【解析】山西省应县第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学(理)试题

高一年级期末考试 数学试题（理） 2019.7
一、选择题：(每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的). 1.若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )
A. {}2
n a
B. 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
C. {}3n a
D. {}
n a
【答案】C 【分析】
根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可．
【详解】A:Q 2
2
n+1n a -a =（a n +a n+1）（a n+1﹣a n ）=d[2a 1+（2n ﹣1）d]，与n 有关系，因此不是等差数列． B:
n+1
n 11-
a a =n+1n -d
a a ⨯=[]11-d a +nd a +n-1d ⨯（）
（） 与n 有关系，因此不是等差数列.
C:3a n+1﹣3a n =3（a n+1﹣a n ）=3d 为常数，仍然为等差数列；
D: 当数列{a n }的首项为正数、公差为负数时，{|a n |}不是等差数列； 故选：C
【点睛】本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.已知,,a b c ∈R ，若a b >，则下列不等式成立的是 ( ) A.
11
a b
< B. 22a b >
C.
2211
a b
c c >++ D.
a c
b
c >
【答案】C 【分析】
根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.
【详解】解：选项A ：取1,1a b ==-，此时满足条件a b >，则,11
11a b
==-，
显然11a b >，所以选项A 错误；
选项B ：取1,1a b ==-，此时满足条件a b >，则22
1,1a b ==，显然22a b =，所以选项B 错误；
选项C ：因为2c 11+≥，所以21
01
c 1
<≤+，因为a b >，所以2211a b c c >++， 选项C 正确；
选项D ：取0c =，当a b >，则||,||a c 0b c 0==，所以||||a c b c =，所以选项D 错误； 故本题选C.
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.
3.等边三角形ABC 的边长为1，BC a =r ，
CA b =r
，AB c =r ，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r 等于（ ） A. 3 B. 3-
C.
3
2
D. 32
-
【答案】D 【分析】
在等边三角形中，得到1,1,1a b c ===r r r ，且向量,,a b c r r r 的两两夹角都为23
π
，利用数量积
的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，在等边三角形中，BC a =r ，CA b =r
，AB c =r ，
则1,1,1a b c ===r r r ，且向量,,a b c
r r r 两两夹角都为
23
π
， 所以2223
11cos 11cos 11cos 3332
a b b c c a πππ⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-r r r r r r ， 故选D.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.在ABC △中，已知2sin cos sin A B C =， 那么ABC △一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 正三角形
【答案】B 【分析】
先化简sin Acos B ＝sin C=()
sin A B +，即得三角形形状. 【详解】由sin Acos B ＝sin C 得()sin cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B A B =+=+ 所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π）， 所以sinB ＞0，所以cosA=0,所以A=2
π
, 所以三角形是直角三角形. 故答案为：A
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5.若,x y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z 2x 3y =-的最小值是（ ）
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5
【答案】D 【分析】
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．
【详解】画出x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域，
如图所示：
平移目标函数z ＝2x ﹣3y 知，A （2，3），B （1，0），C （0，1） 当目标函数过点A 时，z 取得最小值， ∴z 的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5． 故选：D ．
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．
6.等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则931
4
a a -=（ ） A. 8 B. 6
C. 4
D. 3
【答案】D 【分析】
设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113
(10)44
a a a d -=+，即可得到答案.
【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，
则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由93111113
8(2)(10)3444
a a a d a d a d -
=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】D 【分析】
由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得1
82
n ≤+
，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a = 又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =， 所以等差数列的公差为872d a a =-=-， 又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =，
所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-， 令1720n a n =-≥，解得182
n ≤+
， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1
99
6
分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为( )
A. 19533
分 B. 11052
2
分 C. 21151
3
分 D. 51250
6
分 【答案】B 【分析】
首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出
1190d 12=-
,进而求出立春”时日影长度为1
10522
. 【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1
99
6
分， 且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．
135012d 160∴+=，
解得1190
d 12
=-
， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052(122⎛⎫
+-⨯= ⎪⎝⎭
分)． 故选B ．
【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．
9.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3
cos A =，且b c <，则b =（ ） 3
B. 2
C. 2
D. 3
【答案】B
由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(2
22222
b b =+-⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b
c <，所以2b =，故选B ．
考点：余弦定理．
10.已知角A 满足1
sin cos 5
A A +=，则sin2A 的值为（ ） A. 2425
-
B. 1225-
C.
2425
D.
1225
【答案】A 【分析】
将等式1
sin cos 5
A A +=
两边平方，利用二倍角公式可得出sin2A 的值。

