材料力学-拉、压
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6
单位：Pa=N/m2，1Mpa=106Pa，1GPa=109Pa
3、正应力、剪应力
正应力 ：垂直与截面的应力，指向外法线方向为正。 剪应力 ：相切于截面的应力，左上右下为正。 4、拉、压杆横截面上的应力 对于等截面直杆，横截面上的 应力分布均匀，因此有 垂直截面：
0
角的斜截面：
7
5、圣维南原理 如果杆端的外加载荷在静力 学上等效，则端部以外区域的应 力差异甚微。所以不考虑端部加 载方式的影响。
4
2、截面法 因内力是物体内部各部分之间的相互作用力，所以截断 内部的联系，可揭示、研究内力。 这种假想地用一个截面将构件截开，从而揭示内力，并 确定内力的方法，称为截面法。 其步骤：参考：教材112页 （1）截开两部分 内力的方向： 材料力学中从变形的角度规定：拉为正、压为负 与静力学中的力的正、负规定不同。
11
二、正应力、应力--应变关系 从胡克定律可知，杆件的弹性模量 E、横截面面积 A、轴力 N 相同时，杆件的长度 l 越大，变形量 l 越大。因此单单绝对 变形量 l 还不能反映杆件的变形程度。所以引入相对变形量 的概念---正应变 。 则有
l ， 单位长度的变形量，无量纲，伸长为正。 l
1 2 A A A 1 2
(1) (2) (3)
24
未知数4个，方程仅三个，必须补充一个方程：
2l1 l2 S1l1 而 l1 E1 A1
- - - - - - - 变形协调条件 S 2l2 , l2 , 且 l1 l2 E2 A2 (4)
S1 S2 2 - - - - - - - -变形协调方程 E1 A1 E2 A2 2P S1 E2 A2 1 4 E1 A1 4P S2 E1 A1 4 E2 A2 2 4 S1 P ， S 2 P 5 5
屈服极限的定义不同。 129页-图5.21 脆性材料：只有弹性阶段。直到拉断， 试件变形很小，断口处的
横截面面积几乎没有变化。
无屈服现象、无颈缩现象。以抗拉强度 b 为强 度指标。 脆性材料的抗拉强度很低。128页-图5.19
19
二、材料在压缩时的力学性能 为避免试件受轴向压力而变弯，采用短试件。
所表现出的变形、破坏等方面的特性，它由各种试验方法来 测定，其中常温静载拉伸压缩试验（在室温下，以缓慢平稳 的加载方式进行试验）是最基本的一种。由此可测出材料机 械性质的弹性模量等参数。
一、材料拉ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时的机械性能
1、试验（参考试验指导书） 设备：万能材料试验机 试件：材料作成规定的性形状和尺寸。
14
用游标卡尺测标距 l 0、直径 d 0。 步骤： 试件两端装在试验机的 夹头中，对试件缓缓地施加力，
（胡克定律的另一种形式）
l Nl 1 N 1 即 E l EAl E A E
这表明，在弹性范围内，杆件上任意点的正应变与正应
力之间存在线性关系。
12
二、横向形变、泊松比 从杆件的横截面变形可知
h h h`
其相对变形量
`
b b b`
称横向线应变。
8
§5-2
拉、压杆的强度计算
为保证构件在工作时不发生强度失效，从而能安全可靠地 工作，必须使它的实际工作应力比材料的破坏应力小于若干倍 。为了解决强度问题,为各种材料定出构件工作时所能允许的应 力的最高值。这个最大的允许应力称为许用应力 [ ] 。不同材 料有不同的许用应力。
则强度条件为 max
lT lT
Nl l lT lT EA E
为热膨胀系数
lT 的温度变形量受到限制，转化为应力，根据变形协调条件
TE
26
2、装配应力 装配构件时产生的应力。 也要根据变形协调条件求得其应力大小。
27
结
束
28
10
一、纵向变形、胡克定律
通过实验发现，当拉力不超过某一限度时，杆件变形是弹性 的，且其伸长量 l 与拉力 P 和杆件的原长 l 成正比。引入一个 系数 E，则有 Pl Nl 其中 E 为材料的弹性模量 l
EA 上式称胡克定律，l 伸长为正。
EA
