第2章 图形的轴对称 单元测试卷 2021-2022学年青岛版数学八年级上册

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2021-2022学年青岛新版八年级上册数学《第2章图形的轴对
称》单元测试卷
一.选择题
1.如图,已知点P到AE、AD、BC的距离相等,下列说法:
①点P在∠BAC的平分线上;
②点P在∠CBE的平分线上;
③点P在∠BCD的平分线上;
④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上.
其中正确的是()
A.①②③④B.①②③C.④D.②③
2.下列四句话中的文字有三句具有对称规律,其中没有这种规律的一句是()A.上海自来水来自海上B.有志者事竟成
C.清水池里池水清D.蜜蜂酿蜂蜜
3.如图,用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案,它的一种数学美体现在蝴蝶图案的()
A.轴对称性B.用字母表示数
C.随机性D.数形结合
4.已知:点P(﹣2,4),与点P关于x轴对称的点的坐标是()A.(﹣2,﹣4)B.(2,﹣4)C.(2,4)D.(4,﹣2)5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,点C的坐标为(4,1),则点B的坐标为()
A.(﹣2,1)B.(﹣3,1)C.(﹣2,﹣1)D.(2,1)
6.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a,则纸片的剩余部分的面积为()
A.5a B.4a C.3a D.2a
7.如图,已知点D是等边三角形ABC中BC的中点,BC=2,点E是AC边上的动点,则BE+ED的和最小值为()
A.B.C.3D.
8.如图,四边形ABCD中,AB=AD,点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上,若∠BAD =100°,则∠ACB的度数为()
A.40°B.45°C.60°D.80°
9.某台球桌为如图所示的长方形ABCD,小球从A沿45°角击出,恰好经过5次碰撞到达B处.则AB:BC等于()
A.1:2B.2:3C.2:5D.3:5
10.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形.如图②,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,EF为折痕,则∠ACE的正弦值为()
A.B.C.D.
二.填空题
11.如图所示,选择适当的方向击打白球,可以使白球反弹后将红球撞入袋中,此时∠1=∠2,并且∠2+∠3=90°如果红球与洞口连线和台球桌面边缘夹角∠3=30°,那么∠1=,才能保证红球能直接入袋.
12.如图,AD是△ABC的对称轴,点E,F是AD的三等分点,若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.
13.在平面直角坐标系中,点P(﹣3,﹣5)关于x轴对称的点的坐标是.14.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,则DE的长为.
15.如图,△ABC与△A′B′C′关于直线对称,则∠B的度数为.
16.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,一发光电子开始置于AB边的点P处,并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞,将发光电子沿着PR方向发射,碰撞到矩形的边时均反射,每次反射的反射角和入射角都等于45°,当发光电子与矩形的边碰撞2020次后,它与AB边的碰撞次数是.
17.如图,点A、B的坐标分别为(0,3)、(4,6),点P为x轴上的一个动点,若点B 关于直线AP的对称点B′恰好落在坐标轴上,则点B′的坐标为.
18.如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP=8,则△PMN的周长的最小值=.
19.如图,长方形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.点E是BC边上一点,连接AE并将△AEB沿AE折叠,得到△AEB′,以C,E,B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为cm.
20.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.
三.解答题
21.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若S
=9,DE=2,AB=5,求AC的长.
△ABC
22.已知P(a+1,b﹣2),Q(4,3)两点.
(1)若P,Q两点关于x轴对称,求a+b的值
(2)若点P到y轴的距离是3,且PQ∥x轴,求点P的坐标.
23.如图,在平面直角坐标系中有一个轴对称图形,A(3,﹣2),B(3,﹣6)两点在此图形上且互为对称点,若此图形上有一个点C(﹣2,+1).
(1)求点C的对称点的坐标.
(2)求△ABC的面积.
24.一个台球桌的桌面PQRS如图所示,一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ,碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS,碰着RS上的点C便反弹而滚向点D.已知PQ∥RS,AB,BC,CD都是直线,且∠ABC的平分线BN⊥PQ,∠BCD的平分线CM⊥RS.求证:CD∥AB.
25.如图,长方形台球桌ABCD上有两个球P,Q.
(1)请画出一条路径,使得球P撞击台球桌边AB反弹后,正好撞到球Q;
(2)请画出一条路径,使得球P撞击台球桌边,经过两次反弹后,正好撞到球Q.
26.如图,O为△ABC内部一点,OB=3,P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点.
(1)请指出当∠ABC在什么角度时,会使得PR的长度等于7?并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由.
(2)承(1)小题,请判断当∠ABC不是你指出的角度时,PR的长度是小于7还是会大于7?并完整说明你判断的理由.
