分类讨论型试题(含答案)[下学期]

分类讨论型问题探究
分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.
例1（2005年黑龙江） 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
分析：本题是无附图的几何试题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对题目进行分情况讨论。

分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.
解：（1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1)，由勾股定理得AE ＝25（m ）
由DE ∥FC 得，FC
ED AC AE =，得FC ＝24（m ） S △ABC =1
2 ×40×24=480（m 2）
(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得，S △ABC =1
2×64×24=768（m 2）
说明：本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。

练习一 1、（2005年资阳市）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）
A. 2a b +
B. 2a b -
C. 2a b +或2
a b - D. a+b 或a-b
2．（2005年杭州）在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )
(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条
3（2005年潍坊市）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的
半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．
A ．5cm
B ．11cm
C ．3cm
D ．5cm 或11cm
图1
图2
A
4.（2005年北京） 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2 ·，则∠BCA 的度数为____________。

5、（2005年金华）直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，抛物线y ＝x 2－x －6与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C.如果点M 在y 轴右侧的抛物线上， S △AMO ＝2
3S △COB ，那么点
M 的坐标是 .
例题2（2005年金华）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，点E 是AB
边上的一点，AE ＝2 2. 过D ，E 两点作直线PQ ，与BC 边所在的直线MN 相交于点F. （1）求tan ∠ADE 的值； （2）点G 是线段AD 上的一个动
点，GH ⊥DE ，垂足为H. 设DG 为x ，四边形AEHG 的面积为y ，试写出y 与x 之间的函数关系式；
（3）如果AE ＝2EB ，点O 是直线MN 上的一个动点，以O 为圆心作圆，使⊙O 与直线 PQ 相切，同时又与矩形ABCD 的某一边相切. 问满足条件的⊙O 有几个？并求出其中一个圆的半径.
分析：分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论；由于题情复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。

解：（1）∵ 矩形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝8，AE ＝22， ∴ tan ∠ADE ＝AE AD ＝228＝24.
（2）∵ DE ＝AD 2＋AE 2＝82＋(22)2＝62， ∴ sin ∠ADE ＝AE ED ＝2262＝13，cos ∠ADE ＝AD ED ＝862＝22
3.
在Rt △DGH 中，∵ GD ＝x ， ∴ DH ＝DG ·cos ∠ADE ＝22
3
x ，
∴ S △DGH ＝12DG ·DH ·sin ∠ADE ＝12·x ·223x ·13＝29
x 2
.
∵ S △AED ＝12AD ·AE ＝1
2×8×22＝82，
∴ y ＝S △AED －S △DGH ＝82－
29
x 2
， 即y 与x 之间的函数关系式是y ＝－
29
x 2
＋8 2. （3）满足条件的⊙O 有4个.
以⊙O 在AB 的左侧与AB 相切为例，求⊙O 半径如下： ∵ AD ∥FN ，
∴ △AED ∽△BEF. ∴ ∠PFN ＝∠ADE.
∴ sin ∠PFN ＝sin ∠ADE ＝1
3.
∵ AE ＝2BE ，
∴ △AED 与△BEF 的相似比为2∶1， ∴ AD FB ＝1
2
，FB ＝4. 过点O 作OI ⊥FP ，垂足为I ，设⊙O 的半径为r ，那么FO ＝4－r. ∵ sin ∠PFN ＝OI FO ＝r 4－r ＝1
3
，
∴ r ＝1.
（满足条件的⊙O 还有：⊙O 在AB 的右侧与AB 相切，这时r ＝2；⊙O 在CD 的左侧与CD 相切，这时r ＝3；⊙O 在CD 的右侧与CD 相切，这时r ＝6）
说明：本题考查了三角函数、相似三角形的判定及性质，以及二次函数的有关知识，是一道涉及面较广，体现分类思想较明显的综合性题目。

练习二 1、（2005年河南）如图1，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,12=AC ,5=BC ,点M 在边AB 上，且6=AM .
(1)动点D 在边AC 上运动，且与点A ，C 均不重合，设x CD =
①设ABC ∆与ADM ∆的面积之比为y ，求y 与x 之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
②当x 取何值时， ADM ∆是等腰三角形？写出你的理由。

（2）如图2，以图1中的为一组邻边的矩形中，动点在矩形边上运动一周，能使是以为顶角的等腰三角形共有多少个（直接写结果，不要求说明理由）？
2．（2005年河南课改）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，DC ＝22，点P 在边BC 上运动(与B 、C 不重合)，设PC ＝x ，四边形ABPD 的面积为y 。

