邛崃市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

邛崃市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 10y -+=的倾斜角为（ ）
A ．150
B ．120
C ．60
D ．30
2． 在△ABC 中，已知a=2
，b=6，A=30°，则B=（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．120°或60°
D ．45°
3． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、()f x =x 与()f x =2x x
B 、()1f x x =- 与()f x =
C 、()f x x =与
()f x = D 、()f x x =与2()f x =
4． 已知函数f （x ）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）
A ．y=2
B ．y=log 3（x+1）
C ．y=4﹣
D ．y=
5． 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．1﹣
B ．﹣
C ．
D ．
6． 在下列区间中，函数f （x ）=（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3 ）
D ．（3，4）
7． 已知椭圆C
：
+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2
，离心率为
，过F 2的直线l 交C 于A 、B
两点，若△AF 1B 的周长为
4，则C 的方程为（ ）
A
．
+
=1
B
．
+y 2=1
C
．
+
=1
D
．
+
=1
8． 在平面直角坐标系中，直线
y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ）
A ．
4 B ．
4
C ．
2 D ．
2
9． 设P
是椭圆
+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
10．PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．甲乙相等
D ．无法确定
11．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
12．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）
A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4
二、填空题
13．已知函数f（x）=，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是．（写
出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．
③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．
14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范
围是．
15．等比数列{a n}的前n项和S n＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则a n＝________．
16．已知f（x）=，则f（﹣）+f（）等于．
17．命题p：∀x∈R，函数的否定为．
18．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于km．
三、解答题
19．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
20．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是
①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；
③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
21．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；
（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．
22．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，E ，F ，G 分别是AC ，AD ，BC 的中点．求证：
（I ）AB ∥平面EFG ； （II ）平面EFG ⊥平面ABC ．
23．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
24．已知函数
．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点P （1，f （1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记g （x ）=f （x ）+x ﹣b （b ∈R ）．当a=1时，函数g （x ）在区间[e ﹣1
，e]上有两个零点，求实数b 的取
值范围．
邛崃市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 2． 【答案】C 【解析】解：∵a=2
，b=6，A=30°，
∴由正弦定理可得：sinB==
=
，
∵B ∈（0°，180°）， ∴B=120°或60°． 故选：C ．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A 中两个函数定义域不同，选项B 中两个函数对应法则不同，选项D 中两个函数定义域不同。

故选C 。

考点：同一函数的判定。

4． 【答案】C
【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，
函数y=2，y=log 3（x+1），y=
的值域均含4，
即y=4不是它们的渐近线，
函数y=4﹣
的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），
故y=4为函数图象的渐近线， 故选：C
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．
5． 【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为
，
连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴
影部分的面积为：
﹣
，
∴此点取自阴影部分的概率是．
故选A．
6．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=（）x﹣x，
可得f（0）=1＞0，f（1）=﹣＜0．f（2）=﹣＜0，
函数的零点在（0，1）．
故选：A．
7．【答案】A
【解析】解：∵△AF
B的周长为4，
1
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．【答案】A
【解析】解：圆x2
+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，
故选：A ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
9． 【答案】A
【解析】解：∵P 是椭圆
+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，|PF 1|等于4，
∴|PF 2|=2×13﹣|PF 1|=26﹣4=22．
故选：A ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．
10．【答案】A
【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定， 而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中， ∴甲地的方差较小． 故选：A ．
【点评】本题 考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．
11．【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
12．【答案】C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前1 0
第一圈2 2 是
第二圈3 7 是
第三圈4 18 是
第四圈5 41 是
第五圈6 88 否
故退出循环的条件应为k＞5？
故答案选C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
二、填空题
13．【答案】②④
【解析】解：
①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时
f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：，满足；
（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=
＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．14．【答案】（0，1）．
【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故答案为（0，1）．
【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．
15．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
16．【答案】4．
【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=．
f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣）=f（）=2×=，
∴f（）+f（﹣）=+．
故答案为：4．
17．【答案】∃x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
故答案为：∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
18．【答案】25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，
由正弦定理可得AC==25km，
故答案为：25．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…
20．【答案】
①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；
③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；
故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；
P（X=3）==；P（X=4）==．…
X
EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
22．【答案】
【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．
所以AB ∥EG … 因为EG ⊂平面EFG ，AB ⊄平面EFG
所以AB ∥平面EFG … （II ）因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD 所以AB ⊥CD …
又BC ⊥CD 且AB ∩BC=B 所以CD ⊥平面ABC …
又E ，F 分别是AC ，AD ，的中点 所以CD ∥EF 所以EF ⊥平面ABC …
又EF ⊂平面EFG ，
所以平面平面EFG ⊥平面ABC ．…
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．
23．【答案】（1）102n a n =-；（2）2
29(5)
940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2
129n a a a n n =+++=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），
因为，所以，，所以，a=1．
所以，
，
． 由f'（x ）＞0解得x ＞2；由f'（x ）＜0，解得 0＜x ＜2．
所以f （x ）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ） ，由f'（x ）＞0解得
； 由f'（x ）＜0解得
．
所以，f （x ）在区间上单调递增，在区间
上单调递减．
所以，当时，函数f （x ）取得最小值，
．因为对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）
成立，
所以，即可．则．由解得．
所以，a的取值范围是．
（Ⅲ）依题得，则．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，
解得．所以，b的取值范围是．
【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．。