高考数学模拟复习试卷试题模拟卷12315
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高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【重点知识梳理】 1.向量的有关概念
名称 定义
备注
向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量 长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a
|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定 义 法则(或几何意义) 运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:a +b =b +a. (2)结合律: (a +b)+c =a +(b +c)
减法 求a 与b 的
相反向量 -b 的和的
a -
b =a +(-b)
运算叫做a与b的差
数乘求实数λ与向
量a的积的运
算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa
的
方向与
a的方向相
同;当λ<0时,λa
的方向与a的方向相
反;当λ=0时,λa
=0
λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
【高频考点突破】
考点一平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB
→
=DC
→
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中正确命题的序号是()
A.②③ B.②④ C.③④ D.②③④
【答案】A
【规律方法】(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a|的关系:a
|a|是与a 同方向的单位向量.
【变式探究】给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③若λa =0 (λ为实数),则λ必为零;
④已知λ,μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为() A .1 B .2 C .3 D .4
【答案】C
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (1)在△ABC 中,AB 边的高为CD ,若CB →=a ,CA →=b ,a·b =0,|a|=1,|b|=2,则AD →
=() A.13a -13b B.23a -23b C.35a -35b D.45a -45b
(2)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与B D 交于点O ,AB →+AD →=λAO →
,则λ=________.
【答案】(1)D(2)2
规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
【变式探究】 (1)如图所示,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB →=a ,AC →
=b ,则AD →
=()
A .a -12b B.1
2a -b C .a +12b D.1
2a +b
(2)如图,D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则()
A.AD →+BE →+CF →=0
B.BD →-CF →+DF →=0
C.AD →+CE →-CF →=0
D.BD →-BE →-FC →=0
【答案】(1)D(2)A
考点三 共线向量定理的应用
【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.
(1)若AB →=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →
=3(a -b).求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使ka +b 和a +kb 共线.
【规律方法】(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量a ,b 共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a +λ2b =0成立;若λ1a +λ2b =0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a ,b 不共线.
【变式探究】 (1)已知向量i 与j 不共线,且AB →=i +mj ,AD →
=ni +j.若A ,B ,D 三点共线,则实数m ,n 应该满足的条件是()
A .m +n =1
B .m +n =-1
C .mn =1
D .mn =-1