⑴求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
⑵若以D 为圆心、1
2
为半径作⊙D ，以P 为圆心、以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值
时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积。

A B C D P
3、（2005年常州）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一
，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O 个正方形ABCD，顶点B的坐标为（13
上运动．
（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．
4、（2005年安徽）在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:
点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P 是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?
经过思考,甲同学给出如下画法:
如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.
(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出.
(3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?
(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.
5、（2005年上海）在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，O 是边AC 上的一个动点，以点O 为圆心作半圆，与边AB 相切于点D ，交线段OC 于点E ，作EP ⊥ED ，交射线AB 于点P ，交射线CB 于点F 。

(1)如图8，求证：△ADE ∽△AEP ；
(2)设OA ＝x ，AP ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当BF ＝1时，求线段AP 的长.
图9（备用图）
图8
C
能力训练
1、（2005年河北课改）图15―1至15―7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）。

侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况。

当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。

设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）。

⑴在区域MNCD内，请你针对图15―1，图15―2，图15―3，图15―4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。

⑵只考虑在区域ABCD内形成的盲区。

设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。

①如图15―5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式；
②如图15―6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式；
③如图15―7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；
④根据①~③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况。

⑶根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶是额外加分，加分幅度为1~4分）。

2、（2005年锦州）如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？
(3)若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法.
注：基总结出一般规律得满分，若用特例说明，有四种正确得满分.
3．（2005年徐州）有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合.将直尺沿AB 方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0
≤x ≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S ㎝2
.
(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________. (2) 当0＜x ≤4时(如图13)，求S 关于x 的函数关系式；
(3)当4＜x ＜10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值(同学可在图14、图15中画草图).
(图
12)
(D) A
C
(图14)
A
B
C
(图15)
B
4、（2005年四川）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A(x1，0)和B(x2，0)，与y轴的正半轴交于点C。

如果x1、x2是方程x2―x―6=0的两个根(x1<x2)，且△ABC。

的面积为15
2
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求直线AC和BC的方程；
(3)如果P是线段AC上的一个动点(不与点A、C重合)，过点P作直线y=m(m为常数)，与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形?若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。

5．（2005年潍坊）抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ,(0,3)C -. （1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；
（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．
6、（2005年太原）
如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，⊙C是△ABO的外接圆(O为坐
标原点)，∠BAO的平分线交⊙C于点D，连接BD、OD。

(1)求证：BD=AO；
(2)在坐标轴上求点E，使得△ODE与△OAB相似；
(3)设点A′在OAB上由O向B移动，但不与点O、B重合，记△OA′B的内心为I，点I 随点A′的移动所经过的路程为l，求l的取值范围。

7、（2005年大连）如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x ＝t ，使它与直线y ＝x 和直线1
22
y x =-
+分别交于点D 、E （E 在D 的上方），且△PDE 为等腰直角三角形。

若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明原因。

－
x ＋2
12 x
8、（2005年江苏）已知二次函数的图象如图所示。

⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
⑵若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。

当点N在线段BM
上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与
t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所
有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑷将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点
落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）。

30
答案：
练习一
1、C；
2、C；
3、D； 1
4、65度或115度；
5、（1，－6），（4，6）
练习二
1、
2、⑴过点D 作DE ⊥BC 于E ，
∵∠ABC ＝900
，∴DE ＝AB ＝2，
又∵DC ＝22，∴EC ＝DC 2－DE 2 ＝2 ∴BC ＝BE ＋EC ＝AD ＋EC ＝2＋1＝3
∴S 四边形ABPD ＝(AD ＋BP)·AB 2＝(1＋3－x)×2
2
＝4－x ，
即 y ＝－x ＋4 (0＜x ＜3）
⑵当P 与E 重合时，⊙P 与⊙D 相交，不合题意； 当点P 与点E 不重合时，在Rt △DEP 中， DP 2＝DE 2＋EP 2＝22＋|2－x|2＝x 2－4x ＋8
∵⊙P 的半径为x ，⊙D 的半径为1
2
， ∴①当⊙P 与⊙D 外切时，
(x ＋12 )2＝x 2－4x ＋8，解得 x ＝3120
此时四边形ABPD 的面积y ＝4－3120 ＝49
20
②当⊙P 与⊙D 内切时，
(x ＋12 )2＝x 2－4x ＋8，解得 x ＝3112
此时四边形ABPD 的面积y ＝4－3112＝17
12
∴⊙P 与⊙D 相切时，四边形ABPD 的面积为4920 或17
12
3、（1）CD 与⊙O 相切。

