第四章概率论

泊松定理 设随机变量X 设随机变量 n~B(n,pn)，其中 n是与 有关 ，其中p 是与n有关 的数，又设 是常数， 的数，又设λ=npn 是常数，则有
n →∞
lim P( Xn = k) = lim C p (1− pn )
n →∞ k k n k n
n−k
=e
−λ
λ
k!
, k = 0,1,2,⋯
超几何分布 超几何分布 个元素分为两类， 个属于第一类， 设N个元素分为两类，有M个属于第一类， 个元素分为两类 个属于第一类 N-M个属于第二类。现在从中不重复抽 个属于第二类。 个属于第二类 取n个，其中包含的第一类元素的个数 个 其中包含的第一类元素的个数X 的分布律为
k n CMCN−k −M P( X = k) = , n CN
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk = P( X = k) = C p (1− p) , k = 0,1,⋯, n
k n k n−k
pk−1 (1− p)k = ≤1 pk p(n − k −1)
pk (1− p)(k +1) = ≥1 pk+1 p(n − k)
(n +1) p −1 ≤ k ≤ (n +1) p
= 0.9934.
本例 小概率事件虽不易发生，但重 小概率事件虽不易发生， 启示 复次数多了，就成大概率事件. 复次数多了，
由此可见日常生活中“提高警惕, 防火 防盗”的重要性. 由于时间无限, 自然界发生地震、海 啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 事，不用奇怪，不用惊慌. 同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝 症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常 现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而 跳楼自杀.
2 P( X = 2) = C10000(0.0001)2 (1− 0.0001)9998
2! 其 λ = np =1 中
P( X = 2) ≈
λ2e−λ
= 0.1839
几何分布 几何分布 在独立试验序列中， 在独立试验序列中，若一次贝努利试验 中某事件A发生的概率为 发生的概率为P(A)=p，只要事 中某事件 发生的概率为 ， 不发生, 件A不发生 试验就不断地重复下去，直 不发生 试验就不断地重复下去， 到事件A发生，试验才停止。设随机变量 到事件 发生，试验才停止。 发生 X为直到事件 发生为止所需的试验次数， 为直到事件A发生为止所需的试验次数 为直到事件 发生为止所需的试验次数， X的概率分布为 的概率分布为
• 0
x
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 2 4 6 8
设 X ~ B(20,0.2) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 P
0.22
•
由图表可见 , 当 k = 4 时， 分布取得最大值
定理的条件λ=npn意味着当 n很大时，pn 很大时， 定理的条件 很大时 必定很小。因此，泊松定理表明， 必定很小。因此，泊松定理表明，当n很 很 大，p 很小时有以下近似式： 很小时有以下近似式：
C p (1− p)
k n k
n−k
≈
λe
k −λ
k!
例 若一年中某类保险者里面每个人死亡的 概率为0.002，现有 概率为 ，现有2000个这类人参加人寿 个这类人参加人寿 保险。参加者交纳24元保险金 元保险金， 保险。参加者交纳 元保险金，而死亡时保 险公司付给其家属5000元赔偿费。计算“保 元赔偿费。 险公司付给其家属 元赔偿费 计算“ 险公司亏本” 险公司亏本”和“保险公司盈利不少于 10000元”的概率。 元 的概率。 解：X:一年内死亡的人数 一年内死亡的人数 X~B(2000,0.002) 亏本——5000X>48000——X>9 亏本 盈利不少于10000元 元 盈利不少于 ——48000-5000X≥10000——X≤7
P (k) = P( X = k) = C ( ) (1− ) , k = 0,1,⋯,8 8
k 1 k 3 8 1 8−k 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 P
0.273•
由图表可见 , 当 k = 2或3 时， 分布取得最大值 P (2) = P (3) = 0.273 8 8 此时的 k 称为最可能成功次数 • 1 • • • • • 2 3 4 5 6 • 7 • 8
x −100 Ce , f (x) = 0,
x > 0, x ≤ 0.
(1) 确定常数 确定常数C; (2)寿命超过 小时的概率； 寿命超过100小时的概率 小时的概率； 寿命超过 (3)已知该元件已正常使用 小时，求 已知该元件已正常使用200小时 小时， 已知该元件已正常使用 它至少还能正常使用100小时的概率。 小时的概率。 它至少还能正常使用 小时的概率
P (4) = 0.22 20
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
0.2 0.15 0.1 0.05
5
10
15
20
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
若P( X = k) ≥ P( X = j), j = X 可 的 切 取 一 值
其中,λ>0为常数 则称 服从参数为 的指 为常数,则称 服从参数为λ的 其中 为常数 则称X服从参数为 数分布,记作 记作X~E[λ]. 数分布 记作
− e−λx , 1 F(x) = 0, x > 0, x ≤ 0.
λ
某电子元件的使用寿命X是一个连续 例 某电子元件的使用寿命 是一个连续 型随机变量， 型随机变量，其概率密度为
几种常见的离散型随机变量的分布 二项分布 若随机变量X的概率分布为 若随机变量 的概率分布为
k P (k) = P( X = k) = Cn pk qn−k , n
k = 0,1,2,..., n;0 < q =1− p <1,
服从参数为n和 的二项分布， 称X服从参数为 和p的二项分布，记作 服从参数为 X~B(n, p)。 。
( (n +1) p或 n +1) p −1, k0 = [(n +1) p],
(n +1) p是 数 整 (n +1) p不 整 是 数
独立射击5000次, 命中率为0.001, 例 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率. 解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P( X > 9) =1− P( X ≤ 9) =1− ∑P( X = k) =0.0081
k =0
9
P( X ≤ 7) = ∑P( X = k) =0.9489
k =0
7
用泊松定理近似计算！ 用泊松定理近似计算！
设生三胞胎的概率为0.0001 ，求在 例 设生三胞胎的概率为 10000次生育中恰有 次三胞胎的概率。 次生育中恰有2次三胞胎的概率 次生育中恰有 次三胞胎的概率。 解：X:生三胞胎的次数 生三胞胎的次数 X~B(10000,0.0001)
C p (1− p )
k n k n−k
≈e
−λ
λ
k
k!
,
k = 0,1,2,⋯
几种常见的离散型随机变量的分布 泊松分布 若随机变量X的概率分布为 若随机变量 的概率分布为
P( X = k) = e
−λ
λ
k
k!
,
k = 0,1,2,...,
其中常数λ>0,则称 服从参数为 的泊松 则称X服从参数为 其中常数 则称 服从参数为λ的 分布，记作X~P(λ). 分布，记作
P( X = k) = (1− p)k−1 p, k =1,2,..., 则称X服从参数为 服从参数为p的几何分布， 则称 服从参数为 的几何分布，记作 X~G(p).
某射手连续向一目标射击， 例 某射手连续向一目标射击，直到命 中为止， 中为止，已知他每发命中的概率是 0.4，求： ， 所需射击发数X 的概率分布. (1) 所需射击发数 的概率分布 至少需要n次才能射中目标的概率。 (2)至少需要n次才能射中目标的概率。 X~G(0.4)
几种常见的连续型随机变量的分布 常见的连续型随机变量的分布 正态分布 正态分布 若随机变量X的概率密度为 若随机变量 的概率密度为
0 n 0 n−0
=1− 0.9 ≥ 0.9
n
n ≥ 22.
例 某车间有5台车床，由于种种原因 某车间有 台车床， 台车床 （由于装、卸工作等），时常需要停车。 由于装、卸工作等），时常需要停车。 ），时常需要停车 设各台车床的停车或开车是相互独立的。 设各台车床的停车或开车是相互独立的。 若车床在任一时刻处于停车状态的概率 是1/3，求车间中恰有一台车床处于停车 ， 状态的概率。 状态的概率。 解：X:处于停车状态的车床数 处于停车状态的车床数 X~B(5,1/3)
0000rrxxexrxrr?????????其中则称服从阶爱尔朗分布?当r为正整数时?当rn2n为正整数时1222210x220000nxnxexnxrn??????????其中则称服从个自由度的分布12?抽样分布?t分布12212x12nnxnnnnn??则称服从具有个自由度的t分布简记为t?f分布11121211122212221212210x2200ffnnnnnnnnxxxnnnnxnnnn??????????则称服从具有第一个自由度为第二个自由度为的分布简记为
一随机数字序列要有多长才能使0至 例 一随机数字序列要有多长才能使 至 少出现一次的概率不小于0.9? 少出现一次的概率不小于 长度为n的随机数字序列中 解：X:长度为 的随机数字序列中 的个数 长度为 的随机数字序列中0的个数 X~B(n,0.1)
P( X ≥1) =1− P( X = 0) =1− C ⋅ 0.1 ⋅ 0.9
几种常见的连续型随机变量的分布 常见的连续型随机变量的分布 均匀分布 若随机变量X的概率密度为 若随机变量 的概率密度为
1 , f (x) = b − a 0, a ≤ x ≤ b, 其他 ,
则称X服从区间 上的均匀分布 则称 服从区间[a,b]上的均匀分布 记作 服从区间 上的均匀分布,记作 X~U[a,b].
k = 0,1,..., l,
其中n≤N，M<N，l=min{n,M},n,N,M均 ， 其中 ， 均 为正整数，则称X服从参数为 服从参数为N,M,n的超 为正整数，则称 服从参数为 的 几何分布，记作X~H(N,M,n). 几何分布，记作
某班有学生20名 其中有5名女生 名女生， 例 某班有学生 名，其中有 名女生， 今从班上任选4名学生去参观展览， 今从班上任选 名学生去参观展览， 名学生去参观展览 求被选到的女同学人数X的分布律。 求被选到的女同学人数 的分布律。 的分布律 X~H(20,5,4)
问题 如何计算 P( X ≥ 2500)？
Possion定理 定理 设 npn = λ > 0 , 则对固定的 k
limC p (1− pn )
n→ ∞ k n k n n−k
k! k = 0,1 2,⋯ ,
=e
λk −λ
Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np = λ适中, 则可以用近似公式
P (5) = C (0.001) (0.999) 5000 ≈ 0.1756
5 5000 5
4995
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P( X ≥1) =1− P( X <1) =1− P( X = 0)
=1−C
0 5000
(0.001) (0.999)
0
50Hale Waihona Puke Baidu0
1 2 P( X =1) = C ⋅ ⋅ = 0.3292 3 3
1 5
1
4
设射手每一次击中目标的概 率为p，现连续射击n次 率为 ，现连续射击 次， 击中次数最大可能是多少？ 击中次数最大可能是多少？
二项分布的取值情况 设 X ~ B(8, 13 )
x < a, 0, x − a , a ≤ x < b, F(x) = b − a x ≥ b. 1,
几种常见的连续型随机变量的分布 常见的连续型随机变量的分布 指数分布 指数分布 若随机变量X的概率密度为 若随机变量 的概率密度为
λe−λx , f (x) = 0, x > 0, x ≤ 0,
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p ≠ 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称