高等量子理论专题系列讲座 第2讲 自由定态球面波解争论 Green

n
, m n m n , m , n 0, 1,
,
a n1
n1 n , a

n
n1 n1
由此构造升降算符如下:
ˆ 1 ˆ : n 1 n , 0 0 ; a n n1 N 1 n0 1 ˆ ˆ : n n1 ; a n1 n N 1 n0
B
，将它两边同
。如果这个变数 x 永远不会取零
值，这种除法当然不会出问题。但实际是变数 x 定义域包含了零点， 于是在零点附近就要出问题。除以函数 f x 情况类似。Dirac 曾强调 过 1，这时一般地应当有
A B A x B x C
x
（2.1）
系数 C 由乘以 x 作还原计算的自洽性决定。本讲谈这个简单但却时常 会犯、 犯后出了状况还难于找到原因、 不知怎样解决的奇性处理问题。
1
，并且 D（A）＝R（A）＝H。
－1
这就是通常狭义上的逆算符。显然，逆总是相互的 A － 1
＝A
。
但是， 无限维空间中算符的逆算符情况比有限维空间情况复杂很 多。 先叙述逆算符的三种定义——左逆算符、右逆算符、逆算符： i, 若 B A ii, 若
, H
，称 B 为 A 的左逆算符； 对偶空间，称 C 为 A 右逆算符；
;
r0
(0 ) 或 R (0 ) 有限，或 ( r ) 0
不慢于 r
0。
这三个条件一个比一个苛刻。哪一种正确? 物理和数学根据如何? 由于几何点本来在自然界中就不存在，所以条件 i 是依据波函数 的物理意义， 按实验测量的物理要求拟定的。 到此本来就应该止步了。 后面两个更严格的要求其实是非物理的。 考虑到应当剔除不合理的多余解，以保证两个解集合之间的等 价，正确的条件应当选用条件 ii，
0 处径向波函数的自然边条件。这就是这个边条件的由来。 0 处径向 ii, iii,

[O ]

2
r drd
2
有限，或 0
r0

r dr
2
平方可积;
r 0 ，或 ( r ) 0
r0
r 0
r0
or
( r ) 0
r0
（2.3）
这个人为强加的条件， 对于排除那一类由于 Laplace 算符在坐标系转 换中不合理的奇性运算所带入的额外解 （诸如 exp ikr
r
） 已经足够。
至于条件 iii 的波函数在原点连续无奇性的要求应当是主观的苛求。
由于a是等距算符aai??即????aaa????????dh若记a???上式即为a????也即9??1aaa????????r另一方面假设存在正交子空间??a?r而且??a????r则有0a???????????h对上式取厄米共轭利用标积性质和a?定义得到????0aaaa????????????????????????h说明态矢a???和所有态矢???h内积为零
高等量子理论专题系列讲座 [第 2 讲] 自由定态球面波解争论、 中心场自然边条件、 逆算符、 Green 函数方法、Lippmann-Schwinger 方程求解 ━━从等式两边同除零说起！
I，前言 II， exp i k r
r
是自由粒子定态球面波解吗？
1，结论及产生问题的根源 2，径向波函数 r 0 的自然边条件 III，从此处奇性说开去（I）——中心场自然边条件的由来 IV，从此处奇性说开去——（III）逆算符和算符取逆 1，逆算符与算符取逆 2，Fock 空间算符举例 3，等距算符 A 的逆算符 A 1 与共轭算符 A 的关系 V，从此处奇性说开去——（IV）Green 函数方法 1，Green 函数与围道积分 2，Green 函数与传播子 VI，从此处奇性说开去——（V）Lippmann-Schwinger 方程求解 1， 超冷全同原子凝聚体 Feshbach 共振的 Lippmann-Schwinger 方程 2，Feshbach 共振宽度 3，Feshbach 共振的散射矩阵
3
A
张永德， 《高等量子力学(第 II 版)》 ，科学出版社出版，2010 年。[附录 B] 量子力学算符 简论。
5
或 A B I A 0 。此等式右边的零表示零算符。两端都加上 B A I ， 可得 A B I B A I 。 但依条件 B 是唯一的左逆， 所以 A B I B 从而 A B I ，即 B 也是右逆。证毕。 再证[定理 1]。按题设 B A I 和 A C 乘 C 和左乘 B ，得到 B A C 证毕。 [定理 3] 逆算符 A 1 存在的充要条件是若 A
右边
2
E
R球
r
r drd
2

