保险精算李秀芳章习题答案

第一
章
生命表
1．给出生存函数()22500
x s x e
-=，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。

(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。

(3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

2.已知生存函数S(x)=1000-x 3/2 ,0≤x ≤100，求（1）F （x ）(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x)
3. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr ［T(60)＞5］=0.92094，求q 65。

4. 已知Pr ［T(30)＞40］=0.70740，Pr ［T(30)≤30］=0.13214，求10p 60 Pr ［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S （30）=0.7074 S （70）=0.70740×S(30) Pr ［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30) ∴10p 60= S(70)/S （60）=0.70740/0.86786=0.81511
5.给出45岁人的取整余命分布如下表：
求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。

(1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.04 6.这题so easy 就自己算吧
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）
（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人
(1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492
（2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11
（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。

9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ．
612
P =（1-q 61）(1-q 62)=0.96334 60|2q =612P ．q 62=0.01937
10. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。

求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

13.设01000l =，1990l =，2980l =，…，9910l =，1000l =，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。

18. 19. 20.
24. 答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。

27.
28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q [30]+3 29.
第二章 趸缴纯保费
1. 设生存函数为()1100
x
s x =-
(0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费130:10Ā的值。

(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。

2.设利力0.2
10.05t t
δ=
+，75x l x =-，075x ≤≤，求x A 。

5. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算：（1） 1:20x A （2） 1
:20
x A 6.试证在UDD 假设条件下： (1) 1
1::x n x n i
δ
=A A (2) 1
1
:::x x n n x n
i
δ
=+
ĀA A 8． 考虑在被保险人死亡时的那个
1
m
年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完整年数，j 是死亡那年存活的完整1
m
年的时段数。

(1) 求该保险的趸缴
纯保费 ()m x A 。

(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()()m x x m i
i
=A A
9.
10.(x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，()0.5,0,0.1771x q i Var z === ，试求1x q +。

11.已知，767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A
12.设现年40岁的人购买一张保险金额为5000元的30年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试用换算函数计算该保单的趸缴纯保费。

500030:140A =5000×(M40-M70)/D40=388.66
13.现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

解：1
1
30:20
30:20
5000
5000RA R A =⇒= 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
123
20
30:201111
1
(8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)
(1.06)
0.017785596281126.3727
A R =
++++
===283285.07
14.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。

试求趸缴纯保费。

趸交纯保费为11
10|3535:10
1500020000A A + 所以趸交纯保费为1110|3535:10
1500020000178.0518952073.05A A +=+= 15．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。

保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R 元。

试求R 值。

17.设年龄为50岁的人购买一张寿险保单，保单规定：被保险人在70岁之前死亡，给付金额为3000元；如至70岁仍生存，给付金额为1500元。

试求该寿险保单的趸交纯保费。

解：该趸交纯保费为：1 150:2050:20
30001500A A + 18.设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若（30）在第一个保单年度内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年递增1000元。

求此递增终身寿险的趸交纯保费。

该趸交纯保费为：
30303030
3030
40001000()40001000M R
A IA D D +=+=3406.34 19.
20． 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。

(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n 年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。

若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。

解：保单1)精算式为11 1::::100075017501000750x n x n x n x n A A A A +=+= 保单2)精算式为1 11 1:::::1000800100018002000800x n x n x n x n x n A A A A A ++=+= 求解得1 1::7/17,1/34x n x n
A A ==，即 21.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。

试求其趸缴纯保费。

=397.02
第三章 年金精算现值
1. 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t f t e -=⋅(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。

(1)计算精算现值 x a (2)基金x a 足够用于实际支付年金的概率 2．设 10x a =, 2
7.375x a =, ()50T Var a =。

试求：（1）δ；（2）x Ā 。

3.设0.06x A =，0.05δ=。

试求20.01x A =：1）x a ；2）()T Var a 。

5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

7.某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。

而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一
次年金，直至死亡为止。

试求此人每次所获得的年金额。

解：23:36
37|2323:3637|23
20002000a a R a R a =⇒=
8.
9.某人现年55岁，在人寿保险公司购有终生生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设下和利率6%下，计算其精算现值。

解：(12)(12)
35
353511250*12250*12()250*12[(12)(12)]1212
a a a αβ=-=-- 若查90-93年生命表换算表则 10． 在UDD 假设下，试证：
(1) ()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- 。

(2) ()()
::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- 。

（3）()()::1
(1)m m n x x n x n
a a E m
=-- 11.
12． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。

（1）解：313030
1200N a D =
（2）(2)(2)
30
30351110001000()1000[(2)(2)]22a a a αβ=-=-- （3）(4)(4)
30
30301110001000()1000[(4)(4)]44a a a αβ=-=-- （4）(12)(12)
30
30301110001000()1000[(12)(12)]1212a a a αβ=-=-- 15．试证 (1) ()
()
m x x
m a a i δ
= (2) ()
:():m x n m x n
a a i δ
= (3) ()
lim m x x
m a a →∞= (4) 12
x x a a ≈- 16.很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。

到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。

试求数额R 。

18.Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 10x a =，
2
6x a =，1
24
i =
，求Y 的方差。

解：定义X=1+Y,则X 为x 期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量 19.某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。

20.某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别是10元，8元，4元，2元，4元，6元，8元，10元，试求其精算现值。

