二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值

二次函数的最值问题——求线段，三角
形周长及面积的最值
摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二
次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。

在解决二次函
数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三
角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。

关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合
一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短
问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的
分析：由已知，可
求得二次函数的对称轴为，又因为
二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则
,所以CH＋EH的最小值为。

小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于
对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的
最小值。

变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出
的周长；若不存在，请说明理由。

分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。

，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，
,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,
问题2.如图，直线与抛物线交于点
A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E
在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示
EF的长并求EF的最大值。

分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大
值为
小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。

变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？
分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角
形，，要求的最大值只需求得的最大值，由
此就转化为问题2，所以
小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。

变式2:问题2改为连接AE,BE，求
，的最大值，只需求的最大值，这就转化成
问题2.
小结：求三角形面积的最大值，一般过抛物线上的一点作y轴的平行线，分成两个三角形，从而转化为求平行于y轴线段的最大值问题。

利用二次函数求线段的最小值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题，一般通过数形结合，利用二次函数图像的性质来解决函数的最值问题。

求三角形周长及面积的最值问题一般是通过设抛物线上的点的坐标，利用已知点表示出未知点的坐标，从而变成求线段的最值问题，利用二次函数求最值的方法即可解决线段、三角形周长、三角形面积的最值问题。