弹性模量 E 与材料的性质有关 ，单位 [力]/[长度]2 。 E 大，则杆件变形小，因此它是衡量材料抵抗弹性变形 能力的一个指标。 EA 代表材料抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度（硬度）。
对于拉、压杆 三类强度问题：
[ ] ， max 为构件的最大工作应力
N max Amin [ ]
◆校核强度：已知杆件截面尺寸、材料许用应力，外力 ◆设计截面：已知材料许用应力，外力
◆确定许可载荷：已知杆件截面尺寸，材料许用应力
9
§5-3
拉、压杆的变形计算
材料力学中研究变形，是为了研究构件的刚度。 变形是因为外力引起的，与内力的分布有关。 变形类型： 弹性变形：除去外力后，产生的变形随之消失。 塑性变形：除去外力后，产生的变形不能恢复。也叫残余变形。 构件的四种变形形式： 拉伸、压缩变形， 剪切变形， 扭转变形， 弯曲变形 拉伸、压缩变形特点： 沿轴线方向伸长和缩短----纵向变形 横向尺寸缩小和增大-----横向变形
15
2、低碳钢、铸铁的拉伸应力--应变曲线及其机械性能 低碳钢 曲线
(P)
分为四个阶段：
OA--弹性阶段 BC--屈服阶段 CD--强化阶段 DK--局部变形阶段
( l )
弹性阶段--OA
此时材料变形是弹性的， 关系为直线，满足 E 。
卸载、加载都沿此直线。完全卸载后，完全恢复变形。 A 处的应力为材料的比例极限-- P 。
这是最基本的区别。
脆性材料抗压能力远比抗拉能力强，价格便宜，适用于 受压构件。 塑性材料抗压能力与抗拉能力相近，适用于受拉构件。
21
四、应力集中的概念 工程中有些构件需钻孔、切槽，在这些部位上截面尺寸
发生突然变化，破坏往往从这些区域开始。
实验结果和理论分析知，在零件尺寸突然改变处的横截 面上应力并不是均匀分布的。这种局部区域应力突然增大的 现象称为应力集中。塑性材料对应力集中不敏感，而脆性材 料很敏感，产生裂纹。 （参考《材料力学》软件）
17
变形集中于某一小段范围内，横截面出现局部迅速收缩现象， 称颈缩现象。应力下降。
延伸率和截面收缩率（材料塑性性能指标）
延伸率： l1 l0 100 %
l0
5% 塑性材料 5% 脆性材料
A1 ：断口处最小的横截面面积
, 是代表材料塑性的两个性能指标。 , 越大，塑性越大。
通过实验发现，纵向应变与横向应变之间存在一定的关系。
h b h b
`
， ( )称泊松比，0 ( ) 0.5 。
弹性模量 E 、泊松比 是材料的弹性常数。
13
§5-4 材料在拉伸、压缩时的机械性能
材料的强度和变形不仅与应力有关，还与材料本身的性
质有关。材料的机械性能（力学行为）是材料在外力作用下
5
（2）取其中一个为研究对象
（3）根据平衡条件确定内力大小和方向
3、内力图（轴力图）
内力沿轴线方向变化的图形。 例题，练习 二、应 力 1、应力的引入
杆的强不仅与轴力的大小有关，而且与横截面面积有关。
因此讨论构件的强度问题必须了解内力在截面上的聚集程度 （集度）。 2、应力 微小面积上的内力。
P dP p lim A0 A dA
卸载定律及冷作硬化 卸载过程中应力应变按直线规律变化。 重新加载，材料的比例极限得到了提高。
18
A0 A1 截面收缩率： A0
2、其它材料拉伸时的力学性能 塑性材料：断裂后都有明显的塑性变形。其应力应变曲线有
弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段
128页-图5.17 129页-图5.20
当 E1 E2 ，A1 A2 时
由此可见杆件的内力不仅与载荷有关，还与杆件抗拉刚度EA有关。
25
此外，工程中还要考虑温度应力和装配应力。 1、温度应力 当温度改变时构件会产生变形。在静定结构中这种变形能 自由释放，而在静不定结构中这种变形受到限制，使构件产生 应力。这种由温度变化引起的变形，因受到限制而产生的应力 称为温度应力。 因温度应力是由变形受限制产生的，因此由它的自由变形 量来计算。如： T 温差引起的杆件长度自由变形量为 lT ，则有关系式：
3
◆材料力学中的内力与物体固有的内力
