高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质

4.1不等式的基本性质
1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;
⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;
⑨开方法则：a>b>0 ;
⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式
（以下√表示根号，＾表示指数）
如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab
如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。

（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。

）
和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）
b
a 1
1<⇒n
n b a >⇒
均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。

）
( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。

）
1 .证明下列不等式：
（1）已知d c b a ,,,都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++
（2）已知12,0,0=+>>y x y x ，求证：
2231
1+
≥+y
x
【解析】 （1）
,,,0,0
()()4a b c d R ab cd ac bd ab cd ac bd abcd +∈∴+≥>+≥∴++≥
当且仅当ab cd
ac bd
=⎧⎨=⎩即b c =时，取“=”号.
（2）
21,0,0
11112()(2)33x y x y x y
x y x y x y y x
+=>>∴+=++=++≥+当且仅当21
20,0
x y x y
y x x y ⎧+=
⎪
⎪=
⎨⎪
⎪>
>⎩即112x y =-=时，取“=”号.
2.已知函数c ax x f -=2
)(，1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的取值范围。

【解析】
(1),(2)4,(3)9f a c f a c f a c =-=-=-
设(3)9(1)(2)()(4)(4)()f a c mf nf m a c n a c m n a m n c =-=+=-+-=+-+
491m n m n +=⎧∴⎨
+=⎩解出53
8
3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
58(3)(1)(2)33f f f ∴=-+ 又
4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤
55208840
(1),(2)333333
f f ∴≤-≤-≤≤. 58
1(1)(2)2033
f f ∴-≤-+≤，即1(3)20f -≤≤
3.（1）求函数1
1
2)(-+=x x x f 的值域。

（2）已知+∈=+R y x y x ,,12，求y x 2的最大值。

【解析】 （1）
1x ≠∴分以下两类情况讨论：
①当1x >时，10x ->
，则1
()2(1)221
f x x x =-+
+≥+-当且仅当12(1)1x x -=
-且1x >
，即12
x =+时，取“=”号 ②当1x <时，10x ->
，此时11
()22(1)2211f x x x x x
-=-+
=-+-≥--
()2f x ∴≤-当且仅当12(1)1x x -=
-且1x <
，即12
x =-时，取“=”号 综上，()f x
的值域为(,2[222,)-∞-++∞ （2）
,x y R +∈且21x y +=
2233342(2)2
4(4)(
)[]()333
x x y x y x y x y +++∴=≤== 2227x y ∴≤，当且仅当21
40,0
x y x y x y +=⎧⎪
=⎨⎪>>⎩
，即21,36x y ==时，取“=”号
即2x y 的最大值为227
.
4.（1）解下列不等式：232+-x x ＞x ＋5
（2）当k 为何值时，不等式13
64222
2<++++x x k
kx x 对于任意实数恒成立。

【解析】
（1）原不等式同解于（Ⅰ）222
320
5032(5)x x x x x x ⎧-+≥⎪
+≥⎨⎪-+≥+⎩或（Ⅱ）232050x x x ⎧-+≥⎨+<⎩
解（Ⅰ）得23
513
x -≤<-；解（Ⅱ）得5x <-. 所以原不等式的解集为23
{|}13
x x <-
（2）
2463x x ++恒大于0∴原不等式同解于2222463x kx k x x ++<++
即22(62)30x k x k +-+->.
由已知它对于任意实数恒成立，则有2(62)8(3)0k k ---<， 即(3)(1)0k k --<解出13k <<为所求.
5.设函数11
()2
x x f x +--=
，求使()f x ≥x 取值范围．
【解析】 即解 1
12
--+x x 2
32≥2
311≥
--+⇔x x 分三类 ①⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+---<23111x x x x ⇒∈∅
②⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-++≤≤-23111
1x x x ]1,43[∈⇒x
③),1(23111+∞∈⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-+>x x x x
①②③求并集得 x 的取值范围是[
),4
3
+∞
6.已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程012)(=+-x x f 有两个实根为
4,321==x x .
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）设1>k ，解关于x 的不等式；x
k
x k x f --+<
2)1()(
【解析】
（1）将0124,32
21=+-+==x b
ax x x x 分别代入方程
得 ).2(2)(,218
416939
2≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=+x x x x f b a b
a b
a 所以解得 （2）不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x ①当12,(1,)
(2,).k x k <<∈+∞解集为
②当2
2,(2)(1)0(1,2)
(2,);k x x x =-->∈+∞时不等式为解集为
③2,(1,2)
(,)k x k >∈+∞当时解集为
7．已知0a >且1,a ≠ 试解关于x 的不等式
1
7.2
x <-
【解析】
令t =
0t ≥) ,
则原不等式
()()260320
t t t t ⇔+-<⇔+-<.
30,20,t t +>∴-<
即 02≤<，1log 5.a x ∴≤<
故当1a >时，原不等式的解是5;a x a ≤<当01a <<时，原不等式的解是5.a x a ≤< 8．解不等式：
).1(12
)
1(<>--a x x a
【解析】 原不等式可化为
,02
)
2()1(>--+-x a x a 即.0)2)](2()1[(>--+-x a x a
∵a <1，∵（x －2）.0)1
2
(<---a a x 当
212>--a a 时，即0<a <1时，解集为};12
2|{--<<a a x x 当
21
2
=--a a 时，即a =0时，解集为φ； 当
212<--a a 时，即a <0时，解集为.212|⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<--x a a x 9．（1）已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222
()a b a b x y x y
++≥
+，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-（1
(0,)2
x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．
【解析】
（1）22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+，
故222()a b a b x y x y ++≥+．当且仅当22y x a
b x y =，即a b x y =时上式取等号； （2）由（1）222
23(23)()252122(12)
f x x x x x +=
+≥=-+-． 当且仅当
23212x x =-，即15
x =时上式取最小值，即min [()]25f x =．
10．对于定义在区间[],m n 上的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意的[],x m n ∈，均有不等式()()1f x g x -≤成立，则称函数()f x 与()g x 在[],m n 上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数()()log 3a f x x a =-与()1
log a g x x a
=-()0,1a a >≠，给定区间[]2,3a a ++.
（1）若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是否“友好”. 【解析】
（1）函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上有意义，
必须满足23020010,1a a a a a a a +->⎧⎪
+->⇒<<⎨⎪<≠⎩
（2）假设存在实数a ，使得函数()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是“友好”的， 则()()(
)()2
2
2
2log 43log 431a a
f x
g x x ax a
x
ax a -=-+⇒-+≤
即 ()
22
1log 431a x ax a -≤-+≤ （*）
因为()()0,120,2a a ∈⇒∈，而[]2,3a a ++在2x a =的右侧，
所以函数()()
22
log 43a g x x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上为减函数，从而
()()()()()()
max min 2log 443log 96a a g x g a a g x g a a =+=-⎡⎤⎣⎦=+=-⎡⎤⎣⎦
于是不等式（*）成立的充要条件是
()(
)log 441log 961001
a a a a a a -≤⎧⎪-≥-⇒<≤⎨⎪<<⎩
因此，当0a <≤
()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是“友好”
的；当a >
()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上是不“友好”的.。