计算方法与实习-曲线拟合法.

k=0 k=1 k=2
k=m
s0 s1 s2 … sm a0 T0 s1 s2 s3… sm+1 a1 T1 s3 s4 s5 … sm+2 a2 = T2 …… … … sm sm+1 sm+2 …s2m am Tm
，可得上述
只要求出m+1+m=2m+1个Sk元素及m+1个Tk 的所有系数ai 。
将 Sk 及 Tk 用xj,yj代入，有 n xj xj2 … xjm a0 yj xj xj2 xj3 … xjm+1 a1 yjxj xj2 xj3 xj4 … xjm+2 a2 = yj xj2 …… … … xjm xjm+1 xjm+2 … xj2m am yj xjm 例1中 7 245.3 a = 565.5 245.3 9325.83 b 20029.445 解得 a=70.57， b=0.29 所以 r=70.57+0.29t
j=1 i=0 m i=0 j=1 i=0 j=1 n m n m n
即
n j=1
n j=1
ai xji+k = yixjk
记
所以
Sk =xjk
j=1 m
n
， Tk = yj xjk
j=1
n
ai Sk+i = Tk（k=0，1，…… m）
i=0
就有正规方程组，可解出ai，得到P(x)
在这种情况下若要使误差影响小需要构造逼近函数使得从总的趋势上更能反映被逼近函数的特性即找一简单函数次数较低的p点能反映数据的基本趋势
第五章 曲线拟合法
实验数据本身的误差经过插值法计算后带来误差， 有时误差很大。 在这种情况下若要使误差影响小，需要构造逼近函 数，使得从总的趋势上更能反映被逼近函数的特性，即 找一简单函数（次数较低的Pn(x)）适用于整个[x1,xn]上， 但不要求严格地通过所有的( xi,yi)，只是尽可能的靠近 （ xi，yi ）点，能反映数据的基本趋势。 这儿的Pn(x)与已给函数从总体来说其偏差按某种方 法度量能达到最小，即Pn(x) - yi为极小，所以就将求逼近 函数的方法称为曲线拟合法。 因此插值法适用于数据精确或可靠度较高的情况。 而曲线拟合法适用于数据本身就有误差的情况。
二、用最小二乘法求数据的拟合曲线
n n m
(a0,a1,…,am )= [P(x) - yj ]2= [ aixji - yj] 2
j=1 j=1 i=0
要使有最小值，则对ak求偏导应为0（k=0，1，…… m） 可得m+1个方程，从而解出m+1个未知数ai （ i=0，1，…… m） /ak2(aixji - yj)xjk 2( aixji+k - yjxjk )=0
为了便于计算Sk及Tk，可以利用下列表格：
j xj yj xj2 xj3 … xj2m yjxj yjxj2 … yjxjm
1
2 … n ∑
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三、讨论 正规方程组是否一定有解，有解的话是否一定使最小。 1.解的存在、唯一问题 aj Sk+i = Tk（k=0，1，……,m）
i=0 m
| Sk+i| 0，有唯一解。 2. 最小值问题 P(x)是使(a0,a1,…,am )取得最小值的m次多项式。 P105 例2 （1）描草图，粗略决定m=？（2）选P(x)= ai xj （3）建正规方程组 （4）解方程组得aj （5）得 P（x）= aj xj P105 例2 可以化 形式 P(x)=AeMx 为 ln P = ln A+Mx y = B+Mx
第一节 最小二乘法原理
一、 最小二乘问题 P101 例1 铜导线电阻与温度的关系，有7个数据对点， 作图后近似于一条直线。 设 有逼近函数 r =a+bt 且 Rj = a+btj-rj 一般不全为0
7 j=1 7 j=1
若 R=R(a,b)= Rj2 = ( a+btj-rj )2 现取R的最小值，即差的平方和的最小值，求得a,b之 值，这种方法称为最小二乘原理，求得的函数 r = a+bt 称为拟合函数或经验公式。
第二节 应用实例：价格、广告与赢利
关于投入和产出及利润得关系
定义：有n对数据(xj,yj)（j=1,…,n）,在[x1,xn]上 求一个m次多项式 P(x)= a0+ a1x+ …… +amxm （m<n） 适当选取ai（i=0，…… m）,使得
（a0，a1,…… ,am）= [P(xj) - yj ]2 为最小值。
j=1 n
则称P(x)为最小二乘拟合多项式(是x,y间的经验公式)。