03_第二十四章24.1.3弧、弦、圆心角

(用含有R的代数式表示).
24.1.3 弧、弦、圆心角
答案 R 解析 如图,连接OA、OB,
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则△OAB为等腰三角形,顶角为36°,底角为72°.
连接OC、OD,则△OCD为等腰三角形,顶角为108°,底角为36°.
在CD上取一点E,使得CE=OC,连接OE,则△OCE为等腰三角形,顶角为36°,
︵
︵
︵
A. AC = CD = DB
︵
︵
︵
C. AC = DB > CD
图24-1-3-5
︵
︵
︵
B. AC = DB < CD
︵
︵
︵
D. AC < DB < CD
24.1.3 弧、弦、圆心角
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答案 A 如图,连接AC,OC,OD,BD,∵直线CM是AO的垂直平分线,直
线DN是OB的垂直平分线,∴AC=OC,BD=OD.∵OC=OD=OA=OB,
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3.(2019江苏泰州高港月考)如图24-1-3-2,AB是☉O的直径,B ︵C
︵
=C D
︵
= DE
,
∠COD=32°,则∠AEO的度数为
.
图24-1-3-2
答案 48°
解析
∵ B︵C
︵
= CD
︵
= DE
,∠COD=32°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=32°,
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=84°.又∵OA=OE,∴∠AEO=
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE.
∵OC=OC,
∴△COD≌△COE(SAS),
∴CD=CE.
(2)如图24-1-3-4,连接OM,ON,
∵△COD≌△COE,
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24.1.3 弧、弦、圆心角
∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE.
∵OC=OM=ON,
∴∠OCM=∠OMC,∠OCN=∠ONC,
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2.(2019浙江丽水期中,19,★☆☆)如图24-1-3-7,已知OA、OB、OC是☉O的
︵
三条半径,点C是A B 的中点,M、N分别是OA、OB的中点.求证:MC=NC.
图24-1-3-7
24.1.3 弧、弦、圆心角
证明
∵点C是 A︵B
的中点,∴ A︵C
︵
= BC
,
∴∠AOC=∠BOC.
例
如图24-1-3-5所示,在同圆中,如果A ︵B
︵
=2 CD
,那么弦AB与弦CD的关
系为AB
2CD(填“>”“=”或“<”).
图24-1-3-5
24.1.3 弧、弦、圆心角
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解析
如图24-1-3-6,取 A︵B
的中点E,连接AE,BE,则有 A︵B
︵
=2 AE
︵
=2 BE
,
图24-1-3-6
2
22
12


1 2
2
= 3 ,∴CD'= 3
2
,∴MC+MD的最小值是 3
.
24.1.3 弧、弦、圆心角
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一、选择题 1.(2019江苏泰州泰兴月考,10,★☆☆)如图24-1-3-6,已知∠AOB=∠COD,下 列结论不一定成立的是 ( )
图24-1-3-6
A.AB=CD
源自文库
图24-1-3-1
24.1.3 弧、弦、圆心角
证明 如图24-1-3-2,连接OC.
︵
︵
∵ AC = CB ,∴∠AOC=∠BOC.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠CDO=∠CEO=90°.
DOC EOC,
在△COD与△COE中,CDO CEO 90,
CO CO,
∠OAE,∴∠AEO=12 ×(180°-84°)=48°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
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4.如图24-1-3-3所示,AB是☉O的直径, A︵C
︵
= CD
,∠COD=60°.请判断
△AOC的形状,并说明理由.
图24-1-3-3
24.1.3 弧、弦、圆心角
解析 △AOC是等边三角形.理由如下:
∴△AOC,△BOD是等边三角形,∴∠AOC=∠BOD=60°.∵AB是☉O的直径,
︵
︵
︵
∴∠COD=60°,∴ AC = CD = DB .故选A.
24.1.3 弧、弦、圆心角
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1.如图,在半径为R的☉O中, A︵B 和 C︵D 所对圆心角的度数分别为36°和108°,
则弦CD与弦AB长度的差为
︵
︵
B. AB = CD
C.△AOB≌△COD
D.△AOB、△COD都是等边三角形
24.1.3 弧、弦、圆心角
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答案
D
∵∠AOB=∠COD,∴AB=CD, A︵B
︵
= CD
,∵OA=OB=OC=OD,
∴△AOB≌△COD,∴选项A、B、C成立.故选D.
