江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期学情监测数学试题 Word版含答案

2021-2021学年高三学情监测
数 学 试 卷
一、填空题：〔本大题共14小题，每题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答
题线上．〕 1． 集合{}lg M x y x ==，{}
21N x y x =-，那么M∩N ＝ ▲ ． 2． 复数()2i+1(1i)z =-为虚数单位〕，那么z = ▲ ．
3． 某校从高一年级学生中随机抽取局部学生，将他们的模块测试成绩分成6组：加以统计，得到如下图的频率分布直方图高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 ▲ ．
4． 阅读下面的流程图，假设输入a ＝10，b ＝6，那么输出的
结果是 ▲ ．
5． 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．假设从中随机
取出2个球，那么所取出的2个球颜色不同的概率等于 ▲ ． 6． 函数a x f x +-=
1
31
)( 〔)0≠x ，那么“1)1(=f 〞是“函数)(x f 为奇函数〞的 ▲ 条件〔用“充分不必要〞，“必要不充分〞“充要〞“既非充分又非必要〞〕
7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线y 2＝
4x 的准线相交于A ，B 两点．假设△AOB 的面积为2，那么双曲线的离心率为 ▲ ． 8． 过点(2，0)引直线l 与曲线21x y -=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的
面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ▲ ．
9． ABC ∆中，10
cos tan tan 2A B C =⋅=,且B C <,那么B = ▲ ． 10．在ABC ∆中，90,1A AB AC ∠===,点P 在边BC 上，那么2PB PC +的最大值为 ▲ ．
11． 假设关于x 的方程
323
2
ln 21x m x x =++在区间)2,1(上有解，那么实数m 的取值范围是 ▲ ．
12．在正三棱锥S ABC -中，1,30SA ASB =∠=︒，过A 作三棱锥的截面AMN ,那么截面三
角形AMN 的周长的最小值为 ▲ ．
- 2 -
13．实数a x f x x x ax x x f a 232167
)(1
,log 1;2)(,0=⎩⎨
⎧>≤+-=>，若方程，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，那么实数a 的取值范围 ▲ ．
14．假设等差数列{}n a 满足22
12015110
a a +≤，那么2015201620174029S a a a a =++++的最大
值为 ▲ ． 二、解答题：〔本大题共6小题,共90分．解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤．〕 15．〔此题总分值14分〕
向量()sin 2,1m x =-，向量(
)
3cos 2,0.5n x =-，函数m n m x f ⋅+=)()(．
⑴求)(x f 的最小正周期T ；
⑵c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，A 为锐角，13,2a c ==，且()f A 恰是
()f x 在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值，求A 和b ．
16．〔此题总分值14分〕
如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱P A 丄底面ABCD 底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD =2AB =2AP =2，PE =2DE ．
⑴假设F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ； ⑵求三棱锥P ﹣ACE 的体积．
17．〔此题总分值14分〕 北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配
套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
⑴据市场调查，假设价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不
低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
⑵为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进
行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入2
1(600)6
x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
5
x
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商
仅供参考
品改革后的销售量a 至少应到达多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 18．〔此题总分值16分〕
如图，圆O 与离心率为23
的椭圆T
：12222=+b
y a x 〔0>>b a 〕相切于点M )1,0(．
⑴求椭圆T 与圆O 的方程；
⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D 〔均不重合〕． ①假设P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ，求2
22
1d d +的最大值； ②假设MD MB MC MA ⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程．
- 4 -
19．〔此题总分值16分〕
数列{a n }的首项a 1＝2，且对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝ba n ＋c ，其中b ，c 是常数． ⑴假设数列{a n }是等差数列，且c ＝2，求数列{a n }的通项公式；
⑵假设数列{a n }是等比数列，且|b |＜1，当从数列{a n }中任意取出相邻的三项，按某种顺序
排列成等差数列，求使数列{a n }的前n 项和S n ＜341
256
成立的n 的取值集合．
20．〔此题总分值16分〕
函数2
()6f x ax x