物体固有的内力：即使物体不受外力作用，物体个质点之间依 然存在着的相互作用力，如分子、粒子的相互作用力。 材料力学中的内力：在外力作用下，上述物体固有力的变化量 ，即为物体各部分之间因产生变形而引起的附加相互作用力， 是“附加内力”。这样的内力随外力的增大而增大，到达某一 限度时就会引起构件破坏，因而它与构件的强度密切相关。
2
§5-1
拉、压杆的内力与应力
一、内力与截面法
1、内力的概念
物体受外力作用而产生变形时，其内部各部分之间，因 相对位移的改变而引起的相互作用力，称为内力。
◆材料力学中的内力与静力学中的内力
材料力学中的内力：物体内部各部分之间的相互作用力。 静力学中的内力：讨论物体系统平衡时，各个物体之间的相互 作用力，即为相互的机械作用。它相对于物体 系统来说是内力，但对于一个物体来说是外力。
低碳钢压缩时的 图。 斜率与
拉伸时相等。不存在抗拉强度。 铸铁压缩时 图。 抗压强度 b 高于拉伸时候。 发生明显的斜裂纹(塑变)， 铸铁拉伸 低碳钢压缩
裂纹断口平面与轴成45角度，
断口较为光滑。 低碳钢压缩 铸铁压缩
20
三、塑性材料与脆性材料的区别 塑性材料在断裂前有很大的塑性变形，而脆性材料则小，
22
§5-5 拉压杆的简单静不定问题
在工程中有时为了增加构件和结构物的强度或钢度，或
由于构造上的需要，给构件增加一些约束，这就成了静不定
问题，即未知力的数目多于平衡方程的数目。 这时要考虑变形问题，列变形协调方程。 变形协调方程：根据力和变形之间的物理关系建立 方程 （ 胡克定理）。
解静不定问题须考虑：1、静力学平衡关系
观察时间的变形情况和出现的
各种现象，记录有关的数据。由此确定材料受力后的某些 特性和材料的性能指标。 数据：试验机的自动绘图装置可画出试件变形量 l 与载荷 P （轴力 N）之间的定性的关系曲线。由此变换可得材料的
应力--应变曲线，即 图。
试验种类：低碳钢（塑性材料）、铸铁（脆性材料）的拉伸、 压缩。
16
在 AB 段内虽不是直线，仍为弹性变形，B 处的应力为材料 的弹性极限--e ，应力超过弹性极限后，则会留下塑性变形 （残余变形）。 屈服阶段-- BC 材料暂时失去抵抗变形的能力，试件上出现45角的条纹（滑移 线）。这种应力几乎不变，而应变却不断增加，产生明显塑性 变形的现象称为屈服。测屈服极限-- s ，是衡量材料强度的重 要指标。 强化阶段--CD 应力、应变不断增加，材料恢复了抵抗变形的能力。D 处的 应力为强化极限-- b ，是衡量材料强度的另一重要指标。 局部变形阶段--DK 应力达到 D 点前材料横截面变形是均匀的，而过 D 点后
第五章
§5–1
§5–2 §5–3 §5–4 §5–5
轴向拉伸与压缩
拉、压杆的内力与应力
拉、压杆的强度计算 拉、压杆的变形计算 材料在拉、伸压缩时的机械性能 拉、压杆的简单静不定问题
1
第五章
轴 向 拉 伸 与 压 缩
受力特点：作用在截面直杆上的外力合力的作用线
与杆的轴线相重合。
变形特点：杆产生沿轴线方向的伸长和缩短。 这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。
2、变形几何关系 3、变形与力之间的物理关系
23
例：
已知：P, CD杆的E1、A1，BE杆的E2、A2
求：CD、BE杆的轴力
解：杆ACB为研究对象，受力图如图。根据受力图列平衡方程。
Y 0 S S P Y 0 X 0 X 0 M ( F ) 0 S a S 2a P 2a 0
单位：Pa=N/m2，1Mpa=106Pa，1GPa=109Pa
3、正应力、剪应力
正应力 ：垂直与截面的应力，指向外法线方向为正。 剪应力 ：相切于截面的应力，左上右下为正。 4、拉、压杆横截面上的应力 对于等截面直杆，横截面上的 应力分布均匀，因此有 垂直截面：
0
角的斜截面：
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5、圣维南原理 如果杆端的外加载荷在静力 学上等效，则端部以外区域的应 力差异甚微。所以不考虑端部加 载方式的影响。