【详解】1sin cos 5A A +=Q ，在该等式两边平方得22
1sin cos 2sin cos 25
A A A A ++=，
即11sin 225A +=，解得24
sin 225
A =-，故选：A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角正弦公式的应用，一般地，解三角函数有关问题时，遇到sin cos x x ±，常用平方法来求解，考查计算能力，属于中等题。

11.将函数()()()sin 22(0)f x x x ϕϕϕπ=++<<图象向左平移
π
4
个单位后，得到函数的图象关于点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则函数()()cos g x x ϕ=+在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是( )
A. 12
-
B. C.
2
D.
12
【答案】D
【详解】()(
)()sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+++=++
⎪⎝
⎭
Q ∴将函数()f x 向左平移
4
π
个单位后，得到函数解+析式为： ()2sin 22cos 2433f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
Q 图象关于点02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称
则对称中心在函数图象上，可得：
2cos 22cos 0233πππϕπϕ⎛⎫⎛
⎫⨯++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
解得3
2
k π
π
πϕπ++
=
+，k Z ∈
()0ϕπ∈Q ，，6
π
ϕ∴=
()cos 6g x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
26x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦Q ，，633x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，
1cos 162x π⎛
⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
则函数()()cos g x x ϕ=+在26ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上的最小值为12
故选D
12.已知各项均为正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)2
*
212,21,n n a a S n n N
+==++∈若
对任意的*n N ∈，1231111
20n
n a n a n a n a λ++++-≥++++L 恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A. 1,3
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B. 7,
12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
C. 1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D. 1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】C 【分析】 由
()
2*
212,21n n a a S n n N
+==++∈得到a n =n ，任意的
*
n N ∈，
123111120n
n a n a n a n a λ++++-≥++++L 恒成立等价
于
1111
2123n
n n n n λ++++≥++++L ，利用作差法求出
1111g 1232
n n n n n =++++++++L 的最小值即可.
【详解】当n=1时，2
21211a S =++，又22a =，∴11a =
∵a n+12=2S n +n+1，∴当n ≥2时，a n 2=2S n ﹣1+n ，两式相减可得：a n+12﹣a n 2=2a n +1， ∴a n+12
=（a n +1）2
，
∵数列{a n }是各项均为正数的数列，∴a n+1=a n +1，即a n+1﹣a n =1， 显然n=1时，适合上式
∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1． ∴a n =1+（n ﹣1）=n ．
任意的*
n N ∈，
1231111
20n
n a n a n a n a λ++++-≥++++L 恒成立， 即
1111
2123n
n n n n λ++++≥++++L 恒成立 记1111g 123n n n n n n
=++++++++L 111111
111g 1g 23
n 12123n n n n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+++++-++++ ⎪ ⎪
+++++++++++⎝⎭⎝⎭L L ，
11111211
01212122222122
n n n n n n n n n n =
+-=+-=-++++++++++＞，
∴g n 为单调增数列，即g n 的最小值为1
g12
=
∴122λ≥，即14λ≤ 故选：C
【点睛】已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.
二、填空题. 13.若4sin 5α=
，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为______．
【分析】
求出cos α，将sin 6πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
展开即可得解。

【详解】因为4sin 5α=，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 所以3cos 5
α=-，
所以4313
sin sin cos cos sin 666525210
πππααα⎛⎫
⎛⎫+
=+=⨯+-⨯= ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题。

