高中数学 1.2.3绝对值不等式的解法(二)课件 新人教A版选修45

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∴－1－x＋1－x＝3，得 x＝－32，
同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点距离和为 3，B1
栏 目
对应数轴上的 x， ∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝32.
链 接
从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之 和都小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的
第一(dìyī)讲 不等式和绝对值不 等式
1.2 绝对值不等式 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)
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栏 目 链 接
第二页，共20页。
会利用(lìyòng)绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
栏 目 链 接
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A．{x|x<－1}
B．{x|x<1}
栏
C．{x|x<1，且x≠－1}
目 链
接
D．{x|x>1}
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变式 训练
解析：∵y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数(hánshù)，
又a>0，∴2－ax为减函数(hánshù)．
∴0<a<1，即y＝logax为减函数(hánshù)．
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变式 训练
由于A、B两点的距离1，线段AB上的点不符合要求，利用图形
(如上图)，可知符合条件的点应该(yīnggāi)是在A点的左侧离A最近距
离是2，在B点的右侧离B最近距离为2的点处，即x>4或x<－1，
栏
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
目 链
接
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栏 目 链 接
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1．求解不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c的
第一种方法：______________分_去类绝(fē对n l值èi)．讨论
思考1 不等式|x－2|＋|x－1|≥5的解集是________．
栏
{x|x≥42或．x求≤－解不1}等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c的
目
确画出图象，是y＝|x＋1|＋|x－1|－3的图象，而不是y＝|x 链
接
＋1|＋|x－1|的，其次函数的零点(línɡ diǎn)要找准．这些 都是求解集的关键．
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变式 训练
1．解不等式|x－1|＋|x－2|>5.
解析：方法一 分类讨论|x－1|＝0.|x－2|＝0的根1,2把
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变式 训练
因此不等式组x|x≤－11，|＋|x－2|>5 的解集为(－∞，－1)．
(2)因为在 1<x<2 的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1.
栏
所以当 1<x<2 时．不等式|x－1|＋|t;－x<12|＋，|x－2|>5 的解集为∅.
题型二 函数(hánshù)图象相关的应用题
例2 解关于(guānyú)x的不等式|logaax2|＜|logax|＋2.
分析：换元求解，令 logax＝t.
解析：原不等式化为|1＋2logax|＜|logax|＋2，
栏 目
令 t＝logax，所以|2t＋1|＜|t|＋2，
链 接
两边平方得：
4t2＋4t＋1＜t2＋4|t|＋4⇒ 3t2＋4t－4|t|－3＜0.
∴|x＋1|<|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0，即x≠－1，且x≠3.由|x＋
栏 目
1|<|x－3|，得(x＋1)2<(x－3)2，
链
接
∴x2＋2x＋1<x2－6x＋9.
∴x<1.
结上可得x<1且x≠－1.
答案：C
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接
(3)由于在 x≥2 的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3，
所以当 x≥2 时，|x－1|＋|x－2|>5⇔2x－3>5⇔2x>8⇔x>4.
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变式 训练
所以不等式组x|x≥－21，|＋|x－2|>5 的解集为(4，＋∞)．
于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即(－∞，
2x－8，x≥2.
作出函数 f(x)的图象如下图所示．
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变式 训练
栏
f(x)为分段函数，其零点为－1,4，于是 f(x)>0⇔x<－1 或 x>4.
目 链
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
接
方法三 x 为不等式|x－1|＋|x－2|>5 的解集⇔x 是与数轴的点
A(1)及 B(2)两点距离之和大于 5 的点．
函数的零点是－32，32.
从图象可知，当 x≤－32或 x≥32时，y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
所以原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.
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点评：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的 分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法 中，关键是找到一些特殊的点如A1，B1；第三种解法中，准 栏
栏
当a＞1时，a－3＜x＜a，
目 链
接
所以(suǒyǐ)原不等式的解集为：
当0＜a＜1时，{x|a＜x＜a－3}；
当a＞1时，{x|a－3＜x＜a}．
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变式 训练
2．已知y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数，则不等式 loga|x＋1|>loga|x－3|的解集为( )
－1)∪∅∪(4，＋∞)＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
栏
方法二 |x－1|＋|x－2|>5⇔|x－1|＋|x－2|－5>0.
目 链
构造函数 f(x)＝|x－1|＋|x－2|－5，于是原不等式的解集为 接
{x|f(x)>0}．
写出 f(x)的分段解析表达式：
－2x－2，x≤1， f(x)＝－4，1<x<2，
目 链
第二种方法：__________直接(zhíjiē)求边界值，再利用几何意 接
义写出解集． 用几何(jǐ hé)意义
思考2 不等式|x|＋|x＋1|＜2的解集是________．
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x－23＜x＜21
栏 目 链 接
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题型一 |x－a|＋|x－b|≥c(或|x－a|＋|x－b|≤c)型不等式的解法 (jiě fǎ)
数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定
栏
义．代数式|x－1|＋|x－2|有不同的解析表达式，因而原不等
目 链
式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
接
(1)因为在x≤1的限制条件(tiáojiàn)之下：
|x－1|＋|x－2|＝1－x＋2－x＝3－2x，所以当x≤1时，|x －1|＋|x－2|>5⇔3－2x>5⇔2x<－2⇔x<－1.
距离之和都大于 3.
33 ∴原不等式的解集是－∞，－2∪2，＋∞.
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方法二 当 x≤－1 时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x
－1)≥3，
解得 x≤－32.
当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3，即
栏 目
2≥3.不成立，无解．
链 接
当 x≥1 时，原不等式可以化为 x＋1＋x－1≥3.
例1 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
分析：本题可以用分段讨论(tǎolùn)法或数形结合法求
栏
目
解．对于形如|x＋a|＋|x＋b|的代数式，可以认为是分段函数．
链 接
解析：方法一 如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A， B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不 等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应 数轴上的x.
所以 x≥32.
综上，可知原不等式的解集为 xx≤－32或 x≥32.
方法三 将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
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构造函数 y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即 y＝－ －21x，－－31，<xx≤ <1－，1， 2x－3，x≥1.
作出函数的图象(如下图)．
栏 目 链 接
当 t≥0 时，3t2－3＜0⇒ t2＜1⇒ －1＜t＜1，
所以 0≤t＜1；
当 t＜0 时，3t2＋8t－3＜0⇒ －3＜t＜1， 第十七页，共20页。
所以(suǒyǐ)－3＜t＜0.
综上所述，－3＜t＜1.
因为t＝logax，所以(suǒyǐ)－3＜logax＜1.
当0＜a＜1时，a＜x＜a－3，