2021高三统考北师大版数学一轮学案：第4章第6讲 正弦定理和余弦定理 Word版含解析

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第6讲正弦定理和余弦定理

基础知识整合

1．正弦定理

错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝2R，

其中2R为△ABC外接圆的直径．

变式:a＝错误!2R sin A，b＝错误!2R sin B，c＝错误!2R sin C. a∶b∶c＝错误!sin A∶错误!sin B∶错误!sin C。

2．余弦定理

a2＝错误!b2＋c2－2bc cos A；b2＝错误!a2＋c2－2ac cos B;

c2＝错误!a2＋b2－2ab cos C。

变式：cos A＝错误!错误!；cos B＝错误!错误!；cos C＝错误!错误!. sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A。

3．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况

图形关系式解的个

数

A为锐角

a<b sin A

错误!无

解a＝b sin A

错误!一

解b sin A<a<b

错误!两

解

a≥b

错误!一

解

A为钝角

或直角

a〉b

错误!一

解

a≤b

错误!无

解4．三角形中常用的面积公式

（1）S＝错误!ah（h表示边a上的高)．

(2）S＝错误!bc sin A＝错误!错误!ac sin B＝错误!错误!ab sin C.

(3)S＝错误!r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径)．

1．三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

变形：

A＋B

2

＝错误!－错误!.

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B）＝sin C；（2）cos（A＋B）＝－cos C；

（3)sin

A＋B

2

＝cos错误!；（4）cos错误!＝sin错误!。

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；

b＝a cos C＋c cos A；

c＝b cos A＋a cos B.

1．(2019·北京西城模拟)已知△ABC中，a＝1，b＝错误!，B＝45°，则A等于( ）

A．150°B．90°

C．60°D．30°

答案D

解析由正弦定理，得错误!＝错误!，得sin A＝错误!.又a〈b，∴A<B ＝45°.∴A＝30°。故选D.

2．（2019·安徽马鞍山一模）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c。已知a＝错误!，b＝2，A＝60°，则c＝( )

A。错误!B．1

C.错误!D．2

答案B

解析∵a＝错误!,b＝2，A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A,得3＝4＋c2－2×2×c×错误!，整理得c2－2c＋1＝0,解得c ＝1.故选B.

3．(2019·安徽合肥模拟）在△ABC中，A＝60°,AB＝2，且△ABC 的面积为错误!，则BC的长为( ）

A.

3

2

B． 3

C．2错误!D．2

答案B

解析因为S＝错误!AB·AC sin A＝错误!×2×错误!AC＝错误!，所以AC ＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos60°＝3.所以BC＝错误!。

4．（2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－错误!，则错误!＝( ) A．6 B．5

C．4 D．3

答案A

解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C,∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，

即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a2

2bc

＝错误!＝错误!＝－

错误!，∴错误!＝6。故选A。

5．设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c,且a＝2，cos C＝－错误!，3sin A＝2sin B，则c＝________.

答案4

解析由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝错误!a＝3.由cos C＝错误!,得－错误!＝错误!,解得c＝4.

6．在△ABC中，AB＝错误!，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________。

答案2

解析因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°,由正弦定理可得错误!＝错误!，解得AC＝2.

核心考向突破

考向一利用正、余弦定理解三角形

例1 （1)（2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos错误!＝错误!，BC＝1，AC＝5，则AB＝（)

A．4错误!B．错误!

C。错误!D．2错误!

答案A

解析因为cos C＝2cos2错误!－1＝2×错误!2－1＝－错误!,所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos C＝1＋25－2×1×5×错误!＝32,所以AB＝4错误!.选A。

（2)（2019·沧州七校联考）已知在△ABC中，a＝错误!，b＝错误!，∠A＝30°，则c＝( )

A．2错误!B．错误!

C．2错误!或错误!D．均不正确答案C

解析∵a

sin A

＝错误!，

∴sin B＝b sin A

a

＝错误!·sin30°＝错误!.

∵b〉a，∴B＝60°或120°.

若B＝60°，则C＝90°,∴c＝错误!＝2错误!。

若B＝120°,则C＝30°，∴a＝c＝5。

解三角形问题的技巧

（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．

①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．

②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角,大角对大边的规则，画图进行判断．

（2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边,该三角形是确定的，其解是唯一的;已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．