27.如图,直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线l2与直线l1关于x轴对称,已知直线l1的解析式为y=x+3,
(1)求直线l2的解析式;
(2)过A点在△ABC的外部作一条直线l3,过点B作BE⊥l3于E,过点C作CF⊥l3于F,请画出图形并求证:BE+CF=EF;
(3)△ABC沿y轴向下平移,AB边交x轴于点P,过P点的直线与AC边的延长线相交
于点Q,与y轴相交于点M,且BP=CQ,在△ABC平移的过程中,①OM为定值;②MC为定值.在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.
参考答案与试题解析
一.选择题
1.解:∵点P到AE、AD、BC的距离相等,
∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;
点P在∠CBE的平分线上,故②正确;
点P在∠BCD的平分线上,故③正确;
点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上,故④正确,
综上所述,正确的是①②③④.
故选:A.
2.解:A、上海自来水来自海上,可将“水”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;
B、有志者事竟成,五字均不相同,所以不对称,故本选项正确;
C、清水池里池水清,可将“里”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误;
D、蜜蜂酿蜂蜜,可将“酿”理解为对称轴,对折后重合的字相同,故本选项错误.
故选:B.
3.解:用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案,它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性.故选:A.
4.解:与点P(﹣2,4)关于x轴对称的点的坐标是(﹣2,﹣4).
故选:A.
5.解:∵△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称,
∴C,B关于直线m对称,即关于直线x=1对称,
∵点C的坐标为(4,1),
∴=1,
解得:x=﹣2,
则点B的坐标为:(﹣2,1).
故选:A.
6.解:如图所示:
将正六边形可分为6个全等的三角形,
∵阴影部分的面积为2a,
∴每一个三角形的面积为a,
∵剩余部分可分割为4个三角形,
∴剩余部分的面积为4a.
故选:B.
7.解:作B关于AC的对称点B′,连接BB′、B′D,交AC于E,此时BE+ED=B′E+ED =B′D,根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值,
∵B、B′关于AC的对称,
∴AC、BB′互相垂直平分,
∴四边形ABCB′是平行四边形,
∵三角形ABC是边长为2,
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴AD=,BD=CD=1,BB′=2AD=2,
作B′G⊥BC的延长线于G,
∴B′G=AD=,
在Rt△B′BG中,
BG==3,
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2,
在Rt△B′DG中,BD=.
故BE+ED的最小值为.
故选:B.
8.解:如图,连接AB',BB',过A作AE⊥CD于E,
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上,
∴AC垂直平分BB',
∴AB=AB',
∴∠BAC=∠B'AC,
∵AB=AD,
∴AD=AB',
又∵AE⊥CD,
∴∠DAE=∠B'AE,
∴∠CAE=∠BAD=50°,
又∵∠AEC=90°,
∴∠ACB=∠ACB'=40°,
故选:A.
9.解:先作出长方形ABCD,小球从A沿45度射出,到BC的点E,AB=BE.从E点沿于BC成45度角射出,到AC边的F点,AE=EF.
从F点沿于AD成45度角射出,到CD边的G点,DF=DG.
从G沿于DC成45度角射出,到BC边的H点,HF垂直于AD.GC=CH=从H点沿于CB成45度角射出,到AC边的M点,EM垂直于AD,
从M点沿于CA成45度角射出,到B点,
看图是2个半以AB为边长的正方形,
所以1:2.5=2:5.
故选:C.
10.解:∵△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,设AB=2a,∴AC=a,BC=a;
∵△ABD是等边三角形,
∴AD=AB=2a;
设DE=EC=x,则AE=2a﹣x;
在Rt△AEC中,由勾股定理,得:(2a﹣x)2+3a2=x2,解得x=;
∴AE=,EC=,
∴sin∠ACE==.
故选:B.
二.填空题
11.解:∵∠2+∠3=90°,∠3=30°,
∴∠2=60°
∵∠1=∠2,
∴∠1=60°.
故答案为:60°.
12.解:∵S
△ABC
=12cm2,AD是△ABC的对称轴,点E,F是AD的三等分点,∴阴影部分面积=12÷2=6(cm2).
故答案为:6.
13.解:点P(﹣3,﹣5)关于x轴对称的点的坐标是:(﹣3,5).故答案为:(﹣3,5).
14.解:∵在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF,
∴S
△ABC =S
△ABD
+S
△ACD
=AB•DE+AC•DF,
∵△ABC面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,
∴×20DE+×8DF=10DE+4DF=14DE=28,解得DE=2cm.
故答案为:2cm.
15.解:∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,
∴∠C=∠C′=40°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C
=180°﹣40°﹣35°
=105°.
故答案为:105°
16.解:如图以AB为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,
根据图形可以得到:每6次反弹为一个循环组依次循环,经过6次反弹后动点回到出发点(6,0),且每次循环它与AB边的碰撞有2次,
∵2020÷6=336…4,
当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹,点P的坐标为(2,0),∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+2=674(次),
故答案为:674.
17.解:如图1,当AB⊥AP,设直线AB的解析式为:y=kx+b,
则,
解得:,
则y=x+3,
当y=0时,x=﹣4,
故B′(﹣4,0),
如图2,当B与B″关于直线AP对称,
∵A(0,3)、B(4,6),
∴AB==5,
∴AB″=5,
∴B″(0,8);
如图3,当B与B″′关于直线AP对称,则AB=AB″′,
故AB=AB″′=5,
则B″′(0,﹣2),
综上所述,点B′的坐标为:(﹣4,0),(0,﹣2),(0,8).故答案为:(﹣4,0),(0,﹣2),(0,8).
18.解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,
∴OC=OD=OP=8cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=8.
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8.
故答案为:8.
19.解:①∠B′EC=90°时,如图1,∠BEB′=90°,
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=×90°=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴BE=AB=6cm;
②∠EB′C=90°时,如图2,
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°,
∴A、B′、C在同一直线上,
AB′=AB,BE=B′E,
由勾股定理得,AC===10cm,
∴B′C=10﹣6=4cm,
设BE=B′E=x,则EC=8﹣x,
在Rt△B′EC中,B′E2+B′C2=EC2,
即x2+42=(8﹣x)2,
解得x=3,
即BE=3cm,
综上所述,BE的长为3或6cm.
故答案为:3或6.
20.解:如图:,
过点A作AD⊥BC于点D,
∵△ABC边AB=AC=10,BC=12,
∴BD=DC=6,
∴AD=8,
如图①所示:
可得四边形ACBD 是矩形,则其对角线长为:10,
如图②所示:AD =8,
连接BC ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,
则EC =8,BE =2BD =12,
则BC =4,
如图③所示:BD =6,
由题意可得:AE =6,EC =2BE =16,
故AC ==2,
故答案为:10,2,4.
三.解答题
21.解:∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F ,
∴DF =DE =2.
又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,AB =5,
∴9=×5×2+×AC ×2,
∴AC =4.
22.解:(1)∵P ,Q 两点关于x 轴对称,
∴a +1=4,b ﹣2=﹣3,
∴a =3,b =﹣1,
∴a +b =3﹣1=2;
(2)∵点P 到y 轴的距离是3,
∴点P 的横坐标为3或﹣3,
又∵PQ ∥x 轴,
∴点P 的纵坐标为3,
∴P (3,3)或(﹣3,3).
23.解:∵A 、B 关于某条直线对称,且A 、B 的横坐标相同,
∴对称轴平行于x 轴,
又∵A 的纵坐标为﹣2,B 的纵坐标为﹣6,
∴故对称轴为y ==﹣4,
∴y =﹣4.
则设C(﹣2,1)关于y=﹣4的对称点为(﹣2,m),
于是=﹣4,
解得m=﹣9.
则C的对称点坐标为(﹣2,﹣9).
(2)如图所示,S
=×(﹣2+6)×(3+2)=10.
△ABC
24.证明:∵PQ∥RS,CM⊥RS,BN⊥PQ,
∴CM∥BN,
∴∠MCB=∠NBC,
∵CM平分∠BCD,BN平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠NBC,∠DCB=2∠MCN,
∴∠ABC=∠DCB,
∴CD∥AB.
25.解:(1)如图,运动路径:P→M→Q,点M即为所求.(2)如图,运动路径:P→E→F→Q,点E,点F即为所求.
26.解:(1)如图,∠ABC=90°时,PR=7.
证明如下:连接PB、RB,
∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点,∴PB=OB=3,RB=OB=3,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°,
∴点P、B、R三点共线,
∴PR=2×3=7;
(2)PR的长度是小于7,
理由如下:∠ABC≠90°,
则点P、B、R三点不在同一直线上,
∴PB+BR>PR,
∵PB+BR=2OB=2×3=7,
∴PR<7.
27.解:(1)∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A(﹣3,0),B(0,3),
∵直线l2与直线l1关于x轴对称,
∴C(0,﹣3)
∴直线l2的解析式为:y=﹣x﹣3;
(2)如图.BE+CF=EF.
∵直线l2与直线l1关于x轴对称,
∴AB=AC,
∵l1与l2为象限平分线的平行线,
∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形,
∴∠EBA=∠FAC,
∵BE⊥l3,CF⊥l3
∴∠BEA=∠AFC=90°
∴△BEA≌△AFC
∴BE=AF,EA=FC,
∴BE+CF=AF+EA=EF;
(3)①对,OM=3
过Q点作QH⊥y轴于H,直线l2与直线l1关于x轴对称∵∠POB=∠QHC=90°,BP=CQ,
又∵AB=AC,
∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ,
则△QCH≌△PBO(AAS),
∴QH=PO=OB=CH
∴△QHM≌△POM
∴HM=OM
∴OM=BC﹣(OB+CM)=BC﹣(CH+CM)=BC﹣OM ∴OM=BC=3.
21。

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