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2、截面法 因内力是物体内部各部分之间的相互作用力，所以截断 内部的联系，可揭示、研究内力。 这种假想地用一个截面将构件截开，从而揭示内力，并 确定内力的方法，称为截面法。 其步骤：参考：教材112页 （1）截开两部分 内力的方向： 材料力学中从变形的角度规定：拉为正、压为负 与静力学中的力的正、负规定不同。
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二、正应力、应力--应变关系 从胡克定律可知，杆件的弹性模量 E、横截面面积 A、轴力 N 相同时，杆件的长度 l 越大，变形量 l 越大。因此单单绝对 变形量 l 还不能反映杆件的变形程度。所以引入相对变形量 的概念---正应变 。 则有
l ， 单位长度的变形量，无量纲，伸长为正。 l
1 2 A A A 1 2
(1) (2) (3)
24
未知数4个，方程仅三个，必须补充一个方程：
2l1 l2 S1l1 而 l1 E1 A1
- - - - - - - 变形协调条件 S 2l2 , l2 , 且 l1 l2 E2 A2 (4)
S1 S2 2 - - - - - - - -变形协调方程 E1 A1 E2 A2 2P S1 E2 A2 1 4 E1 A1 4P S2 E1 A1 4 E2 A2 2 4 S1 P ， S 2 P 5 5
屈服极限的定义不同。 129页-图5.21 脆性材料：只有弹性阶段。直到拉断， 试件变形很小，断口处的
横截面面积几乎没有变化。
无屈服现象、无颈缩现象。以抗拉强度 b 为强 度指标。 脆性材料的抗拉强度很低。128页-图5.19
19
二、材料在压缩时的力学性能 为避免试件受轴向压力而变弯，采用短试件。
所表现出的变形、破坏等方面的特性，它由各种试验方法来 测定，其中常温静载拉伸压缩试验（在室温下，以缓慢平稳 的加载方式进行试验）是最基本的一种。由此可测出材料机 械性质的弹性模量等参数。
一、材料拉ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时的机械性能
1、试验（参考试验指导书） 设备：万能材料试验机 试件：材料作成规定的性形状和尺寸。
14
用游标卡尺测标距 l 0、直径 d 0。 步骤： 试件两端装在试验机的 夹头中，对试件缓缓地施加力，
（胡克定律的另一种形式）
l Nl 1 N 1 即 E l EAl E A E
这表明，在弹性范围内，杆件上任意点的正应变与正应
力之间存在线性关系。
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二、横向形变、泊松比 从杆件的横截面变形可知
h h h`
其相对变形量
`
b b b`
称横向线应变。
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§5-2
拉、压杆的强度计算
为保证构件在工作时不发生强度失效，从而能安全可靠地 工作，必须使它的实际工作应力比材料的破坏应力小于若干倍 。为了解决强度问题,为各种材料定出构件工作时所能允许的应 力的最高值。这个最大的允许应力称为许用应力 [ ] 。不同材 料有不同的许用应力。
则强度条件为 max
lT lT
Nl l lT lT EA E
为热膨胀系数
lT 的温度变形量受到限制，转化为应力，根据变形协调条件
TE
26
2、装配应力 装配构件时产生的应力。 也要根据变形协调条件求得其应力大小。
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结
束
28
10
一、纵向变形、胡克定律
通过实验发现，当拉力不超过某一限度时，杆件变形是弹性 的，且其伸长量 l 与拉力 P 和杆件的原长 l 成正比。引入一个 系数 E，则有 Pl Nl 其中 E 为材料的弹性模量 l
EA 上式称胡克定律，l 伸长为正。
EA
弹性模量 E 与材料的性质有关 ，单位 [力]/[长度]2 。 E 大，则杆件变形小，因此它是衡量材料抵抗弹性变形 能力的一个指标。 EA 代表材料抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度（硬度）。
