高等流体力学：02-第2讲-高等流体力学基础

z y x z
y x
而右边相乘的结果仍为一微分算子，可对其它函数作微分运算
F
Fx
x
Fy
y
Fz
z
F
(Fy
z
Fz
)i y
(Fz
x
Fx
) z
j
(Fx
y
Fy
)k x
(u) 0
1.2 雷诺输运定理
欧拉法需要对控制体进行分析，而拉格朗日法需要对系统或流体微粒进行分析。但质量 守恒、动量守恒和能量守恒等物理定律是直接应用于系统的。所以我们将物理定律从系统转
Sxy Syy S zy
Sxz Syz S zz
x 1( 2 1(
v x u
u ) y w )
2 z x
1 (v u ) 2 x y
v y 1 (w v ) 2 y z
1 2
( u z
wx )
1 2
(
w y
v z
)
.
w
z
(1-4-4)
由此可以把流场中任何邻近两点速度的变化关系用微团基本运动的组合来表达。
(1-3-1)
或写为
D
Dt
V (t)
dD
V (t)
t
(u)dV
0.
(1-3-2)
dV u nˆdA，
V (t) t
A(t )
(1-3-3)
为积分形式的欧拉型连续性方程。式中 u nˆ dA 为通过微团控制体表面积的物质通量。
A(t )
由于 V(t)是任取的，因此得，
(u) 0 ，
1.3.2 任意物理量的输运
若把 (Q) 看作某一物理量， Q 是单位质量流体的某种动力学物理量，有
D
Dt
(Q)dV
V (t)
V (t)
D(Q) Dt
(Q)( u)dV
V (t)
DQ Dt
Q( D Dt
(
u))dV
DQdV.
V (t) Dt
(1-3-7)
即
D (Q)dV DQdV ,
eyy
y(t t) y(t) v
tx
y
PACB的剪切变形率
u y
yt
v y
B’
yt
2
P’
1
t t C’
A’
v x
xt
u x
x
t
exy
11
2
2t
1v 2x
u y
29
流体微团的三维运动（1）
P点的平移速度 u u,v,w
30
流体微团的三维运动（2）
绕P点的旋转角速度
1w x 2y
v z
;
1u y 2z
梯度 grade 为 变化率最大的方向，其大小为这个最大变化率的数值。散度为向量 A
通过界面 S 的通量并除以对应的微元体的体积 V 。旋度即为最大环量面密度。
读作：Nabla；英文：Hamiltonian
Hamilton算子的性质和运算法则
既是一个矢量，又是一个微分算子，因此兼具矢量和微分的性质
P点的平移速度 (u,v)
P
27
流体微团平面运动分析（2）
绕P点的旋转角速度
1
2
1
2 1v
z
t
2x
u y
u yt y
t t
B’
C’
v yt y
2
P’ 1
A’
v x
xt
u xt x
28
1
v x
t
2
u y
t
流体微团平面运动分析（3）
PA的拉伸变形率
exx
x(t t) x(t) u
tx
x
PB的拉伸变形率
t D ( u ) . Dt t
(1-1-7)
欧拉法和拉格朗日法的区别：
拉格朗日法：描述固定流体质点的运动
——与普通力学描述质点运动的方法相同
x x(a,b,c,t)
u x t
u 2 x a1 t t2
y y(a,b, c,t) z z(a,b, c,t)
v y t
w z t
x x(a,b,c, ) .
(1-1-1)
欧拉法中的 / t 意味着 (x, y, z) 保持不变。A/ 是任意量 A 由随流体微粒运动的观测者
测量的变化速度，即
A DA
Dt
是通常的全导数。它欧拉法和拉格朗日法联系起来。
(1-1-2)
欧拉坐标和拉格朗日坐标下的导数可以通过微分法则联系起来：
u y
v y 1u
x
2z
wz x
u x
x
1u 2y
v x
y
1u 2z
w x
z
u0
zy
y z exx x exy y exz z
35
u u0
zy
y z exx x exy y exz z
v v0
xz
z x eyx x eyy y eyz z
w w0
yx
x y ezx x ezy y ezz z
36
xi
yj
zk
i jk
r
x
y
z
xyz
y z z yi
z x x zj
x y y xk
37
exx exy exz
E
eyx eyy eyz
ezx ezy ezz
E r exx x exy y exz z i eyx x eyy y eyz z j ezx x ezy y ezz z k
38
赫姆霍兹速度分解定理
(1-4-1) (1-4-2)
角转速
z
1 2
( v x
u ) y
x
1 (w 2 y
v ) z
y
1 2
( u z
w) x
角转速度可以写成反对称旋转张量 Ω
0
Ω
1 2
u
z
y
z
y
0 x .
x
0
(1-4-3) (1-4-3a)
变形部分可写成对称变形率张量 S
u
S
S S
xx yx
S zx
图 1-1 任意的流体体积元
让我们考虑任意体积元 V，它在流场中运动并发生变形。流体只通过开放表面进入流 体元。随着流体元的运动，体积依赖性质(如密度)可能在空间和时间上变化。我们可以将 体积依赖性质的变化表示为如下全导数：
D
Dt
QdV
V (t)
lim
1
t 0 t
Q(t
V (t t )
当地加速度 ——场的非定常性
迁移加速度 ——场的非均匀性
1.1.2 关于Hamilton算子
Hamilton 为一矢性算子，它作用于标量 ，则 为梯度，是一个矢量，亦记为 grade ；
作用于矢量 A，则 A 为散度，是一个标量，亦记为 div A；若 A 为张量，则记为 A =Div A； A 为旋度，是一个矢量，记为 rot A 或 curl A。
t
(1-3-4)
为微分形式的欧拉型连续性方程，也可写作
D u 0 .
Dt
(1-3-5)
对于不可压缩流体， D 0 ，即流体微团沿其流动迹线密度保持不变。从而不可压缩流体
Dt
的连续性方程可以写为
u 0 ，或，u v w 0 ， x y z
(1-3-6)
上式也称散度方程。
流动迹线（流线）：在给定时刻，曲 线上每一点的速度都沿着该点处曲线 的切线方向的曲线
高等流体力学
第2讲 高等流体力学基础
1.1 流体运动的描述方法
1.1.1 欧拉法和拉格朗日法
对于直角坐标系，以初始时刻 0 流体微粒的坐标 a (a,b,c) 作为区分微粒的标志，
称为拉格朗日变数。任何时刻 t 、以 (a,b, c) 标记的任意微粒在空间的位置是拉格朗日
变数和时间的函数，即
t)dV
Q(t)dV
V (t)
litm01t
Q(t V (t t )
t)dV
V
(t)
Q(t
t)dV
1
t
Q(t V (t)
t)dV
Q(t)dV
V (t)
上式可以进一步写成更为紧凑的形式
(1-2-2)
D QdV lim 1
Q(t t)dV Q dV
Dt V (t)
t t 0 V (t t )V (t )
t x y z t
式中 为一矢性微分算子，即 Hamilton 算子
ˆi ˆj kˆ 。 x y z
(1-1-4) (1-1-5) (1-1-6)
方程(1-1-5)就是熟悉的全导数公式。特别地，对于物理量速度 u，
u u u u v u w u u (u )u ，
t x y z t 式中， u 是当地加速度， (u )u 为迁移加速度。全导数算子
1.4.2 张量与运动流体的应力
张量是比较一般形式的数，包括标量、向量和更复杂的形式(更高阶的张量)。标量是零
阶张量、只简单地含有一个张量元素；向量是一阶张量，在 K 实数空间中，一个向量有 K
个元素和一个下标。N 阶张量有 K N 个元素和 N-1 个下标。
应力张量 ij 就是一个二阶张量，同样应变张量也是一个二阶张量。由于我们一般在 3
但是，Hamilton算子的运算法则与一般的矢量并不完全相同
如： F F
而：
F GG F
FF
F G GF
F F
Hamiltonian不满足 矢量乘法的交换律！
左边相乘的结果为一矢量或标量，表示对目标函数作微分运算
F Fx Fy Fz x y z
F (Fy Fz )i (Fz Fx ) j (Fx Fy )k
Q t
(Qu)dV
，
(1-2-7)的左边为拉格朗日导数，右边为欧拉导数。
(1-2-7)
1.3 质量输送——连续性方程
1.3.1连续性方程 (continuity equation)
流体运动的连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表现形式。根据质量守恒定律，
D dV 0
Dt V (t)
此即积分形式的拉格朗日型连续性方程。利用雷诺输运方程(1-2-7)，则
w x
;
1v z 2x
u y
1 2
u
31
流体微团的三维运动（3）
相对于P点的变形率
正应变
exx exy exz
E
eyx eyy ezy
ezx ezy ezz
u x
1v u 2x y
1w u 2x z
1u v 2y x
v y
1w v 2y z
1u w 2z x
1v w 2z y
w z
剪应变
32
应变率矩阵：
Dt V (t)
t 0 A(t )
V (t) t
D QdV Q(t)u nˆdA Q dV
Dt V (t)
A(t )
V (t) t
(1-2-5)
定理得证。
利用高斯公式 可以将(1-2-5)写成
Q nˆdA QdV ,
A(t )
V (t)
(1-2-6)
D
Dt
V (t)
QdV
V (t)
Dt V (t)
V (t) Dt
(1-3-8)
它意味着密度 可以帮助全导数算子通过积分号和密度 而直接作用于物理量 Q。
1.4 运动方程
1.4.1 流体微团运动的分解与应变速 率张量
刚体的运动分解定理（理论力学）
刚体的运动可以分解为平移和转动。也就是说，刚 体上任一点的运动速度可以用基点的平移速度和绕 基点的旋转角速度进行表示。
a2
v t
2 y t 2
a3
w t
2z t 2
……
欧拉法：描述空间固定点处流体质点的运动
——以场的观点描述质点的运动
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z,t)
a Du u (u )u Dt t
a1
u t
(u
)u
u u u v u w u t x y z
u u0
r0
流体微团（变形体）的运动如何分解？
平移 旋转 变形
23
流体微团的运动
t t
C’
B’
A’
B
C
P’
y
P
A
x
o
流体微团运动的分解
y x
o
流体微团的平面运动分析
t
B
y
y
P x
o
x
u y
yt
t t
B’
C’
v yt y
C
2
P’ 1
A’
v xt x
u xt x
A
1
v x
t
2
ut y
流体微团平面运动分析（1）
V (t) t
(1-2-3)
系统的体积在运动的过程中是变化的。微分元则可以表示为净流入微元的流体体积：
dV u nˆtdA
式中， u 是流速， nˆ 是单位法向量， dA 是表面积微元。这样(1-2-3)可以写成
(1-2-4)
D QdV lim Q(t t)u nˆdA Q dV
• 应变率矩阵为一实对称矩阵
• ek exx eyy ezz
u v w 常量 xyz
体积膨胀率 ek
u x
v y
w z
x ux y vy z wz
xyz
ek
x
y
z
xyz
33
流体微团运动的分解原理：赫姆霍兹速 度分解定理
u u0
u x
x
u y
y
u z
z
34
u u0
u x
x
u y
y
u z
z
u01Βιβλιοθήκη 2平移u u0旋转
rE r
变形
39
各种基本运动对时间的变率在各方向的分量可表示为：
平移速度 u,v, w。
线变形率
S xx
u x
, S yy
v y , S zz
w z
。
角变形率
S xy
S yx
1 2
( v x
u ) y
1 w v
S yz
S zy
( 2 y
) z
S zx
S xz
1 (u 2 z
w) x
化为控制体。这需要通过所谓雷诺输运定理来完成。我们首先推导一个关于由边界 A(t) 围
城的任意运动体 V(t)的定理。
雷诺输运定理：设 Q(t)是单位体积流体的某种性质，则
d QdV QdV Qu nˆdA 。
dt V (t)
V (t) t
A(t )
nˆ 为边界表面单位法向矢量。
(1-2-1)
A A t A x A y A z 。
t x y z
(1-1-3)
任意量 A 可以认为是 (x, y, z,t) 或是 (a,b,c, ) 的函数。但是根据定义，(x, y, z) 的全导
数为速度的分量
u
x
,
y
,
z
u,
v,
w
。
(1-1-3)成为