河南省镇平一高2012年春期高三第一次周考(数学文)

2012年春高三第一次周考（2月11日）
数 学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1．在复平面内，复数
1i
i
＋对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜2
x －x －2＞0｝，B ＝｛1＜2x
＜8｝，则（C
U A ）∩B 等于
A ．[－1，3）
B ．（0，2]
C ．（1，2]
D ．（2，3） 3．设{n a }是公比为正数的等比数列，若a 3＝4，a 5＝16，则数
列{n a }的前5项和为
A ．41
B ．15
C ．32
D ．31 4．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积为
A ．6π
B ．12π
C ．18π
D ．24π 5．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a ⊥b ，则实数k 的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C ．2-
D ．2
6．关于x 的方程x 2＋xcosA －22
B
2
cos
＝0有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 7．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 则样本数据落在（10，40]上的频率为
A ．0．13
B ．0．39
C ．0．52
D ．0．64
8．如果执行右面的框图，输入N ＝12，则输出的数等于 A ．156 B ．182 C ．132 D ．78
9．若变量x ，y 满足约束条件1,0,20,y x x y ⎧⎪
⎨⎪⎩
≤＋y ≥－－≤则z ＝x －2y
的最大值
为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．已知函数f （x ）＝302,0
x x x x ,⎧⎨⎩log ＞≤，如果f （x 0）＞1
2，那么x 0的取值范围是
A ．{x ｜－1＜x ≤0}
B ．{x ｜－1＜x ≤0或x
} C ．{x ｜－1＜x ＜0或x
} D ．{x ｜x
}
11．椭圆E 以抛物线C ：y 2＝－4x 的焦点为焦点，它们的交点的横坐标为－
2
3
，则椭圆的标准方程为
A ．2143x 2y ＋＝
B ．2154x 2y ＋＝
C ．212524x 2y ＋＝
D ．211716
x 2
y ＋＝ 12．在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC
，AC ＝AP ＝2，PA ⊥底面ABC ．若P ，A ，B ，C 落在
以O 为球心的球面上，那么球O 的体积为 A ．8π B
．
3 C ．83
π
D
π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第
22～23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为__________．
14．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈（0，3
2
）时，f （x ）＝2l o
g (31)x ＋，则f （8）＝___________．
15．在如图的n 行n 列数阵 中，记位于第i 行第j
列的数为ij a （i ，j ＝1，2…，n ，n ∈N ﹡）． 当n ＝9时，a 11＋a 22＋a 33＋…＋99a ＝_______．
16．设函数f(x)=x x e 122+，g(x)= x e
x e 2，对任意x 1、x 2 ∈(0,+∞)，不等式k x g )(1≤1)(2+k x f 恒
成立，则正数k 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝4
（a 2＋b 2－c 2）．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sinA ＋sinB 的最大值．
18．（本小题满分12分）
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取
出1个球，每个小球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号恰好相同的概率：
（Ⅱ）求取出的两个球上的标号至少有一个大于2的概率． 19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥A －BOC 中，AO ⊥平面COB.在△BOC 中，OB ＝OC ＝1，BC ＝2，D 、E 分别为AB 、BO 的中
点.
（Ⅰ）求证：CO ⊥平面AOB ； （Ⅱ）在线段CB 上是否存在一点F ，使得在CO 上任
取一点G ，均有AG ∥平面DEF ？若存在，试确定F 的位置；若不存在，请说明理由. 20．（本小题满分12分）
已知F 1，F 2分别是椭圆2143
x 2
y ＋＝
的左，右焦点，A 为椭圆的上顶点．曲线C 是以坐标原点为顶点，以F 2为焦点的抛物线，过点F 1的直线l 交曲线C 于x 轴上方两个不同的点P ，Q ，设1F P ＝λ1FQ ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）求△F 1AF 2的内切圆的方程； （Ⅲ）若λ＝
1
4
，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝
a
x
＋x ＋（a －1）lnx －15a ， 其中a ＜0，且a ≠－1． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性。

e，且函数f（x）在[1，＋∞）上的最小值为2，求a的值．（Ⅱ）设a＞－10
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB过圆心O，交圆O于A，B两点，直线AF交圆O于F，（F不与B重合），直线l与圆O相切于点C，交AB的延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．
（Ⅰ）求证：∠BAC＝∠CAG；（Ⅱ）求证：AC2＝AE·AF．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：｜2x－1｜－｜x｜＜1；