对于拉、压杆 三类强度问题：
[ ] ， max 为构件的最大工作应力
N max Amin [ ]
◆校核强度：已知杆件截面尺寸、材料许用应力，外力 ◆设计截面：已知材料许用应力，外力
◆确定许可载荷：已知杆件截面尺寸，材料许用应力
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§5-3
拉、压杆的变形计算
材料力学中研究变形，是为了研究构件的刚度。 变形是因为外力引起的，与内力的分布有关。 变形类型： 弹性变形：除去外力后，产生的变形随之消失。 塑性变形：除去外力后，产生的变形不能恢复。也叫残余变形。 构件的四种变形形式： 拉伸、压缩变形， 剪切变形， 扭转变形， 弯曲变形 拉伸、压缩变形特点： 沿轴线方向伸长和缩短----纵向变形 横向尺寸缩小和增大-----横向变形
15
2、低碳钢、铸铁的拉伸应力--应变曲线及其机械性能 低碳钢 曲线
(P)
分为四个阶段：
OA--弹性阶段 BC--屈服阶段 CD--强化阶段 DK--局部变形阶段
( l )
弹性阶段--OA
此时材料变形是弹性的， 关系为直线，满足 E 。
卸载、加载都沿此直线。完全卸载后，完全恢复变形。 A 处的应力为材料的比例极限-- P 。
这是最基本的区别。
脆性材料抗压能力远比抗拉能力强，价格便宜，适用于 受压构件。 塑性材料抗压能力与抗拉能力相近，适用于受拉构件。
21
四、应力集中的概念 工程中有些构件需钻孔、切槽，在这些部位上截面尺寸
发生突然变化，破坏往往从这些区域开始。
实验结果和理论分析知，在零件尺寸突然改变处的横截 面上应力并不是均匀分布的。这种局部区域应力突然增大的 现象称为应力集中。塑性材料对应力集中不敏感，而脆性材 料很敏感，产生裂纹。 （参考《材料力学》软件）
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变形集中于某一小段范围内，横截面出现局部迅速收缩现象， 称颈缩现象。应力下降。
延伸率和截面收缩率（材料塑性性能指标）
延伸率： l1 l0 100 %
l0
5% 塑性材料 5% 脆性材料
A1 ：断口处最小的横截面面积
, 是代表材料塑性的两个性能指标。 , 越大，塑性越大。
通过实验发现，纵向应变与横向应变之间存在一定的关系。
h b h b
`
， ( )称泊松比，0 ( ) 0.5 。
弹性模量 E 、泊松比 是材料的弹性常数。
13
§5-4 材料在拉伸、压缩时的机械性能
材料的强度和变形不仅与应力有关，还与材料本身的性
质有关。材料的机械性能（力学行为）是材料在外力作用下
5
（2）取其中一个为研究对象
（3）根据平衡条件确定内力大小和方向
3、内力图（轴力图）
内力沿轴线方向变化的图形。 例题，练习 二、应 力 1、应力的引入
杆的强不仅与轴力的大小有关，而且与横截面面积有关。
因此讨论构件的强度问题必须了解内力在截面上的聚集程度 （集度）。 2、应力 微小面积上的内力。
P dP p lim A0 A dA
卸载定律及冷作硬化 卸载过程中应力应变按直线规律变化。 重新加载，材料的比例极限得到了提高。
18
A0 A1 截面收缩率： A0
2、其它材料拉伸时的力学性能 塑性材料：断裂后都有明显的塑性变形。其应力应变曲线有
弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段
128页-图5.17 129页-图5.20
当 E1 E2 ，A1 A2 时
由此可见杆件的内力不仅与载荷有关，还与杆件抗拉刚度EA有关。
25
此外，工程中还要考虑温度应力和装配应力。 1、温度应力 当温度改变时构件会产生变形。在静定结构中这种变形能 自由释放，而在静不定结构中这种变形受到限制，使构件产生 应力。这种由温度变化引起的变形，因受到限制而产生的应力 称为温度应力。 因温度应力是由变形受限制产生的，因此由它的自由变形 量来计算。如： T 温差引起的杆件长度自由变形量为 lT ，则有关系式：
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◆材料力学中的内力与物体固有的内力
