江苏省2019高考数学二轮复习 专题六 应用题达标训练(含解析)

应用题
A 组—-大题保分练
1。

在一个矩形体育馆的一角MAN 内（如图所示）,用长为a 的围栏设置一个运动
器材储存区域，已知B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．
（1)若BC ＝a ＝10，求储存区域△ABC 面积的最大值；
（2)若AB ＝AC ＝10，在折线MBCN 内选一点D ，使DB ＋DC ＝a ＝20，求储存区域四
边形DBAC 面积的最大值．
解：(1)设AB ＝x ，则AC ＝ 错误!，
所以S △ABC ＝错误!x 错误!＝错误!错误!≤错误! 错误!＝错误!×50＝25, 当且仅当x 2
＝100－x 2
,即x ＝52时取等号， 所以S △ABC 取得最大值为25.
(2）由DB ＋DC ＝20知点D 在以B ，C 为焦点的椭圆上．
因为S △ABC ＝错误!×10×10＝50，所以要使四边形DBAC 的面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 必为椭圆短轴顶点．
由BC ＝10错误!得短半轴长为5错误!,所以S △DBC 的最大值为错误!×10错误!×5错误!＝50. 因此四边形DBAC 面积的最大值为100.
2.某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布,经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64<x <100），中间每个桥墩的平均造价为803错误! 万元，桥面每1米
长的平均造
价为错误!万元．
（1)试将桥的总造价表示为x 的函数f （x ）;
(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A ,B 除外）应建多少个桥墩?
解:(1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有错误!个桥墩，于是桥的总造价
f （x ）＝640错误!＋错误!错误!错误!＋100,
即f (x ）＝x 23
＋错误!x -
12－错误!x 12
＋1 380
＝x 32
＋错误!x
-
12－错误!x 12
＋1 380（64<x 〈100)．
（2)由(1）可求f ′(x ）＝错误!x 12
－错误!x -32
－错误!x
-
12,
整理得f ′(x ）＝错误!x
-32
(9x 2
－80x －640×80)，
由f ′（x )＝0,解得x 1＝80，x 2＝－错误!（舍)， 又当x ∈(64，80）时，f ′（x ）〈0； 当x ∈(80，100）时，f ′(x ）>0,
所以当x ＝80时,桥的总造价最低，此时桥墩数为错误!－1＝7. 3．如图所示，有两条道路OM 与ON ，∠MON ＝60°，现要铺设三条下
水管道OA ，
OB ，AB （其中A ，B 分别在OM ，ON 上),若下水管道的总长度为3 km 。

设
OA ＝a km ，OB
＝b km.
（1)求b 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围；
（2)已知点P 处有一个污水总管的接口，点P 到OM 的距离PH 为错误! km ，到点O 的距离PO 为错误! km ，问下水管道AB 能否经过污水总管的接口点P ?若能，求出a 的值，若不能,请说明理由．
解：(1)∵OA ＋OB ＋AB ＝3，∴AB ＝3－a －b . ∵∠MON ＝60°,由余弦定理,得
AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°.
∴(3－a －b ）2
＝a 2
＋b 2
－ab . 整理，得b ＝错误!.
由a 〉0,b 〉0，3－a －b 〉0，及a ＋b 〉3－a －b ，a ＋3－a －b >b ,b ＋3－a －b 〉a ,得0<a 〈3
2。

综上，b ＝2a －3
a －2
，0<a 〈错误!。

(2）以O 为原点，OM 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系． ∵PH ＝错误!，PO ＝错误!， ∴点P 错误!。

假设AB 过点P ，∵A (a ，0）,B 错误!， 即B 错误!，
∴直线AP 方程为y ＝错误!(x －a )，即y ＝错误!（x －a ）． 将点B 代入,得错误!·错误!＝错误!错误!。

化简，得6a 2－10a ＋3＝0。

∴a ＝错误!.
a ＝错误!∈错误!.
答：下水管道AB 能经过污水总管的接口点P ，此时a ＝错误! (km ）．
4．（2018·南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD ,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ,BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b 。