（Ⅱ）设f（x）＝x2－x＋1，实数a满足｜x－a｜＜1，
求证：｜f（x）－f（a）｜＜2（｜a｜＋1）．
2012年春高三第一次周考（2月11日）
文科数学参考答案
一、选择题：DBDB CACB BBAB ．
二、填空题：13． 3 14． －2 15． 45 16．k ≥1． 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）由题意可知
1
2
ab
sinC=4×2cos ab C ，所以tan C
．
因为0<C <π，所以C =
π
3
． ……6分 （Ⅱ）由已知sin A +sin B =sin A +sin （π－C －A ）=sin A +sin （2π
3
－A ）
=sin A
A +12sin A
sin （A +π
6
）≤ 当△ABC 为正三角形时取等号，所以sin A +sin B
……12分 18．解：利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果如下：
可以看出，试验的所有可能结果为16种． ……4分 （Ⅰ）所取两个小球的标号恰好相同的结果有1－1，2－2，3－3，4－4，共4种．
……6分
根据古典概型，所求概率4
1164==
P ． 答：取出的两个球上标号恰好相同的概率为
4
1
． ……8分 （Ⅱ）记事件“取出的两个球上的标号至少有一个大于2”为A ，
则A 的对立事件是A =“取出的两个球上的标号都不于大2”．所取出的两个球上的标号都 不大于2的结果有1－1，1－2，2－1，2－2，共4种． ……10分
41()164P A =
=，∴3
()1()4
P A P A =-=． 答：取出的两个球上的标号至少有一个大于2的概率为4
3
． ……12分 19．解：
20．解：（Ⅰ）∵抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为F 2(1,0)，∴
12
p
=．………2分 ∴抛物线C 的方程为2
4y x =． …………3分 （Ⅱ）∵F 1(1,0)-，F 2(1,0)，
B ，∴△F 1AF 2是等边三角形． ∴△F 1AF 2
的内切圆的圆心为
…………5分 ∴△F 1AF 2
的内切圆的方程为2
21
(3
x y +=． …………6分 （Ⅱ）设:(1)l y k x =+，0k >，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11(,)M x y -．
将l 代入C 得： 2
2
2
2
(24)0k x k x k +-+=． …………8分 ∵l 与C 有那样的两个交点，∴由△0>可得01k <<．
∵11F P FQ λ=，∴1
21(1)x x λ+=+，12y y λ=． …………9分 又2111
222244y x x y x x ==，根据121x x =可得：1x λ=，21x λ=． …………10分
当14λ=时，根据21222
2442k x x k k -+=-=-+得4
5
k =． …………11分 ∴直线l 的方程为4540x y -+=． …………12分
21．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为),(+∞0，22
1()(1)
()1a a x a x f x x x x -+-'=-
++=
． …………1分
（ⅰ）当10a -<<时，
由()0f x '>得0x a <<-或1x >；由()0f x '<得1a x -<<． 故()f x 在(0,)a -，(1,)+∞上单调递增，在(,1)a -上单调递减．……4分 （ⅱ）当1a <-时，
由()0f x '>得01x <<或x a >-；由()0f x '<得1x a <<-．
故()f x 分别在(0,1)，(,)a -+∞上单调递增，在(1,)a -上单调递减． …7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当10a -<<时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，
∴()f x 在[1,)+∞上的最小值是(1)1152f a a =+-=，
∴1
14
a =-
． …………9分 当1a <-时，()f x 在[1,)+∞上的最小值是
()1(1)ln()152f a a a a a -=--+---=，
即163(1)ln()0a a a --+--=， 下证满足此式的a 不存在．
设()163(1)ln F x x x x =--+，其中10
(1,e )x a =-∈．
∵1()16(ln 1)0F x x x
'=-++>，∴()F x 在10
(1,e )上是增函数， ∴()(1)130F x F >=>，∴163(1)ln()0a a a --+-->． 综上，1
14
a =-
． ………12分 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连接BC ，∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACB =∠AGC =90°．………2分
∵CG 切圆O 于点C ，∴∠GCA =∠ABC ． ………4分 ∴∠BAC =∠CAG ． ………5分
（Ⅱ）连接CF ，∵EC 切圆O 于点C ，∴∠ACE =∠AFC ． ………6分
又∵∠BAC =∠CAG ，∴△ACF ∽△AEC ， ………8分
∴
AC AF AE AC
=，∴AC 2
= AE ·AF ． ………10分 （23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当x <0时，原不等式可化为20x x -+<，解得0x >，又∵0x <，∴x 不存在；
当1
02x ≤<时，原不等式可化为20x x --<，解得0x >，又∵102x ≤<，
∴1
02
x <<
；
当12x ≥
时，原不等式可化为211x x --<，解得2x <，又∵12
x ≥，∴1
22x ≤<；
综上，原不等式的解为02x <<． ………… 5分 （Ⅱ）∵2
2
|()()||||||1|f x f a x x a a x a x a -<--+=-⋅+-
|1||21|x a x a a <+-=-+-|||21|x a a ≤-+-1|2|12(||1)a a <++=+．
∴|()()|2(||1)f x f a a -<+． ………… 10分。