物体固有的内力：即使物体不受外力作用，物体个质点之间依 然存在着的相互作用力，如分子、粒子的相互作用力。 材料力学中的内力：在外力作用下，上述物体固有力的变化量 ，即为物体各部分之间因产生变形而引起的附加相互作用力， 是“附加内力”。这样的内力随外力的增大而增大，到达某一 限度时就会引起构件破坏，因而它与构件的强度密切相关。
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§5-1
拉、压杆的内力与应力
一、内力与截面法
1、内力的概念
物体受外力作用而产生变形时，其内部各部分之间，因 相对位移的改变而引起的相互作用力，称为内力。
◆材料力学中的内力与静力学中的内力
材料力学中的内力：物体内部各部分之间的相互作用力。 静力学中的内力：讨论物体系统平衡时，各个物体之间的相互 作用力，即为相互的机械作用。它相对于物体 系统来说是内力，但对于一个物体来说是外力。
低碳钢压缩时的 图。 斜率与
拉伸时相等。不存在抗拉强度。 铸铁压缩时 图。 抗压强度 b 高于拉伸时候。 发生明显的斜裂纹(塑变)， 铸铁拉伸 低碳钢压缩
裂纹断口平面与轴成45角度，
断口较为光滑。 低碳钢压缩 铸铁压缩
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三、塑性材料与脆性材料的区别 塑性材料在断裂前有很大的塑性变形，而脆性材料则小，
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§5-5 拉压杆的简单静不定问题
在工程中有时为了增加构件和结构物的强度或钢度，或
由于构造上的需要，给构件增加一些约束，这就成了静不定
问题，即未知力的数目多于平衡方程的数目。 这时要考虑变形问题，列变形协调方程。 变形协调方程：根据力和变形之间的物理关系建立 方程 （ 胡克定理）。
解静不定问题须考虑：1、静力学平衡关系
观察时间的变形情况和出现的
各种现象，记录有关的数据。由此确定材料受力后的某些 特性和材料的性能指标。 数据：试验机的自动绘图装置可画出试件变形量 l 与载荷 P （轴力 N）之间的定性的关系曲线。由此变换可得材料的
应力--应变曲线，即 图。
试验种类：低碳钢（塑性材料）、铸铁（脆性材料）的拉伸、 压缩。
16
在 AB 段内虽不是直线，仍为弹性变形，B 处的应力为材料 的弹性极限--e ，应力超过弹性极限后，则会留下塑性变形 （残余变形）。 屈服阶段-- BC 材料暂时失去抵抗变形的能力，试件上出现45角的条纹（滑移 线）。这种应力几乎不变，而应变却不断增加，产生明显塑性 变形的现象称为屈服。测屈服极限-- s ，是衡量材料强度的重 要指标。 强化阶段--CD 应力、应变不断增加，材料恢复了抵抗变形的能力。D 处的 应力为强化极限-- b ，是衡量材料强度的另一重要指标。 局部变形阶段--DK 应力达到 D 点前材料横截面变形是均匀的，而过 D 点后
第五章
§5–1
§5–2 §5–3 §5–4 §5–5
轴向拉伸与压缩
拉、压杆的内力与应力
拉、压杆的强度计算 拉、压杆的变形计算 材料在拉、伸压缩时的机械性能 拉、压杆的简单静不定问题
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第五章
轴 向 拉 伸 与 压 缩
受力特点：作用在截面直杆上的外力合力的作用线
与杆的轴线相重合。
变形特点：杆产生沿轴线方向的伸长和缩短。 这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。
2、变形几何关系 3、变形与力之间的物理关系
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例：
已知：P, CD杆的E1、A1，BE杆的E2、A2
求：CD、BE杆的轴力
解：杆ACB为研究对象，受力图如图。根据受力图列平衡方程。
Y 0 S S P Y 0 X 0 X 0 M ( F ) 0 S a S 2a P 2a 0