（1）当a ＝90时,求纸盒侧面积的最大值;
(2）试确定a ,b ，x 的值，使得纸盒的体积最大,并求出最大值．
解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600，
故当a＝90时，b＝40，
从而包装盒子的侧面积
S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x）
＝－8x2＋260x，x∈（0,20）．
因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－16.25）2＋2 112。

5，
故当x＝16。

25时,纸盒侧面积最大，最大值为2 112。

5平方厘米．
(2）包装盒子的体积V＝（a－2x)（b－2x）x＝x［ab－2（a＋b)x＋4x2］,x∈错误!，b≤60.
V＝x［ab－2（a＋b）x＋4x2]≤x(ab－4abx＋4x2）
＝x(3 600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3 600x，
当且仅当a＝b＝60时等号成立．
设f(x）＝4x3－240x2＋3 600x,x∈（0,30）．
则f′（x)＝12(x－10)(x－30）．
于是当0＜x＜10时，f′(x)＞0,所以f(x)在(0,10）上单调递增；
当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f(x）在(10,30)上单调递减．
因此当x＝10时，f（x）有最大值f（10）＝16 000，此时a＝b＝60，x＝10。

答:当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米．
B组——大题增分练
1．(2018·常州期末）已知小明（如图中①AB所示）身高1.8米，路灯OM高3。

6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从M发出,小明在地面上的影子记作AB′.
(1）小明沿着圆心为O,半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB′扫过的图形面积；
(2)若OA＝3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1,∠OAA1＝错误!，且AA1＝10米，如图②所示．t秒时，小明在地面上的影子长度记为f（t)（单位：米）,求f（t）的表达式与最小值．
解： (1) 由题意AB∥OM，错误!＝错误!＝错误!＝错误!,OA＝3，所以OB′＝6。

小明在地面上的身影AB′扫过的图形是圆环，其面积为π×62－π×32＝27π(平方米)．
（2) 经过t秒，小明走到了A0处，身影为A0B0′，
由（1)知错误!＝错误!＝错误!,
所以f(t）＝A0B0′＝OA0
＝错误!,
化简得f （t )＝错误!＝ 错误!,0〈t ≤10， 当t ＝错误!时，f (t ）的最小值为错误!.
答：f （t )＝ 错误!，0<t ≤10，当t ＝错误!（秒）时，f (t )的最小值为错误!(米）． 2。

(2018·南通、泰州一调）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长
方形铁皮
ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点,点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形
CDFE 沿直
线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），
再沿直线PE 裁剪．
（1)当∠EFP ＝错误!时，试判断四边形MNPE 的形状,并求其面积；
（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 解：(1)当∠EFP ＝错误!时，由条件得∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝错误!， 所以∠FPE ＝错误!，即FN ⊥BC ,
所以四边形MNPE 为矩形,此时PN ＝FN －PF ＝3－2＝1 （m ），所以四边形MNPE 的面积S ＝PN ·MN ＝2(m 2
）。

（2)法一：设∠EFD ＝θ错误!， 由条件，知∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝θ。

所以PF ＝错误!＝错误!，
NP ＝NF －PF ＝3－错误!，ME ＝3－错误!.
由错误!得错误!
所以四边形MNPE 面积为S ＝错误!(NP ＋ME ）MN ＝错误!错误!×2＝6－错误!－错误! ＝6－错误!－错误!＝6－错误! ≤6－2 错误!＝6－2错误!。

当且仅当tan θ＝错误!,即tan θ＝错误!，θ＝错误!时取“＝”． 此时，(＊)成立．
答：当∠EFD ＝π3时,沿直线PE 裁剪,四边形MNPE 的面积最大，最大值为错误!m 2
.
法二：设BE ＝t m,3〈t <6，则ME ＝6－t . 因为∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ， 所以PE ＝PF ，即 错误!＝t －BP 。