14.已知向量,,1,2a b a b ==v v v v
，且2a b +=r r a b ⋅=r r ___________．
【答案】12
【分析】
把2a b +=r r 1,2a b ==r r
代入，化简即可得结果. 【详解】因为1,2a b ==r r
，
所以2a b +===v v
12a b ∴⋅=v v ，故答案为12
. 【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r r r r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r ，主要应用以下几个方面:(1)求向
量的夹角， cos a b a b
θ=r r g r r g （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r 上的投影是a b b
⋅r r r ；（3）,a b r r 向量垂直则0a b ⋅=r r ;(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b ⋅r r ）.
15.已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1，4A π
=，则ABC ∆的面积的取值范围为_____．
【答案】12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
【分析】
由已知利用正弦定理2sin sin b c B C ===可以得到b ＝2sin B ，c ＝2sin （34π﹣B ），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S △ABC
═2
sin （2B ﹣4π）+12，由锐角三角形求B 的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【详解】解：∵锐角△ABC 的外接圆的半径为1，A ＝4
π，
∴由正弦定理可得：2sin sin b c B C ===，可得：b ＝2sin B ，c ＝2sin （34π﹣B ）， ∴S △ABC ＝12
bc sin A
＝12×2sin B ×2sin （34π﹣B ＝sin B （cos B +sin B ）
＝2
sin （2B ﹣4π）+12，
∵B ，C 为锐角，可得：
4π＜B ＜2π，4π＜2B ﹣4π＜34π，可得：sin （2B ﹣4π）∈（2，1]，
∴S △ABC ＝2
sin （2B ﹣4π）+12∈（1，12]．
故答案为：（1]． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.若正实数,x y 满足1x y +=，则411x y
++的最小值为______． 【答案】
92
【分析】
由1x y +=得()12x y ++=，将411x y ++转化为()14112x y x y ⎡⎤++⎛⎫⎣⎦+⨯ ⎪+⎝⎭
， 整理，利用基本不等式即可求解。

【详解】因为1x y +=，所以()12x y ++=.
所以()(1414114119551122122x y y x x y x y x y ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫+⎣⎦+=+⨯=++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 当且仅当411y x x y +=+，即：12,33
x y ==时，等号成立
所以411x y ++的最小值为92
. 【点睛】本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题。

三、解答题。

17.在等差数列{}n a 中，已知576,14a a ==．
（1）求通项{}n a ；
（2）求{}n a 的前n 项和n S ．
【答案】（1）414n a n =-，（2）2212n S n n =-
【分析】
（1）设出等差数列的基本量，首项1a 和公差d ，根据条件列出方程组，解出1a 和d ，写出n a 的通项.
（2）由（1）中求出的基本量，根据等差数列的求和公式，写出n S
【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
57614a a ==Q ，
11
46614a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得1104a d =-⎧⎨=⎩ ()1014414n a n n ∴=-+-⨯=-
（2）由（1）可知，110,4a d =-=
()()211042122
n n n S n n n -∴=⨯-+⨯=- 【点睛】本题考查等差数列基本量计算，等差数列通项和求和的求法，属于简单题.
18.已知不等式2
(1)40()x a x a R +++<∈.
（1）当6a =-时，求此不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求实数a 的取值范围．
【答案】（1） ()1,4； （2） ()(),53,-∞-⋃+∞
【分析】
（1）不等式为2540x x -+<，解得14x <<
（2）不等式()2
140x a x +++<的解集非空，则0∆>，求解即可 【详解】（1）当6a =-时，不等式
2540x x -+<，解得14x <<，
故不等式的解集为()1,4； （2）不等式()2
140x a x +++<的解集非空，则0∆>， 即()21160a +->，解得5a <-，或3a >，
故实数a 的取值范围是()(),53,-∞-⋃+∞．
【点睛】二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想。