因为A 、D 、O 在一直线上，∠ADC=90°，
所以∠COD=90°，所以CD 是⊙O 的切线 CD 与⊙O 相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时（如图①），
设正方形ABCD 的边长为a ， 则a 2＋（a ＋1）2=13，
解得a=2，或a=-3（舍去）
过点D 作DE ⊥OB 于E ，则Rt △ODE ≌Rt △OBA ，
所以OA
OE
BA DE OB OD ==， 所以DE=
13132，OE=13
13
3， 所以点D 1的坐标是（-
13133，13
13
2）
所以OD 所在直线对应的函数表达式为y=x 3
2
-
②切点在第四象限时（如图②），
设正方形ABCD 的边长为b ，则b 2＋（b －1）2=13， 解得b=-2（舍去），或
过点D 作DF ⊥OB 于F ，则Rt △ODF ∽Rt △OBA ， 所以
BA
DF
OA OF OB OD ==， 所以
OF=13132，DF=13
13
3，
所以点D 2的坐标是（13132，-13
13
3）
所以OD 所在直线对应的函数表达式为y=x 2
3
- （2）如图③，
过点D 作DG ⊥OB 于G ， 连接BD 、OD ， 则BD 2=BG 2＋DG 2
=（BO －OG ）2＋OD 2-OG 2 =()
x x x 1321411322
+=-+--所以S=AB 2
=
x BD 1372
12+=因为-1≤x ≤1，所以S 的最大值为137+， S 的最小值为137-
4、(1)的画法正确.因为PE ∥AD,所以△MPE ～△MNA, 所以
MA
ME
MN MP =,而EM=2EA, 所以MP:MN=2:3,因此点P 是线段MN 的一个三等分点. (2)能画出一个符合题目条件的直线,在EB 上取M 1,使EM 1=
2
1
AE,直线M 1P 就是满足条件的直线,图略;
(3)若点P 在线段A 1C 1上,能够画出符合题目条件的直线无数条,图略;
(4)若点P 在A 1C 1,A 2C 2,B 1D 1,B 2D 2上时,可以画出无数条符合条件的直线l;
当点P 在正方形A 0B 0C 0D 0内部时,不存在这样的直线l,使得点P 是线段MN 的三等分点;当点P 在矩形ABB 1D 1,CDD 2B 2,A 0D 0D 2D 1,B 0B 1B 2C 0内部时,过点P 可画出两条符合条件的直线l,使得点P 是线段MN 的三等分点. 5、
22334
,555846416584525555
(0)
OD CB OA AC OD OD x OE AD x x ADE AEP x
AP AE y xy x y x
AE AD x x x =
=⇒===∆∆∴=⇒=⇒=⇒=>（）同理可得：
(3)5
(4
6
,905
12661255
E C x AP AB DO BE H
DHE DJE
HD x PBE PDH PFB PHD PB PB AP x x >>∆≅∆∴=∠=∠=︒
∴∆∆∴=⇒=⇒=由题意可知存在三种情况
但当在点左侧时ＢＦ显然大于４所以不合舍去
当时如图）
延长，交于易证
5
4
,1261255
422
x P B DO PE H DHE EJD PBF PDH BP BP x x AP <∆≅∆∆∆∴=⇒=∴=-=当时点在点的右侧
延长交于点同理可得
能力训练 1、解：⑴略
⑵①如图6，当5≤t ≤10时，盲区是梯形AA 1D 1D ∵O 是PQ 中点，且OA ∥QD ， ∴A 1，A 分别是PD 1和PD 中点 ∴A 1A 是△PD1D 的中位线。