4 E re
0
dr
2
2


2
2

1 ikR e ikR
显然， 一个物理的解不应该受坐标系选择的影响。 特别是它在原 点附近并不满足直角坐标下 Schrodinger 方程，所以这个表达式不能 看作是全空间中自由粒子运动的“定态解”。 但从检验中也看到， 表达式 exp ikr
1 2
P.A.M.Dirac,《量子力学原理》 ，科学出版社，1965 年。 J.R.Taylor， “Scattering Theory: The Quantum Theory on Non-relativistic Collisions”， P.183， John Wiley & Sons，Inc. 1972；详细参见， 张永德，《大学物理》，1989 年第 9 期。或， 张永德《量子力学(第 II 版)》，北京：科学出版社，2010 年。第 4 章。
2
解。因为代入之后会得到
e ikr e ikr 2 E 2 r r
2 2
r
（2.2b）
由于这个方程右边第二项不含波函数，它甚至连 Schrodinger 方程也 不是。在通常验算这个解时，往往遗漏了右边含 函数的第二项。对 此可用半径为 R 球体积分的办法直接检验： 左边
3
标表示）的转换过程中，含有除以 r 的运算。由于 r 的定义域包含着 零点，这个运算是带奇性的：在原点附近并不合法！这样做的后果之 一是， 比起直角坐标方程来， 球坐标方程多出了一类解——有点源存 在下的行波解（出射波和入射波）。这些解与现在全空间自由运动问 题全无关系！ 正是原点附近的奇性运算， 招致出现物理上不合理的解， 使两个坐标系的解集合不等价。 为了剔除这些不合理的解， 并提供解集合的等价性， 不得不人为 引入 r
II， exp i k r r 是自由粒子定态球面波解吗？
1, 结论：不是 2。 表达式 exp i k r
r
的确满足球坐标下自由粒子 Schrodinger 方程
2

d
2 2
2 dr
r
E r

（2.2a）
k
2 E
。但是，它却并不是直角坐标下同一 Schrodinger 方程的
0 则必须 0
C I
B
，
。则由这两个式子分别右
C
和 BAC
B
。将此两式相减，得 B
。
。 及
或等价叙述为，存在正数 C ，使任意矢量均满足
A a C a

A
C
。
注意，定理 3 是就态矢而言的“为零”，并非下面等距算符的模 长“为零”。而且后一提法更清楚说明还要求 从前者推导后者：对全部 合中每一个 a ，对应一个 a 厄米算子

2 e ikr dV 2 R球 2 r 2
e ikr r dS rR
2
2

2
rR
ikr

e
e
ikr 2
r
ikr 1 r
2
2
d
2

R
1 ikR e ikR
ikr
4
总之，引入 r
0 处径向波函数自然边条件是人为的，为了数学
上逻辑自洽，并非物理的要求。
IV，从此处奇性说开去——（III）逆算符和算符取逆
1, 逆算符与算符取逆问题
3
[定义]：线性算符 A 存在有界逆算符 B ，是指 B 在整个 H 上满足
AB BA I
（2.4）
这时简单记 B
A
C
AC , H
iii， 若 A 既有左逆算符 B ， 也有右逆算符 C ， 则必有 B
。
[定理 1] 若 A 至少有一个左逆 B （即 B A I ）与至少一个右逆 C （即 A C
I
），则只有一个左逆，也只有一个右逆，并且它们相等。
就是说 A 存在有界逆算符 A 1 。 （斯米尔诺夫《高等数学教程》，V-2， P.434）。 [定理 2] 若 A 存在唯一的左逆，则右逆也存在；若存在唯一的右 逆，则左逆也存在。在这两种情况下的左逆与右逆都是唯一的，并且 它们相重合。（斯米尔诺夫《高等数学教程》，V-2，P.435）。 证明： 先证[定理 2]。 设有唯一的左逆， 即 BA I 。 左乘以 A ， 得 ABA
Aa 0