19.在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ．且c 2,C 60==︒．
（1）求a b sinA sinB
++的值； （2）若a b ab +=，求ΔABC 的面积．
【答案】（1（2
【分析】
（1）根据正弦定理求出33
a sinA
b sinB ==，，然后代入所求的式子即可； （2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】（1）因为c 2,C 60==︒，
由正弦定理a b c sinA sinB sinC
==，
得a b a b c 2sinA sinB sinA sinB sinC sin60+=====+o ，
∴
a b sinA sinB +=+； （2）∵a b ab +=，
由余弦定理得222c a b 2abcosC =+-，
即()2224a b ab a b 3ab =+-=+-，
所以()2ab 3ab 40--=，
解得ab 4=或ab 1=-（舍去），
所以ΔABC 11S absinC 422==⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．
20.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且421n n a S -=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(1)2
2n n a -= (2) 11=(1)22
n n T n --+
【分析】 (1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求结果，(2)根据错位相减法求结果.
【详解】(1)因为421n n a S -=，所以当2n ≥时，11421n n a S ---= ,相减得14420n n n a a a ---= ，12n n a a -= ，当1n =时，1111421
2a S a -==， ，因此数列{}n a 为首项为
12，2为公比的等比数列，121222n n n a --=⨯=
(2)2
2n n n b na n -==n ,所以1032=1222(1)22n n n T n n ---⨯+⨯++-+⋅L ， 则20121=1222(1)22n n n T n n --⨯+⨯++-+⋅L ，
两式相减得10321=122222n n n n T n -----⨯++++-⋅L
11
11121=122=(1)2122n n n n n T n T n ------⨯+-⋅-+-，. 【点睛】本题考查错位相减法求和以及由和项求通项，考查基本求解能力，属中档题.
21.如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙(1)x x >米，离地面高(12)a a ≤≤米的C 处观赏该壁画，设观赏视角.ACB θ∠=
（1）若 1.5,a =问：观察者离墙多远时，视角θ最大？
（2）若1tan ,2θ=
当a 变化时，求x 的取值范围. 【答案】（1）
（2）3≤x≤4．
试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求tan θ最值，最后根据正切函数单调性确定θ最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得22684a a x x -+=-+，再根据a 的范围确定24x x -+范围，最后解不等式得x 的取值范围.
试题详细分析：（1）当 1.5a =时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，
则0.5BD =，且ACD BCD θ=∠-∠，
由已知观察者离墙x 米，且1x >，
则0.5 2.5tan ,tan BCD ACD x x ∠=∠=， 所以，()tan tan ACD
BCD θ=∠-∠ 222.50.522252.50.5 1.25 1.2551124
x x x x x x x -===≤=⨯+++， 当且仅当51x =>时，取“=”． 又因为tan θ在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调增，所以，当观察者离墙5米时，视角θ最大． （2）由题意得，24tan ,tan a a BCD ACD x x --∠=∠=，又1tan 2
θ=， 所以()()()221tan tan 242
x ACD BCD x a a θ=∠-∠==+-⋅-， 所以22684a a x x -+=-+，
当12a ≤≤时，20683a a ≤-+≤，所以2043x x ≤-+≤，
即2240430
x x x x ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得01x ≤≤或34x ≤≤，
又因为1x >，所以34x ≤≤，
所以x 的取值范围为[]
3,4．
22.已知数列{}n a 满足111122()(2),1,7n n n n a a a a n a a +---=+≥==，令1n n n b a a +=+
（1）求证数列{}n b 为等比数列，并求n b 通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
【答案】（1）()183
1n n b n -=⋅≥；（2）31,32,n n n n S n 为正奇数为正偶数⎧-=⎨-⎩
【分析】 （1）由()()11122n n n n a a a a n +---=+≥变形可得()113n n n n a a a a +-+=+，即()132n n b b n -=≥，于是可得数列{}n b 为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得 ()11831n n n n b a a n -+=+=⋅≥，然后分n 为奇数、偶数两种情况，将n S 转化为数列{}n b 的求和问题解决．
【详解】（1）∵()()11122n n n n a a a a n +---=+≥，
∴()113n n n n a a a a +-+=+，
∵1n n n b a a +=+，
∴()132n n b b n -=≥．
又12180b a a =+=≠，
∴数列{}n b 是首项为8，公比为3的等比数列，
∴()1*
8?3n n b n N -=∈． （2）当n 为正偶数时，
()()()12341n n n S a a a a a a -=++++++L
131n b b b -=+++L
281919
n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=- 31n =-．
当n 为正奇数时，
()()()123451n n n S a a a a a a a -=++++++L
2411n b b b -=++++L
122419
119n --=+-
32n =-．
∴31,32,n n n n S n ⎧-=⎨-⎩
为正奇数为正偶数． 【点睛】（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项，这一点容易忽视．
（2）数列求和时要根据数列通项公式的特点，选择合适的方法进行求解，求解时要注意确定数列的项数．。