《数字信号处理》朱金秀第五章习题及参考答案

第五章 习题及参考答案
一、习题
1、求下列序列的Z 变换及收敛域：
（1）)(3n u n -
（2）)1(4----n u n
（3）)(3n u n --
（4）)1(-n δ
（5）)(n δ
（6）)]10()([5---n u n u n
2、求下列序列的Z 变换及其收敛域，并求出零、极点：
（1）)()(3n R n x =
（2）均为常数
、、、式中ϕωβϕωβ00,)()cos()(r n u n r n x n +=
3、已知113z 125z .013
)z (X ---+-=，求)z (X 的反变换x(n)。

4、求下列)z (X 的反变换：
（1）21
|z |,z 4
11z 61-1)z (X 21
>-=--
（2）21
|z |,z
4116z -1)z (X 21
<-=--
5、求下列序列的Z 变换及收敛域：
（1）1||,
)(||<=b b n x n （2）)(3
1)(n u n x n = （3）)1(3
1)(---=n u n x n （4）为常数且ωω0,
)sin()(≥=n n n n x
6、已知,az 11)]n (u a [Z |a ||z |)(41)()(31)(1n 21--=>==时，，且当，n u n x n u n x n n 令)1()3()(21+-*+=n x n x n y ，请利用Z 变换性质求y(n)的Z 变换Y(z)。

7、一个线性移不变因果系统由下列差分方程描述：
)1()2(2)1(3)(-+---=n x n y n y n y
（1）求该系统的系统函数，并指出其收敛域；
（2）求该系统的单位脉冲响应。

8、设系统由下列差分方程描述：
)()2()1(2
5)(n x n y n y n y =-+--
（1）求系统函数H(z)，并求出零、极点；
（2）若限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出单位脉冲响应h(n);
（3）若限定系统是稳定的，写出H(z)的收敛域，并求出单位脉冲响应h(n)。

9、用MATLAB 实现长除法，计算下列X(z)的Z 反变换（取10个点）：
（1）21||,4
11211)(1
1>--
=--z z z z X （2）3||,961311)(211
>+--=---z z z z z X
10、已知133)(2+-=
z z z z X ，用MATLAB 将其展开为部分分式的形式。

11、已知3.0||,)
3.01()3.01(1)(121>+-=
--z z z z X ，用MATLAB 求其Z 反变换。

12、已知差分方程),(2)1(3)(n x n y n y +-=其中)(8.0)(n u n x n =，2)1(=-y
（1）用解析法求y(n);
（2）用MATLAB 求y(n)（取前20个点）。

13、已知一个由下列差分方程表示的线性移不变因果系统：
),(2)1(5.0)(n x n y n y +-= （1）求其系统函数及频率响应；
（2）用MATLAB 画出系统的零、极点分布图；
（3）用MATLAB 画出其幅度响应、相位响应；
（4）求单位脉冲响应。

14、已知一个由下列差分方程表示的时域线性离散移不变稳定系统，输入为x(n),输出为y(n)：
)()1()(2
5)1(n x n y n y n y =++-- 求该系统的单位脉冲响应。

15、已知x(n)=u(n), 10),()(<<=b n u b n y n ,)()()(n y n x n w *=,请利用Z 变换求)(n w 。

二、参考答案
1、（1）
31||,31111>---z z
（2）41||,4111
1<---z z （3）31||,311<-z z （4）∞≤<-||0,1z z
（5）∞≤≤||0,1z
（6）∞≤<------||0,51511110
10z z
z 2、（1）∞≤<--=||0,)
1(1)(23z z z z z X 零点2,1,0,32==k e Z k j k π
极点1,02,1=Z
其中Z=1处的零、极点相互抵消
（2）||,)
1()1()cos(cos )(111000z r z re z re z r z X j j <-⋅---=----ωωϕωϕβ 零点：ϕ
ϕωcos )cos(01-=r Z
极点：02ω
j re Z =，03ωj re Z -=
3、分三种情况：
（1）当收敛域|Z|<0.5时，
)1(]32)21
(3[)(--⋅+⋅-=n u n x n n
（2）当收敛域0.5<|Z|<3时， )1(32)()21
(3)(--⋅-⋅=n u n u n x n n
（3）当收敛域3<|Z|时，
)(]32)21
(3[)(n u n x n n ⋅+⋅=
4、（1）)(])21
(32)21(31
[)(n u n x n n -⋅+⋅=
（2）)1(])21
(213)21(211[)(---⋅-⋅=n u n x n n
5、（1）|
|1
||||,))(1()1()(2b z b b z b z b z b z X <<---=
（2）31
||,3
111)(1>-=-z z z X
（3）31
||,3
111)(1<
-=-z z z X
（4）1||,)cos 21(sin )1()(22121>+--=----z z z z z z X ωω
6、)
4)(31(4)(3
z z z z Y --=
7、（1）2||,)2)(1()(>--=z z z z
z H
（2）)()12()(n u n h n -=
8、（1）)
2)(21
()(2--=z z z z H
零点：00=Z
极点：21
,221==Z Z
（2）|Z|>2,
)()21(31)(234)(n u n u n h n
n ⋅-⋅=
（3）1/2<|Z|<2,
)
1(234
)()21(31)(--⋅-⋅-=n u n u n h n n
9、（1）程序如下：
>>b=[1 -1/2];
a=[1 -1/4];
M=length(b);
N=length(a);
K=10;
b_new=[b,zeros(1,K+N-M-1)]; x=deconv(b_new,a)
（2）程序如下：
>>b=[1 -1/3];
a=[1 -6 9];
M=length(b);
N=length(a);
K=10;
b_new=[b,zeros(1,K+N-M-1)]; x=deconv(b_new,a)
10、211
3130)(---+-+=z z z z X
>>b=[0,3];
a=[1,-3,1];
[R,p,d]=residues(b,a)
11、>>b=1;
a=ploy([0.7,0.7,-0.7]);
[R,p,d]=residues(b,a)
12、（1）)
(24)(]2)8.0[()(11n u n u n y n n n ⋅+-=++
（2）>>b=1;
a=[1,-3];
Y=2;
xic=filtic(b,a,Y)
n=[0:19];
x=0.8.^n;
y=filter(b,a,x,xic)
13、(1)系统函数:
5.0||,5.012
)(1>-=-z z z H
频率响应：
5.02)(-=ωωω
j j j e e e H (2)>>b=[2,0];
a=[1,-0.5];
zplane(b,a)
(3)>>[H,W]=freqz(b,a,200,’whole ’); magH=abs(H);
phaH=angle(H);
subplot(2,1,1);
plot(W/pi,magH);
grid;
xlabel(‘frequency in pi units ’); ylabel(‘Magnitude ’);
title(‘幅度响应’)；
subplot(2,1,2);
plot(W/pi,phaH/pi);
grid;
xlabel(‘frequency in pi units ’); ylabel(‘phase in pi units ’); title(‘相位响应’)；
(4) )()5.0(2)(n u n h n ⋅=
14、)]()21
()1(2[32)(n u n u n h n n +---=
1 )
(
1
n
u b
b
n w
n
-
-
=
+
15、)(
1。