A a a

。 。对此集

a 0
的 a 集合，均有
Aa 0
0 （它们必都是正的，因为 A A 为正的

a A A a 0 ，既然题设不等于零，就必有 a A A a 0 ，即
）。取这些 a 中最小值作为 即得后面结论。对 A 论证类似。
再指出， 如果 A 有两个相异的左逆 （或相异的右逆） 算符 B 和 C ， 则 A 定有无穷多个左逆算符。事实上，如果 B A I 及 C A I ，容易证 明，对于任意数 a ，算符 B a C
r
实际上是表示在坐标原点
有个（正、负）源头不断向外（内）发散（收敛）的球面 “行波解” （通过计算径向流密度分量，或配上含时因子计算相速度即知）。其 中对应正源头的行波解可用来表示散射。 但无论如何， 它不是全空间 自由粒子运动的“定态解”，后者另有表达式（见脚注 2）。 III，从此处奇性说开去（I）——中心场自然边条件的由来 产生上述现象的原因在于：将自由运动 Schrodinger 方程从直角 坐标转向球坐标 （主要是其中 Laplace 算符从直角坐标表示转到球坐
或等于零来区分判别 （斯米尔诺夫 《高等数学教程》 ， V-2， P.435-436） ：
6
a)
存在唯一的左逆与右逆（ m
A

A 0, A

m
A A

） 0
A A

b) 既不存在左逆又不存在右逆（ m
A 0, m
） 0
c) 存在无穷多个左逆但无右逆（ m A A 0, m A A 0 ） d) 存在无穷多个右逆但无左逆（ m A A 0, m A A 0 ） 一般情况：D（A） R（A） H。在此情况下，只要 D（A）中的 不同态矢能映射到 R（A）中不同态矢，成一对一映射，即可定义 A 1 （这意味已将上述逆算符定义略加扩充了。参见 TaylorP.12; 斯斯米 尔诺夫 V-2，P.435）。注意 A 、 A 1 的 D 和 R 是相反的。当然，在 全空间无逆算符的算符，却可能在某个子空间中有局域的逆算符。 ii，QT 算符只要既没有零也没有无穷大的本征值，有逆算 符存在。否则将出现无逆、或者仅有左逆、仅有右逆等等多种情况。 算符有逆时， 它和其逆算符之间的映射是反复可逆的。 但算符若仅有 左逆或右逆算符，映射的关联情况是复杂的。 iii，举例。一维 Gaussian 波包无限弥散：空间每一点的波 函数都趋于零，即态矢每个分量都趋于零，但态矢本身并非零矢量。 2，Fock 空间算符举例 设系统 Fock-Space 为
1
4，磁可控，超精细诱导 Feshbach 共振
※ I，前言
※
※
在我们上初中时候， 数学老师就强调过： 一个等式两边不能同除 以零。 要不然， 导出的下一步式子可能不再成立、 不再有意义。 然而， 人们有时候就是不注意这件事。比如，有个等式 A 除以变数 x ，就当然地写成为
A x B x
B aC
B
也是 A 的左逆： 。
aB A B A aC A aB A I aI aI I
总结存在以下四种情形。 它们可利用由 A 组成的厄密算符 A A 与
AA

的下界（以 m A A 及 m A A 表示，是充分必要判别条件）大于