24.1.3 弧、弦、圆心角
二、解答题
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等
弧、弦、圆心角的关系的推论 符号语言表示
(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所 对的弦也相等. (2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所 对的优弧和劣弧分别相等
(1)如果∠AOB=∠COD,那么 ︵ = ︵ ,AB=CD.
︵
= D ' B
.
︵
∵B C
︵
+ BD
= 2A ︵B
︵
,∴B C
︵
+B D '
= 2A ︵B
,∴∠COD'=120°.连接CD'交AB于M,则
3
3
CD'为MC+MD的最小值.过O作ON⊥CD'于N,∵OC=OD',∴CD'=2NC,∠C=
30°,∵OC= 1 AB=1,ON⊥CD,∴ON= 1 OC=1 ,∴CN= OC2 ON 2 =
中点,D,E分别是OA,OB上的点,且AD=BE,弦CM,CN分别过点D,E.
(1)求证:CD=CE;
︵
︵
(2)求证: AM = BN .
图24-1-3-3
24.1.3 弧、弦、圆心角
证明 (1)如图24-1-3-4,连接OC.
︵
∵点C是优弧 ACB 的中点,
︵
︵
∴ AC = BC ,
∴∠COD=∠COE.
答案 D 圆心角的顶点必须在圆心上,∴选项A、B、C均不正确,故选 D.
24.1.3 弧、弦、圆心角
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2.如图24-1-3-1,△ABC的各顶点都在☉O上,D、E、F分别是△ABC三边
︵
︵
的中点,若 AB = AC ,则四边形AEDF的形状是 ( )
A.菱形 C.矩形
B.正方形 D.等腰梯形
24.1.3 弧、弦、圆心角
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初中数学（人教版）
九年级 上册
第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
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知识点 弧、弦、圆心角之间的关系
圆的旋转不变性
把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合,因此圆是 中心对称图形,圆心是对称中心
圆心角
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角
弧、弦、圆心角的关系
24.1.3 弧、弦、圆心角
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2.(2017吉林长春绿园模拟)如图,AB是☉O的直径,已知AB=2,C,D是☉O上
︵
的两点,且 BC
︵
+ BD
= 2 A︵B
,M是AB上一点,则MC+MD的最小值是
3
.
24.1.3 弧、弦、圆心角
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答案 3
解析
如图,过D作DD'⊥AB于H交☉O于D',连接OC,OD',∴ B︵D
∴△COD≌△COE(AAS),
∴OD=OE.
∵AO=BO,∴AO-DO=BO-EO,即AD=BE.
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图24-1-3-2 学习指导 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条优弧、两条劣弧、
两条弦中有一组量相等,那么其他各组量都分别相等.
24.1.3 弧、弦、圆心角
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题型 利用弧、弦、圆心角之间的关系进行简单计算或证明 例 (2019江苏泰兴兴化月考)如图24-1-3-3,在☉O中,点C是优弧A C︵B 的
∵AD是☉O的直径,
∴∠COD=∠BOD=60°.
∵OD=OC,
∴△COD是等边三角形.
∵AD=6,∴OD=3.
∵点E是线段CD的中点,
∴OE⊥CD,∠COE=30°.
又∵在Rt△COE中,OC=3,
∴CE= 3 ,OE= OC2 CE2 = 2
32


3 2
2

= 3 3
2
.
故选B.
又∵OA=OB,M、N分别是OA、OB的中点,∴OM=ON.
OM ON,
在△MOC和△NOC中,AOC BOC,
OC OC,
∴△MOC≌△NOC(SAS),∴MC=NC.
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24.1.3 弧、弦、圆心角
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1.(2019四川广元苍溪期中,8,★★☆)如图,在☉O中,AB,CD是两条弦, OM⊥CD,ON⊥AB,如果AB=CD,则下列结论不正确的是 ( )
∵ A︵B
︵
=2 CD
,∴ C︵D
︵
= BE
︵
= AE
,∴AE=BE=CD,
而在△ABE中,AE+BE>AB,∴AB<2CD.
正解 < 易错警示 在同圆或等圆中,由弧相等可推出对应的弦相等,但当弧有 倍数关系时,弦没有相对应的倍数关系.