所以BP ＝错误!，
NP ＝3－PF ＝3－PE ＝3－(t －BP ）＝3－t ＋错误!.
由错误!得错误! 所以四边形MNPE 面积为
S ＝错误!(NP ＋ME )MN
＝错误!错误!×2＝错误! ＝6－错误!≤6－2错误!.
当且仅当3
2
(t －3)＝错误!，即t ＝3＋错误!＝3＋错误!时取“＝”。

此时，（＊）成立．
答：当点E 距B 点3＋错误! m 时,沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 的面积最大,最大值为（6－2错误!)m 2
. 3.(2018·扬州期末）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经
测量得,扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ )为错误!、半径为1千米,为了方便菜农经
营,打算在扇形
OPQ 区域外修建一条公路MN ,分别与射线OA ,OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S 。

设∠POS
＝α(单位:弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．
(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； (2） 试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值． 解:(1） 因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ， 所以OS ⊥MN 。

在Rt △OSM 中,因为OS ＝1,∠MOS ＝α， 所以SM ＝tan α.
在Rt △OSN 中,∠NOS ＝2π
3－α,
所以SN ＝tan 错误!，
所以MN ＝tan α＋tan 错误!＝错误!， 其中π
6
〈α〈错误!。

(2) 法一：(基本不等式) 因为错误!<α〈错误!， 所以错误!tan α－1〉0.
令t ＝3tan α－1>0,则tan α＝错误!(t ＋1)， 所以MN ＝错误!错误!.
由基本不等式得MN ≥错误!·错误!＝2错误!， 当且仅当t ＝错误!,即t ＝2时取“＝"．
此时tan α＝错误!,由于错误!〈α〈错误!，故α＝错误!. 答：当α＝错误!时,MN 的长度最小，为2错误!千米． 法二：（三角函数） MN ＝错误! ＝错误!＝错误! ＝错误!.
因为错误!〈α〈错误!，所以错误!〈2α－错误!<错误!, 故错误!〈sin 错误!≤1，
所以当sin 错误!＝1，即α＝错误!时，
MN min ＝错误!＝2错误!。

答：当α＝错误!时，MN的长度最小,为2错误!千米．
4。

如图,某城市有一块半径为1（单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短?
解：法一:如图,分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy，则C（1,1）．设A（a,0），B（0，b)(0＜a＜1，0＜b＜1),则直线AB方程为错误!＋错误!＝1,即bx＋ay－ab＝0。

因为AB与圆C相切，所以错误!＝1.
化简得ab－2(a＋b）＋2＝0，即ab＝2(a＋b）－2。

因此AB＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!.
因为0＜a＜1，0＜b＜1,
所以0＜a＋b＜2,于是AB＝2－(a＋b）．
又ab＝2(a＋b）－2≤错误!2，
解得0＜a＋b≤4－22，或a＋b≥4＋2错误!(舍去）．
所以AB＝2－(a＋b)≥2－（4－2错误!)＝2错误!－2,当且仅当a＝b＝2－错误!时取等号，
所以AB最小值为2错误!－2，此时a＝b＝2－错误!。

故当A，B两点离道路的交点都为2－错误!（百米）时,小道AB最短．
法二：如图,设圆C与道路1，道路2，AB的切点分别为E，F，D，连结CE，CA，CD，CB，CF.
设∠DCE＝θ，θ∈错误!，
则∠DCF＝错误!－θ.
在Rt△CDA中，AD＝tan错误!.
在Rt△CDB中，BD＝tan错误!.
所以AB＝AD＋BD＝tan错误!＋tan错误!
＝tan错误!＋错误!。

令t＝tan错误!，0＜t＜1，
则AB＝f（t）＝t＋错误!＝t＋1＋错误!－2≥2错误!－2，
当且仅当t＝错误!－1时取等号．
所以AB最小值为22－2，此时A,B两点离两条道路交点的距离是1－（2－1）＝2－错误!。

故当A，B两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB最短．。