又∵A 1A 5-=t ，∴D 1D )5(2-=t 而梯形AA 1D 1D 的高OQ=10， ∴751510)]5(2)5[(2
1
-=⨯-+-=
t t t y ∴7515-=t y
②如图7，当10≤t≤15时，盲区是梯形A 2B 22C 22D 22， 易知A 2B 2是△PC 2D 2的中位线，且A 2B 2=5， ∴C 2D 2=10
又∵梯形A 2B 2C 2D 2的高OQ=10， ∴7510)105(2
1
=⨯+=
y ∴75=y ③如图8，当15≤t ≤20时，盲区是梯形B 3BCC 3 易知BB 3是△PCC 3的中位线 且BB 3t t -=--=20)15(5 又∵梯形B 3BCC 3的高OQ=10， ∴t t t y 1530010)]20(2)20[(2
1
-=⨯-+-=
∴t y 15300-=
④当5≤t ≤10时，由一次函数7515-=t y 的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75； 当10≤t ≤15时，盲区的面积y 为定值75；
当15≤t ≤20时，由一次函数t y 15300-=的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0
⑶通过上述研究可知，列车从M 点向N 点方向运行的过程中，在区域MNCD 内盲区面积大小的变化是：
①在0≤t ≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75； ②在10≤t ≤15时段内，盲区的面积为定值75； ③在15≤t ≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0
2、(1)由图形得，点A 横坐标为0，将x=0代入，
得y=10，∴A(0,10)
∵AB∥OC，∴B 点纵坐标为10，将y=10代入得，
，∴x 1=0, x 2=8.
∵B 点在第一象限，∴B 点坐标为(8,10) ∵C 点在x 轴上，∴C 点纵坐标为0，将y=0代入得，
解得∴x 1=-10，x 2=18.
∵C 在原点的右侧，∴C 点坐标为(18,0).
(2)法一：过B 作BQ⊥OC，交MN 于H ，交OC 于Q ，
则Rt△BNH∽Rt△BCQ， ∴
.
设MN=x ，NP=y ，则有
.∴y=18-x.
∴S 矩形MNOP =xy=x(18-x)=-x 2+18x=-(x-9)2+81. ∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO 的面积最大，最大值为81.
法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴.
设MN=x，NP=y，则有.∴y=18-x.
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上.
法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，
QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形.
设MN=x时矩形MNPO的面积最大.
∴PN=PC=OC-OP=18-x.
∴S矩形MNOP=MN·PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.
①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.
②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可.
③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一
半，因此有：
，；，；
，；，；
……
不要求写出P点的坐标.
④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成
面积相等的两部分；
2．(1)由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入，
得y=10，∴A(0,10)
∵AB∥OC，∴B点纵坐标为10，将y=10代入得，
，∴x1=0, x2=8.
∵B点在第一象限，∴B点坐标为(8,10)
∵C点在x轴上，∴C点纵坐标为0，将y=0代入得，
解得∴x1=-10，x2=18.
∵C在原点的右侧，∴C点坐标为(18,0).
(2)法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
∴.
设MN=x，NP=y，则有.∴y=18-x.
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，∴.
设MN=x，NP=y，则有.∴y=18-x.
∴S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，评分标准同上.
法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，
QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
∴△BQC为等腰直角三角形，∴△NPC为等腰直角三角形.
设MN=x时矩形MNPO的面积最大.
∴PN=PC=OC-OP=18-x.
∴S矩形MNOP=MN·PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.
∴当x=9时，有最大值81.
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81.
(3)评价要求：此处体现分类思想，但分类方法不惟一，给出的答案仅供参考.
①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分.
②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且
满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即
可.
③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，
因此有：
，；，；
，；，；
……
不要求写出P点的坐标.
④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；
3、
4、
5、解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，
得 3-=c ．
将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2， 得 039=++c b a ． (1)
∵1x =是对称轴， ∴12=-
a
b
． (2) 将（2）代入（1）得 1=a ， 2-=b ．
所以，二次函数得解析式是322
--=x x y ．
（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点． ∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-， ∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，
又对称轴为1x =，
∴ 点P 的坐标(1,6)-．
（3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ， 则 r x x 212=-， (1)
∵ 对称轴为1x =，
∴ 212=+x x ． …………….(2) 由（1）、（2）得：12+=r x ．……….(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ， 得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，………….(4) 整理得： 42-=r y ． 由于 r=±y ，
当0>y 时，042
=--r r ，
解得，21711+=
r ， 2
17
12-=r （舍去）， 当0<y 时，042
=-+r r ，
解得，2
17
11+-=
r ， 21712--=r （舍去）．
所以圆的半径是2171+或2
17
1+-．
6、
7、解：存在。

方法一：当x ＝t 时，y ＝x ＝t 、当x ＝t 时，11
2222
y x t =-+=-+。

∴E 点的坐标为（t ，1
22
t -
+），D 点坐标为（t ，t ）。

∵E 在D 的上方，∴132222DE t t t =-+-=-+，且t ＜4
3。

∵△PDE 为等腰直角三角形，∴PE ＝DE 或PD=DE 或PE=PD 。

若t ＞0，PE=DE 时，3
22
t t -+=。

∴418,2525t t =
-+=。

∴P 点坐标为（0，85
）。

若t ＞0，PD=DE 时，3
22
t t -+=，
∴45t =。

∴P 点坐标为（0，45
）。

若t ＞0，PE=PD 时，即DE 为斜边，∴3
222
t t -+=。

∴47t =，∴DE 的中点的坐标为（t ，1
14
t +），
∴P 点坐标为（0，87）。

若t ＜0，PE=PD 时，由已知得DE=－t ，3
22
t t -+=-，
t ＝4＞0（不符合题意，舍去），此时直线x ＝t 不存在。

若t ＜0，PE=PD 时，即DE
为斜边时，由已知得DE=－2t ，
3222t t -+=-，∴1
4,104
t t =-+=。

∴P 点坐标为（0，0） 综上所述：当t ＝45时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，8
5
）或
（0，45）；当47t =时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，87
）；当t ＝－4
时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，0）。