24.1.3 弧、弦、圆心角
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知识点 弧、弦、圆心角之间的关系 1.下面四个图中的角,为圆心角的是 ( )
图24-1-3-1
24.1.3 弧、弦、圆心角
答案 A ∵D、E、F是三边的中点,
∴DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
︵
︵
∵ AB = AC ,∴AB=AC,
易知AE= 1 AB,AF= 1AC,
2
2
∴AE=AF,∴四边形AEDF是菱形.
故选A.
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24.1.3 弧、弦、圆心角
底角为72°.
CO OA R,
在△COE与△OAB中,OCE AOB 36,
CE OB R,
∴△COE≌△OAB,
∴OE=AB.∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°,
∴∠EOD=∠ODE,∴DE=OE,
∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R.
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24.1.3 弧、弦、圆心角
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1.如图24-1-3-4所示,在☉O中, A︵B
︵
= CD
,则在①AB=CD;②AC=BD;
︵
︵
③∠AOC=∠BOD;④A C =B D 中,正确的个数是 ( )
图24-1-3-4 A.1 B.2 C.3 D.4
24.1.3 弧、弦、圆心角
答案
D
∵在☉O中, A︵B
∴∠OMD=∠ONE,
∵∠ODC=∠DMO+∠MOD,∠CEO=∠CNO+∠NOE,
∴∠MOD=∠NOE,
∴ A︵M
︵
= BN
.
图24-1-3-4
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24.1.3 弧、弦、圆心角
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易错点 不能正确理解圆心角、弧、弦之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系是在一组量相等时出现的等量关系,当
各组量之间不是等量关系时,不能按照等量时应用.
︵
︵
∵ AC = CD ,
∴∠AOC=∠COD,
又∠COD=60°,
∴∠AOC=60°.
∵OA=OC,
∴△AOC是等边三角形.
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24.1.3 弧、弦、圆心角
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1.(2018河北张家口宣化模拟)如图,AB是☉O的直径,C是 A︵B 的中点,连接 OC,点E,F分别是OA,OC上的点,若EF∥AC,则∠EFC的度数为 ( )
A.45° B.60° C.135° D.160°
答案 C ∵AB是☉O的直径,C是A ︵B 的中点,∴∠AOC=90°.∵OC=OA, ∴△AOC是等腰直角三角形,∴∠ACO=45°.∵EF∥AC,∴∠EFO= ∠ACO=45°,∴∠EFC=180°-45°=135°.故选C.
24.1.3 弧、弦、圆心角
AB CD
(2)如果 A︵B= C︵D,那么∠AOB=∠COD,AB=CD. (3)如果AB=CD,那么∠AOB=∠COD, A︵B= C︵D
示意图
24.1.3 弧、弦、圆心角
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例
(2017黑龙江牡丹江中考)如图24-1-3-1,在☉O中, A︵C
︵
= CB
,CD⊥OA
于D,CE⊥OB于E,求证:AD=BE.
︵
= CD
,
︵
︵
︵
︵
即 AC + BC = BC + BD ,
︵
︵
∴AB=CD, AC = BD ,
∴AC=BD,∠AOC=∠BOD,
∴①②③④都正确.
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24.1.3 弧、弦、圆心角
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2.(2019江苏徐州睢宁月考)如图24-1-3-5所示,AB是☉O直径,直线CM是 AO的垂直平分线,直线DN是OB的垂直平分线,则下列结论正确的是 ()
A.∠AON=∠DOM C.OM=DM
B.AN=DM D.OM=ON
24.1.3 弧、弦、圆心角
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答案 C ∵AB=CD,∴∠AOB=∠DOC.∵OA=OB,OD=OC,OM⊥CD,
ON⊥AB,∴∠AON= 1 ∠AOB,∠DOM= 1 ∠DOC,∴∠AON=∠DOM,故A
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2.如图,AD是☉O的直径,且AD=6,点B,C在☉O上, AM︵ B
︵
= ANC
,∠AOB=120°,
点E是线段CD的中点,连接OE,则OE= ( )
A.1 B. 3 3 C.3 D.2 3
2
24.1.3 弧、弦、圆心角
答案
B
∵ AM︵ B
︵
= ANC
,∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠AOB=120°,