2023-2024学年北京市海淀区清华大学附属中学九年级上学期开学摸底数学试卷含详解

初三年级9月阶段性测试数学
一．选择题（本大题共24分，每小题3分）
1.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底全国共有共青团员7358万．数据73580000用科学记数法表示为（）
A.7
7.35810⨯ B.3
7.35810⨯ C.4
7.35810⨯ D.6
7.35810⨯2.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
A. B. C. D.
3.如果1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，则3∠与1∠的关系是（）
A.31
∠=∠ B.3901
∠=︒+∠ C.3901
∠=︒-∠ D.31801
∠=︒-∠4.已知实数a ，b 满足11a b +>+，则下列选项错误的是（）
A.a b
> B.a b
->- C.22a b ->- D.22a b
>5.下列多边形中，内角和等于外角和的是（）
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
6.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（）
A.4
B.2
C.1
D.1
-7.小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（）
A.0
B.1
C.
12
D.
13
8.如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则下列结论错误的是（
）
A.AB =
B.90BAC ∠=︒
C.ABC 的面积为10
D.点A 到直线BC 的距离是2
二．填空题（本大题共24分，每小题3分）
9.
有意义，则x 的取值范围是______．
10.已知a ，b 为两个连续整数，a b <
<，则a b +=______．
11.分解因式：3244x x x -+=_________．12.方程
21
2x x
=+的解是_______．13.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名树中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
视力 4.7以下
4.7
4.8
4.9
5.0
5.0以上
人数
98
96
86
95
82
43
根据抽样调查结果，估计该地区20000名初中学生视力不低于4.9的人数为______．
14.如图，在32⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC ∠=______︒．
15.点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数243y x x =-+的图象上．若为12y y <，写出一个符合条件的整数a 的值
______．
16.21C 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为,,a b c （a b c >>，且,,a b c 均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小菲a
26
小冬b
c
12小敏
b
10
根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为______分，小敏恰有______轮获得第二名．
三．解答题（本题共72分，第17－
22题，每小题5分，第23－24
题，每小题6分，第25－26题，每小题7分，第27－28题，每小题8分）
17.计算()2
01312π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
．
18.解不等式组()2112323x x x x ⎧-≤+⎪
⎨++≥⎪⎩
．
19.已知2210x x +-=，求代数式()()()2
112x x x -+++的值．
20.如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，
点E 和点F 分别在直线AD 的两侧，且AE DF =，A D ∠=∠，AB CD =．
（1）求证：四边形BECF 是平行四边形；
（2）若90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，当AB =_______时，四边形BECF 是菱形．
21.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和21=块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：______．②解这个方程得，x =______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重④最终可求得：大象的体重为______斤．
22.在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,3，()0,2．（1）求这个函数的解析式；
（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数
()0y nx n =≠的值小于函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．
23.如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 在x 轴上方时，直接写出m 的取值范围；
（3）若抛物线在点P 右侧部分（含点P ）的最高点的纵坐标为1--m ，求m 的值．
24.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这10个部门中随机抽取了A ，B 两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a ．A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：02x ≤<，24x ≤<，46x ≤<，68x ≤<，810x ≤<，1012x ≤≤）
；
b ．A 部门每日餐余重量在68x ≤<这一组的是：6.1 6.67.07.07.07.8
c ．B 部门每日餐余重量如下：第1周
1.
4
2.8 6.97.8 1.9第2周 6.9 2.67.5
6.
9
9.5第3周9.7 3.1 4.6 6.910.8第4周
7.8
8.4
8.3
9.4
8.8
d ．A ，B 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数
众数A 6.4m
7.0
B
6.6
7.2
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m ，n 的值，m ＝______，n ＝______；
（2）在A ，B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是______（填“A ”或“B ”），理由是______．（3）结合A ，B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量为______千克；
（4）食堂工作人员从B 部门第1周和第2周各抽查一日餐余重量，两日餐余重量刚好都是n 的概率是______．25.2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系xOy ，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是3m ，韩旭进行了两次投篮训练．
（1）第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 0
1
2
34…竖直高度y /m
2.0
3.0 3.6 3.8
3.6
…
①在平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______m ，并求y 与x 满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离5m ，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
（2）第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系()2
3 4.25y a x =-+，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d _____5（填“>”，“=”或“<”）．
26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
2
220y mx m x m =-+≠与y 轴交于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对
称点为点B ．
（1）求B 点的横坐标（用含m 的式子表示）；
（2）已知点(22)(02)P m Q m ++，，
，，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．27.如图1，E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），F 为DE 中点，作EG BC ⊥于G ，连接AF ，
FG ．
（1）直接写出线段
AF 与FG 的数量关系和位置关系，不必证明；
（2）将BEG 绕点B 逆时针旋转α（090α︒<<︒）．
①如图2，若045α︒<<︒，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
②如图3，若4590α︒<<︒，连接AE 且满足AE EG ⊥，直接用等式表示线段EA ，AF ，EG 之间的数量关系，不必证明．
28.在平面直角坐标系中，对于点(),P a b ，(),Q c d ，当0c ≥时，将点P 向右平移c 个单位，当0c <时，将点P 向左平移c -个单位，得到点P '，再将点P '关于直线y d =对称得到点M ，我们称点M 为点P 关于点Q 的跳跃点．
例如，如图1，已知点()1,3P ，()3,2Q ，点P 关于点Q 的跳跃点为()41M ，
．
（1）已知点()31A ，，()22B ，
，①若点C 为点A 关于点B 的跳跃点，则点C 的坐标为______．②若点A 为点B 关于点C 的跳跃点，则点C 的坐标为______．
（2）已知点D 在直线2y x =上，点D 的横坐标为m ，点E 的坐标为()03m ，
．①点K 为点E 关于点D 的跳跃点，若DKO △的面积为4，直接写出m 的值；
②点E 向上平移1个单位得到点F ，以EF 一边向右作正方形EFGH ，点R 为正方形EFGH 的边上的一个动点，在运动过程中，直线2y x =上存在点D 关于点R 的跳跃点，请直接写出m 的取值范围．
初三年级9月阶段性测试数学
一．选择题（本大题共24分，每小题3分）
1.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底全国共有共青团员7358万．数据73580000用科学记数法表示为（）
A.77.35810⨯
B.3
7.35810⨯ C.4
7.35810⨯ D.6
7.35810⨯【答案】A
【分析】根据科学记数法的一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．
【详解】解：7735800007.35810=⨯，故选：A ．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义对每个选项进行判断即可．【详解】A 项是轴对称图形，不是中心对称图形；B 项是中心对称图形，不是轴对称图形；C 项是中心对称图形，不是轴对称图形；D 项是中心对称图形，也是轴对称图形；故选：D ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，掌握知识点是解题关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.如果1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，则3∠与1∠的关系是（）
A.31∠=∠
B.3901
∠=︒+∠ C.3901
∠=︒-∠ D.31801
∠=︒-∠【答案】B
【分析】根据1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，可得1290∠+∠=︒①，23180∠+∠=︒②，通过求差，可得3∠与
1∠的关系．
【详解】解：∵1∠与2∠互余，2∠与3∠互补，∴1290∠+∠=︒①，23180∠+∠=︒②，②-①得，311809090∠-∠=︒-︒=︒，变形为：3901∠=︒+∠，故选：B ．
【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．4.已知实数a ，b 满足11a b +>+，则下列选项错误的是（）
A.a b >
B.a b
->- C.22
a b ->- D.22a b
>【答案】B
【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：∵11a b +>+，
∴a b >，则a b -<-，22a b ->-，22a b >，
故选项A 、C 、D 正确，不符合题意，选项B 错误，符合题意．故选：B ．
【点睛】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．5.下列多边形中，内角和等于外角和的是（）
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【答案】B
【分析】设多边形的边数为n ，根据多边形的内角和公式()2180n -⋅︒和多边形的外角和为360︒列方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n ，根据题意，得()2180360n -⋅︒=︒，解得4n =，即这个多边形是四边形，故选：B ．
【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．6.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（）
A.4
B.2
C.1
D.1
-【答案】D
【分析】根据判别式的意义得到2140m ∆=->，然后解关于m 的不等式，最后对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得2140m ∆=->，解得：1
4
m <，四个选项中符合要求的只有1-，故D 正确．故选：D ．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0
∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．7.小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（）
A.0
B.1
C.
12
D.
13
【答案】C
【分析】根据概率的意义判断即可．
【详解】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：1
2，故选：C ．
【点睛】本题考查了概率的意义和计算，抛一枚质地均匀的硬币时，每次正面朝上和反面朝上的概率都是相同的．8.如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则下列结论错误的是（
）
A.AB =
B.90BAC ∠=︒
C.ABC 的面积为10
D.点A 到直线BC 的距离是2
【答案】C
【分析】根据勾股定理可判断A ；根据勾股定理的逆定理可判断B ；求出AC ，AB ，根据三角形的面积公式可判断C ；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D ．
【详解】解：A ．由勾股定理得：AB =
=A 正确，不符合题意；
B ．∵222125A
C =+=，2222420AB =+=，2223425BC =+=，∴222AC AB BC +=，
∴90BAC ∠=︒，故B 正确，不符合题意；
C ．∵90BAC ∠=︒，
AC ==
，AB =
∴11522
ABC S AC AB =⋅==△，故C 错误，符合题意；D ．设点A 到直线BC 的距离为h ，
∵5BC ==，∴152
ABC S BC h =⋅=△，∴2h =，即点A 到直线BC 的距离是2，故D 正确，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．
二．填空题（本大题共24分，每小题3分）
9.
有意义，则x 的取值范围是______．
【答案】5
x ≥【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可．
有意义，∴50x -≥，
∴5x ≥．
故答案为：5x ≥．
)0a ≥的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.已知a ，b
为两个连续整数，a b <
<，则a b +=______．
【答案】3
【分析】根据无理数的估算求得12<<，进而求得a 、b 可求解．
【详解】解：∵12<<，a ，b 为两个连续整数，
∴1a =，2b =，
∴123a b +=+=，
故答案为：3．
【点睛】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到a 、b 值是解答的关键．
11.分解因式：3244x x x -+=_________．
【答案】()2
2x x -【分析】先提取公因式x ，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：()()2
32244442x x x x x x x x -+=-+=-，故答案为：()2
2x x -【点睛】此题考查了分解因式，熟练掌握综合应用提公因式和公式法是解题的关键．
12.方程212x x
=+的解是_______．【答案】x =2
【详解】解：方程的两边同乘x （x +2），得2x =x +2，
解得x =2．
检验：把x =2代入x （x +2）=8≠0．
∴原方程的解为：x =2．
故答案为：x =2．
13.为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区500名树中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力
4.7以下 4.7 4.8 4.9
5.0 5.0以上人数989686958243
根据抽样调查结果，估计该地区20000名初中学生视力不低于4.9的人数为______．
【答案】8800
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于49．所占的比例即可求解．
【详解】解：由题意，958243200008800500
++⨯=（名），故该地区20000名初中学生视力不低于49．的人数为8800名，
故答案为：8800．
【点睛】本题考查用样本估计总体，理解题意，正确求解是解答的关键．
14.如图，在32⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 均在格点上，则BAC ∠=______︒．
【答案】45
【分析】先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明ABC 是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵22215==
+=AB AC 223110AC =+=，∴222AB BC AC +=，
∴90ABC ∠=︒，则ABC 是等腰直角三角形，
∴45BAC ∠=︒，
故答案为：45．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得ABC 是等腰直角三角形是解答的关键．
15.点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数
243y x x =-+的图象上．若为12y y <，写出一个符合条件的整数a 的值
______．
【答案】4（答案不唯一）【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出3a >或1a <，进而可得答案．
【详解】解：∵243y x x =-+，∴抛物线开口向上，对称轴为直线4221x -=-
=⨯，∴点()13,A y 关于直线2x =的对称点为()11 y ，，
∵点()13,A y ，()2,B a y 在二次函数243y x
x =-+的图象上．且12y y <，
∴3a >或1a <，
故a 的值可以是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
16.21C 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为,,a b c （a b c >>，且,,a b c 均为正整数）；选手最后得分为各轮得
分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮
第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小菲
a 26小冬
b c 12小敏b 10
根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为______分，小敏恰有______轮获得第二名．
【答案】①.2②.4
【分析】根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“小菲的得分最高为6a ”可计算出,,a b c 的值．假设小敏有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解．
【详解】解：∵每轮分别决出第一二三名（不并列）
∴()626121048
a b c ++=++=∴8
a b c ++=∵小菲的得分最高为6a
∴()
266,5a a a ≤≥为正整数∵a b c >>，且,,a b c 均为正整数
∴,b c 的最小值分别为2,1
∴85
a a
b =--≤故5,2,1
a b c ===所以每轮比赛第二名得分为2分；
∵26551
=⨯+∴小菲5轮得第一，1轮得第三
设小敏有一轮获得第一，则小敏的得分至少为：524111++⨯=（分）
与小敏的实际得分不符合
故小敏没有一轮得第一，小冬有一轮获得第一
∵125214---=（分）
即小冬剩余未知的三轮总分为4分，
∴剩下三轮只能是1轮第二，2轮第三，
∴小冬1轮得第一，2轮得第二，3轮得第三，
又∵小菲5轮得第一，1轮得第三，三人第一、第二和第三的总数都是6，
∴小敏4轮得第二，2轮得第三
故答案为：2;4
【点睛】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．
三．解答题（本题共72分，第17－22题，每小题5分，第23－24题，每小题6分，第25－26题，每小题7分，第27－28题，每小题8分）
17.
计算()2
01312π-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．
【答案】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：原式341
=+
=【点睛】本题考查实数的混合运算．熟记相关运算法则是解题关键．
18.解不等式组()2112323x x x x ⎧-≤+⎪⎨++≥⎪⎩
．
【答案】03
x ≤≤【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：()2112323x x x x ⎧-≤+⎪⎨++≥⎪⎩
①②，
解不等式①，得3x ≤，
解不等式②，得0x ≥，
∴原不等式的解集为03x ≤≤．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19.已知2210x x +-=，求代数式()()()2
112x x x -+++的值．
【答案】5
【分析】先求得221x x +=，再利用平方差公式和完全平方公式化简所求代数式，然后代值求解即可．
【详解】解：∵2210x x +-=，
∴221x x +=，
∴()()()2
112x x x -+++22144
x x x =-+++()2223
x x =++213
=⨯+5=．
【点睛】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟记平方差公式和完全平方公式，利用整体思想正确求解是解答的关键．
20.如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，
点E 和点F 分别在直线AD 的两侧，且AE DF =，A D ∠=∠，AB CD =．
（1）求证：四边形BECF 是平行四边形；
（2）若90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，当AB =_______时，四边形BECF 是菱形．
【答案】（1）见解析（2）75
【分析】（1）证明AEC DFB △△≌，可得,BF EC ACE DBF =∠=∠，从而得到EC BF ∥，即可；
（2）设,EF BC 于点G ，根据勾股定理可得AC 的长，再由1122
ACE S AE CE AC GE =
⨯=⨯ ，可得GE ，再根据勾股定理求出,AG BG 的长，即可．
【小问1详解】
证明：∵AB CD =，
∴AC DB =，
在AEC △和DFB △中，
∵AC DB A D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS AEC DFB ≌ ，
∴,BF EC ACE DBF =∠=∠，
∴EC BF ∥，
∴四边形BECF 是平行四边形；
【小问2详解】
如图，设,EF BC 于点G
，
∵四边形BECF 是平行四边形，
∴当EF BC ⊥时，四边形BECF 是菱形，
∴3BE CE ==，
∵90,4,3AEC AE CE ∠=︒==，，
∴5AC =
==，∵1122ACE S AE CE AC GE =⨯=⨯ ，∴1143522GE ⨯⨯=⨯⨯，解得：125GE =，
∴165
AG ==，
∴95BG ==，∴1697555
AB AG BG =-=
-=．故答案为：75【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知
识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21.“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和21=块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得，x =______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量=______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【答案】20313020130x x x +⨯=++；260；2；5590
【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为()203130x +⨯斤，也可表示为()20130x x ++斤，进而可列方程求解即可.
【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量3+个搬运工的体重和21=块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x 斤，则可列方程为：20313020130x x x +⨯=++．②解这个方程得，260x =．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量2=个搬运工的体重；
④2026031305590⨯+⨯=，
即最终可求得：大象的体重为5590斤．
故答案为：20313020130x x x +⨯=++；260；2；5590．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
22.在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,3，()0,2．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数()0y nx n =≠的值小于函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．
【答案】（1）2
y x =+（2）12
n ≤≤【分析】（1）利用待定系数法，将已知点代入()0y kx b k =+≠求解即可；
（2）求出当2x =时的n 值，再根据题意画图求解n 的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,3，()0,2，
∴32k b b +=⎧⎨=⎩，解得12
k b =⎧⎨=⎩，∴这个函数的解析式为2y x =+；
【小问2详解】
解：当2x =时，224y =+=，
将点()2,4代入y nx =，得2n =，
∵当2x <时，函数2y x =+的函数值随x 的增大而增大，且函数y nx =的图象过原点，
∴如图，当2x <时，对于x 的每一个值，函数()0y nx n =≠的值小于函数y kx b =+的值，则n 的取值范围为12n ≤≤．
【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函
数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
23.如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 在x 轴上方时，直接写出m 的取值范围；
（3）若抛物线在点P 右侧部分（含点P ）的最高点的纵坐标为1--m ，求m 的值．
【答案】（1）223
y x x =-++（2）13
m -<<（3）5m =-或4
m =【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出点B 的坐标，根据图象写出m 的取值范围即可；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,4，得出二次函数223y x x =-++有最大值4，分两种情况讨论，当点P 在对称轴的左侧或对称轴上，即1m £时，当点P 在对称轴的右侧，即1m >时，分别求出m 的值即可．
【小问1详解】
解：把()1,0A -，()0,3C 代入抛物线2y x bx c =-++得：
103b c c --+=⎧⎨=⎩
，解得：23b c =⎧⎨=⎩
，∴抛物线解析式为223y x x =-++．
【小问2详解】
解：把0y =代入223y x x =-++得：2230x x -++=，
解得：11x =-，23x =，
∴点B 的坐标为()3,0，
∴当点P 在x 轴上方时，m 的取值范围是13m -<<．
【小问3详解】
解：∵()2
22314y x x x =-++=--+，
∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,4，
∵10a =-<，
∴二次函数223y x x =-++有最大值4，
当点P 在对称轴的左侧或对称轴上，即1m £时，抛物线在点P 右侧部分图象的最高点为抛物线的顶点，∴14m --=，
解得：5m =-；
当点P 在对称轴的右侧，即1m >时，抛物线在点P 右侧部分图象的最高点就是点P ，
∴2231m m m -++=--，
解得：14m =，211m =-<（舍去）；
综上分析可知，5m =-或4m =．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，求抛物线的最值，解题的关键是理解题意，数形结合，注意分类讨论．
24.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这10个部门中随机抽取了A ，B 两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a ．A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：02x ≤<，24x ≤<，46x ≤<，68x ≤<，
810x ≤<，1012x ≤≤）；
b ．A 部门每日餐余重量在68x ≤<这一组的是：6.1
6.6
7.07.07.07.8c ．B 部门每日餐余重量如下：第1周
1.4
2.8 6.97.8 1.9第2周
6.9 2.6
7.5 6.99.5第3周9.7 3.1 4.6 6.9
10.8
第4周7.88.48.39.48.8
d．A，B两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：
部门平均数中位数众数
A 6.4m7.0
B 6.67.2n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值，m＝______，n＝______；
（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是______（填“A”或“B”），理由是______．（3）结合A，B这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量为______千克；
（4）食堂工作人员从B部门第1周和第2周各抽查一日餐余重量，两日餐余重量刚好都是n的概率是______．【答案】（1）6.8，6.9
（2）A，A部门的平均数和中位数较小，浪费的少
（3）15600（4）2 25
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）分别根据表格中A、B两部门的平均数、中位数和众数进行分析解答即可；（3）用一个部门每日餐余重量乘以总工作日，再乘以总部门数可求解；
（4）利用列表格法求解即可．
【小问1详解】
解：将A部门20格工作日的餐余重量从小到大排列后，处于最中间位置的两个数的平均数为6.67.0 6.8
2
+
=，
∴中位数 6.8
m=，
B部门20格工作日的餐余重量中出现次数最多的是6.9，出现了4次，
∴众数 6.9
n=，
故答案为：6.8，6.9；
【小问2详解】
解：从平均数和中位数上看，A部门的平均数和中位数较小，说明浪费的少，
因此，做的做得较好的部门是A，理由是A部门的平均数和中位数较小，浪费的少，故答案为：A；A部门的平均数和中位数较小，浪费的少；
【小问3详解】。