方法二：设直线1
22
y x =-
+交y 轴于点A ，交直线y ＝x 于点B ，过B 做BM 垂直于y 轴，垂足为M ，交DE 于点N 。

∵x ＝t 平行于y 轴，∴MN ＝t 。

∵1
22y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 解得43
43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴B 点坐标为（43，43），∴BM ＝43 当x ＝0时，1
222
y x =-
+=，∴A 点坐标为（0，2），∴OA=2。

∵△PDE 为等腰直角三角形，∴PE ＝DE 或PD=DE 或PE=PD 。

如图4，若t ＞0，PE=DE 和PD=DE 时，∴PE ＝t ，PD ＝t ，∵DE ∥OA ， ∴△BDE ∽△BOA ，∴
DE BN
OA BM
= ∴4
3
42
3t
t -= ∴t ＝45。

当t ＝45时，1842,255
y x y x =-+===。

∴P 点坐标为（0，85）或（0，4
5
）。

…6分
若t ＞0，PD=PE 时，即DE 为斜边，∴DE=2MN=2t 。

∵DE ∥OA ，∴△BDE ∽△BOA ∴
DE BN
OA BM
= ∴4
34
232MN
MN -=,∴MN ＝t ＝4
7， DE 的中点的纵坐标为
18
147t +=。

∴P 点的坐标为（0，8
7
）
如图5，若t ＜0，PE=DE 或PD=DE 时， ∵DE ∥OA ， ∴△BDE ∽△BOA ∴
DE BN
OA BM
=
DE ＝－4（不符合题意，舍去），此时直线x ＝t 不存在。

若t ＜0，PE=PD 时，即DE 为斜边，∴DE=2MN=－2t 。

－ x ＋2
12图5
x
－ x ＋2
12x
∵DE ∥OA ，∴△BDE ∽△BOA ∴
DE BN
OA BM
= ∴4
3
4
232MN
MN +=，∴MN ＝4，∴t ＝－4，1
104t +=。

∴P 点坐标为（0，0）
综上所述：当t ＝
45时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，8
5
）或 （0，45）；当47t =时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，87
）；当t ＝－4
时，△PDE 为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（0，0）。

8、解：（1）设抛物线的解析式()()12,
y a x x =+-()212.1a a -=⨯⨯-∴=，
22,y x x ∴=--
其顶点M 的坐标是19,2
4⎛⎫-
⎪⎝⎭
；
（2）设线段BM 所在的直线的解析式为,y kx b =+点N 的坐标为N (),,t h
则
9102,42k b k b =+-
=+解它们组成的方程组得3
, 3.2
k b ==- 所以线段BM 所在的直线的解析式为33
3.3,22
y x h t =-∴=-
其中
1112
2.12232223t s t t ⎛⎫
<<∴=⨯⨯++- ⎪⎝⎭
231 1.42t t =-+∴s 与t 间的函数关系为231142s t t =
-+,自变量的取值围1
2;2
t << A
B C D F G M 图6
N 1 2 3
4 6 5
(3)存在符合条件的点P,且坐标是
125735,,,2424p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 设点P 的坐标为P (),m n ，则()2
222
2.1,n m m PA m n =--=++
PC 2
=()2
222, 5.m n AC ++=分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若90,ABC ∠=则PC 2
=PA 2
+AC 2。

可得22,n m m =--
()()22
22215m n m n ++=+++，解之得125,12m m =
=-（舍去）。

所以点157,24p ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

（ⅱ）若222290,,2PAC PA PC AC n m m ∠==+∴=--则
()
()2
2
2212 5.m n m n ++=+++解得：343,02m m ==（舍去）。

所以点235,24p ⎛⎫- ⎪⎝
⎭。

（ⅲ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，PA>AC ，所以边AC 的对角APC ∠不可能
直角
（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的个顶点，第三个点落在矩形这一边OA （或OC ）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标D （-1，
-2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E 1248,,,555
5F ⎛⎫⎛⎫-- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭。