《线性代数》期末考试试卷(A卷答案)

《线性代数》期末考试试卷（A 卷答案）

注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分

N =N ⨯

一、本 题 8分

原 式⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11231351

7 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=0472

10

二、本 题 8分

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=100012010411001210)(E A

)(211231001240101120011-=⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝

⎛----→A E

8

⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛----=-2112

31241121A

10

( 用 其 它 方 法 解 对, 给 一 半 分). 三、本 题11分

D =

--1

0003640

22311149

=-640

23114

9

=110

10

四、本 题10分

因 A B ~ ， 存 在 可 逆 矩 阵 P 使P AP B -=1

2

则 '='='''--B P AP P A P ()()1

1

4

记 ()P Q -'=1

， 则 Q P P ---='='1

1

1

[()]­ ， 故 '='-B Q A Q 1

8

即 ''B A ~

10

五、本 题7分

'=αα120, 即α1 与α2 已 正 交

设 有 向 量 为()

X x x x x T =

43

21

， 则080140841=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-X

3

解 得⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1480,410843αα 为 所 求 线 性 无 关 解

8

且αα34,

已 正 交， 故αα12,αα34£, 为 正 交 向 量 组

10

六、本 题 8分

因 211

52110120=-≠， 故43, 1,ααα 线 性 无 关。 4

而αα212=, 故431,,ααα 是 该 向 量 组 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组。 8

线 性 表 出 为：.,,2, 443312

11αααααααα====

10

七、本 题 10分

　００００２２７００２０－２－０　～ ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝

⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛---011112122320111114331

211121 所 以３=)(A R

10

八、本 题10分

方 程 组 有 非 零 解 ⇔=A 0

3

而 A =-55λ 故 当 仅 当 λ=1 时 方 程 组 有 非 零 解。

5

此 时

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000100011A

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=011k X

10

九、本 题10分

二次型矩阵 ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=304010403A

)5)(5)(1(+--=-λλλλE A ， 得特征值：5,1,5321==-=λλλ

当51-=λ时，基础解系⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=2011ξ，单位化：⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=520511p

当12=λ时，基础解系⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0102ξ，本身是单位的：⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=0102p

当53=λ时，基础解系⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=1023ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=510523p 正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=510

5

2010

52051P ，23

222155y y y f ++-=；f 非正定，非负定二次型。 十、本 题 8分

由E A A A A T

==- 1

知1

-=A A T

故

A 可 逆

2

A A A T T T ==- ) ( )(1

5 E A A A A T ==---111 )( 故A -1 也 是 正 交 矩 阵。 10

十、证明下列各题

( 本 大 题10分 )

令,01111=++--s s m m ββ 即0)(11111111=++++----αααs s s s k m k m m m

由s αα,,1 线 性 无 关 知0111111

=++===---s s s k m k m m m

故11,,-s ββ 线 性 无 关。 10