该题若考虑的是连续性的年金计算则复杂很多
3536
1 135:135:
1
35:1
3535
35:1111101010
10
0.06126.18119226.5
10.058268908126513.8126513.8 10
9.7090955
0.058268908
C D i i
A A A D D a δδ
δ
δδ
-+-+-===-
+
==
第四章 分期纯保费与毛保费
1.设()0x t t μμ+=>，利息强度为常数δ，求 ()x P A 与Var(L)。

3.设 ()50500.014,0.17,P A A δ==则利息强度=（）0.0684
4.有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为(40)购买的保额1 500元、年缴保费P 的完全离散型终身寿险保单。

已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P 的值。

P=28.3
5．已知 140:20604040:200.029,0.005,0.034,6%,P P P i a ====求 。

6.已知 6262630.0374,0.0164,6%,P q i P ===求。

8.已知L 为(x)购买的保额为1元、年保费为:x n P 的完全离散型两全保险，在保单签发时
的保险人亏损随机变量，2
::0.1774,0.5850x n x n P A d
==，计算Var(L)。

0.103
9. P=11.91
10． 已知x 岁的人服从如下生存分布：()105105
x
s x -=
(0≤x ≤105)，年利率为6％。

对(50)购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险，设L 为此保单签发时的保险人亏损随机变量，11. 已知 20.19,0.064,0.057,0.019,X X x A A d π====，其中x π为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费。

求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。

[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr （Ｚ≤1.645）=0.95，Z 为标准正态随机变量。

] 11.
12.A,C 永远正确
13． 已知 202020:4020:4010007,16.72,15.72,P a a P ===求1000 。

14． ()10|201020201.5,0.04,P a P ==计算P .0.016
15. 已知10.05,0.022,0.99,x x x i p p p +====则（）。

17．已知1(12)(12):201
:20:20
:20
1.03,0.04,x x x x P P P
==计算P . 0.0413 19.
20.设1
15456045:154515
0.0380.056,0.625,P P A ===：，P 则=( ) 21.
22. 用换算函数计算（写出公式）25岁的人购买如下终身寿险的初始年保费。

若被保险人在前10年内死亡，则可得到死亡保险金为15000元。

若被保险人在10年后死亡，则可得到死亡保险金为30000元。

已知保险费按年交纳至被保险人60岁时。

且前10年每年交纳的保费为10年后每年交纳的保费的一半，且死亡保险金于死亡年未给付。

10000(M 25+M 35/N 25+N 35-2N 65)=55.0449
23．已知x 岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，
20.06,0.4,0.2x x d A A ===，L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量。

(1)计算E ［L ］。

(2)计算Var(L)。

(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：
面额(元) 保单数(份)
1 80
4 20
假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。

24.
A 25.C 26.C 27.
B 28.
29.(x)购买的n 年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n 年的费用各为5元；理赔费用为15元。

且 1:0.3,0.1,0.4,0.6x x n x n A A A i +====，保额b 以万元为单位，求保险费率函数R(b)。

第五章 责任准备金
1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t 时保险人的未来亏损随机变量为：
,0,a U n t
U a U n t t
n t
L ≤≤-≥--⎧=⎨⎩计算()t
E L 和()t
Var L 。

3. 6. 8.
9． 当::2:2::1,,2,2
6
k k x n x n x k n k x k n k x k n k n k V a a a V +-+-+-<=+=时计算。

11． 已知
()
()0.474,0.510,0.500,x t x t x P A V A V δ
===计算t x V(A )。

12． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确：
（1）
1000x
q ()::k k x n x n
i
V A V
δ
=
×
（2） ()
k x k x
i
V A V
δ
=
√ （3） ()
1
1
::k k x n
x n
i
V A V
δ
=
√
13.
14.假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布， 且
()()41
101035:35:2035:2035:202035:2040.40,0.039,12.00,0.30,0.20,11.70P a V V a β======，
求
()4101035:2035:20
V
V -
17． 已知()()()120:1010.01212,20.01508,30.06942x x x P P P ===()1040.11430x V = 计算2010x V 。

18． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元，每年的死亡给付为1000元加上该年年末的纯保费责任准备金，且利率i=6%，0.1 1.1k x k q +=⨯ （k=0，1）。

计算年缴均衡纯保费P 。

19.
20． 已知1154545:2045:15
0.03,0.06,0.054,0.15P A d k ====，求1545:20V
21． 25岁投保的完全连续终身寿险，L 为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知 ()245250.20,0.70,0.30,Var L A A ===计算()2025V A
23.
24． 已知 0.30,0.45,0.52t x t x x t k E A +===， 计算()t x V A
25.
26． 已知:0.20,0.08,x n A d ==计算1:n x n V -
27． 已知1110.0,0.100,0.127,0.043x t t x t x x t a V V P ++++====，求d 的值
28． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L 为保单签发时的保险人亏损随机变量，且()250300.7,0.3,0.2A A Var L ===，计算()2030V A
与21相同
29.
30.
31． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：75x l x =-(０≤x ≤75)，利率0i =，且保费连续支付20年。

设投保年龄为35岁，计算此年金在第10年年末的纯保费准备金。

32.
33.
34． 已知3132:130.002,9,5%q a i ===，求 230:15
FPT V 35． 对于完全离散型保额，1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，已知21x x v p q α+=⋅⋅，求β。

36.。