21)224
n n n n n n n n b n a a -----=
=<=-+，当2n 时，
211
11111115412444223614n n T -<+++⋯+<+=+=-，当1n =时，115
26T =<，即有56
n T <．
【详解】
（Ⅰ）由23n n S a n =+-，于是，
当2n ≥时,11221n n n n n a S S a a --=-=-+， 即121n n a a -=-，
112(1)n n a a --=-，∵111a -=，数列{1}n
a -为等比数列，
∴1
12n n a --=，即121n n a -=+．
（Ⅱ）111111111
(2)(1)2(21)224
n n n n n n n n b n a a -----=
=<=≥-+⋅，
∴当2n ≥时，21
1
11111115412444223614
n n T -<+++⋅⋅⋅+<+=+=-， 当1n =时，115
26
T =
<显然成立， 综上，对于任意的*n N ∈，都有56
n T <． 【点睛】
本题考查了数列的递推式，等比数列的求和、放缩法，属于中档题． 21．已知函数()ln f x x mx m =-+，R m ∈ (1) 求函数()f x 的单调区间.
(2)若函数()0f x 在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数m 的值． 【答案】（1）在10,m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减（2）1m =
【解析】 【分析】
（1）对函数()f x 求导，讨论参数的取值范围，由导函数求单调区间
（2）由题函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立等价于在()0,x ∈+∞上()max 0f x ≤， 构造函数()ln 1g x x x =--，讨论()g x 的单调性进而求得答案。

【详解】 （1）()()110mx f x m x x x
-=
-=>' 当0m ≤时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，由()0f x '>得10mx ->，解得10x m <<
，由()0f x '<得10mx -<，解得1
x m
>，所以()f x 在10,
m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减。

（2）由题函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立等价于在()0,x ∈+∞上()max 0f x ≤ 由（1）知当0m ≤时显然不成立，
当0m >时， ()max 11ln 1ln 1f x f m m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭
， 只需ln 10m m --≤即可。

令()ln 1g x x x =--，则()()1
10g x x x
=-
>' 由()0g x '>解得1x >，由()0g x '<解得01x << 所以()g x 在()1,+∞上单调递增；在()0,1上单调递减， 所以()()min 10g x g ==
所以若函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则1m = 【点睛】
本题考查含参函数的单调性以及恒成立问题，比较综合，解题的关键是注意讨论参数的取值范围，构造新函数，属于一般题。

22．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长22.06%.下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；
（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y 为产值不超过500万元的城市个数，求Y 的分布列及期望和方差.
【答案】 (1)1；(2)答案见解析. 【解析】
分析：（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数；
（2）由Y 的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y 的分布列及期望和方差. 详解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（0.03+0.04）×5]×40=1． （2）Y 的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
期望为：，
方差为：．
点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.。