初三配方法求最值练习题

初三配方法求最值练习题
在初三数学学习中，配方法求最值是一个重要的知识点。

这个方法
不仅可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，还能训练我们的思维能
力和解题技巧。

本文将给大家提供一些配方法求最值的练习题，希望
能帮助大家更好地掌握这一知识点。

1. 求函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要找到函数的极值点。

对于二次函数$f(x)$来说，极值点位于顶点处。

由于函数$f(x)$的二次项系数是正数，所以它
的抛物线开口朝上，顶点是最小值点。

首先，我们求得函数$f(x)$的导数$f'(x)=2x-2$。

令导数为零，可以
得到$x=1$。

因此，函数$f(x)$的顶点横坐标为$x=1$。

将$x=1$代入函数$f(x)$，可以得到$f(1)=1^2-2\times 1+3=2$。

所以
函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最小值为2。

接下来，我们需要确定最大值。

由于函数$f(x)$是一个开口朝上的
抛物线，所以最大值要么出现在区间的端点，要么出现在极值点$x=1$。

将$x=0$和$x=3$分别代入$f(x)$，可以得到$f(0)=3$和$f(3)=6$。

所
以函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值为6。

综上所述，函数$f(x)=x^2-2x+3$在区间$[0,3]$上的最大值为6，最
小值为2。

2. 设$x,y$是非负实数，且满足$x+y=6$，求函数$F(x)=x^2y$的最大值。

解析：根据题目的条件，我们可以得到$y=6-x$。

将其代入函数$F(x)$，可以得到$F(x)=x^2(6-x)$。

我们要求函数$F(x)$的最大值，可以通过求导数来解决。

首先，对函数$F(x)$求导数，可以得到$F'(x)=12x-2x^2$。

令导数为零，可以得到$12x-2x^2=0$。

化简后，得到$x(6-x)=0$，解得$x=0$和$x=6$。

将$x=0$和$x=6$代入函数$F(x)$，可以得到$F(0)=F(6)=0$。

所以函数$F(x)$的最大值可能出现在$x=0$和$x=6$处。

接下来，我们需要判断函数$F(x)$在$x=0$和$x=6$处的最大值。

可以通过求二阶导数来判断。

对函数$F(x)$求二阶导数，可以得到$F''(x)=12-4x$。

在$x=0$处，$F''(0)=12$；在$x=6$处，$F''(6)=-12$。

由于$F''(0)>0$，所以$x=0$处是函数$F(x)$的最小值点。

而
$F''(6)<0$，所以$x=6$处是函数$F(x)$的最大值点。

将$x=6$代入函数$F(x)$，可以得到$F(6)=6^2(6-6)=0$。

所以函数$F(x)=x^2y$的最大值为0。

综上所述，函数$F(x)=x^2y$的最大值为0，当且仅当$x=6$且
$y=0$时取得。

通过以上两个练习题的分析与求解，我们了解了配方法求最值的基
本思路和步骤。

通过反复练习和解题，我们可以更加熟练地运用配方
法来解决各种数学问题，提高我们的数学水平和解题能力。

同时，我
们也要注重对数学知识的理解和掌握，以便于灵活运用在实际问题中。

希望大家能够认真学习，并在实践中不断提高自己。