=++，其中a 为实常数. ⑴假设()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；
⑵34
a =，12,P P 是函数()f x 图象上两点，假设在点12,P P 处的两条切线相互平行，求这
两条切线间距离的最大值；
⑶设定义在区间D 上的函数()y s x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y t x =，当0x x ≠时，
假设0
()()
0s x t x x x ->-在D 上恒成立，
那么称点P 为函数()y s x =的“好点〞．试问函数2
()()g x x f x =是否存在“好点〞．假设存在，请求出所有“好点〞坐标，假设不存在，请说明理由．
仅供参考
A
M
B
C
O D
E
2021-2021学年高三学情监测
数 学〔附加〕 试 卷
1．〔此题总分值10分〕
曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 2．〔此题总分值10分〕
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋32t ，
y ＝2＋1
2t
(t 为参数 )，圆C 的参数
方程为⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)．假设点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的
最小值．
3．〔此题总分值10分〕
如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形
ABDE 是直角梯形，BD ∥ＡＥ，BD ⊥BA ， 1
22
BD AE =
=,O M 、分别为CE AB 、的中点．
(Ⅰ) 求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (Ⅱ) 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值． 4．〔此题总分值10分〕
设i 为虚数单位，n 为正整数．
⑴证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；
⑵结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n
n
x x x x ++=++〞证明： 1
21C cos C cos2C cos n n
n
n
x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22
n
n
x nx =．
- 6 -
2021-2021学年高三数学学情监测参考答案
1. (]0,1
2. 10
3. 480
4. 2
5. 3
5 6. 充要 7.
5 8. － 3
3
9.
4π 10. 22 11.110,ln 263⎛⎫
- ⎪⎝⎭
12. 2 13. ]4,774( 14.20152 15.解：〔1〕
()
21
()sin 213sin 2cos 22
f x m n m x x x =+⋅=+++
……2分
1cos 4311sin 4sin 42226x x x π-⎛
⎫=
+++=-+ ⎪⎝
⎭，……………… 4分 2.42
T ππ
∴=
= ……………… 6分 〔2〕 由〔1〕知：()sin(4)26f x x π
=-
+，当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,54666x πππ-≤-≤ ∴当46
2
x π
π
-
=
时()f x 取得最大值3，此时6
x π
=
．………………10分
∴由3)(=A f 得.6
A π
=
由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- ∴
()
2
2213
222cos 6
b b π
=+-⨯， ∴33b =．………………14分
16. 解：〔1〕假设F 为PE 的中点，由于底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ，故E 、F 都是线段PD 的三等分点．
设AC 与BD 的交点为O ，那么OE 是△BDF 的中位线，
故有BF ∥OE ，而OE 在平面ACE 内，BF 不在平面ACE 内，故BF ∥平面ACE ．………6分 〔2〕由于侧棱PA 丄底面ABCD ，且ABCD 为矩形， 故有CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAE ，．……………8分 三棱锥P ﹣ACE 的体积V P ﹣ACE =V C ﹣PAE ………………10分 =
S △PAE •CD=
•〔
•S △PAD
〕
•AB=
〔
•
•PA•PD
〕
•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．………………………………14分
17. 解：(1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －25
1×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，
解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意知当x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1
5x 有解，
等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．由于150x ＋1
6x ≥2
150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x
6
，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.
当该商品改革后的销售量a 至少到达10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.
仅供参考
18. 解: (1)由题意知:
222,1,2
3a b c b a c =+==解得3,1,2===c b a 可知: 椭圆C 的方程为14
22
=+y x 与圆O 的方程122=+y x ……………………4分
(2)设),(00y x P 因为1l ⊥2l ,那么2
020
2
22
21
)1(++==+y x PM d d 因为14
2
020=+y x
所以3
16
)3
1
(3)1(4420202
02221+
+-=++-=+y y y d d ,………………………7分 因为110≤≤-y 所以当310-=y 时2
221d d +取得最大值为3
16，此时点
)3
1
,324(-±
P …………9分 (3)设1l 的方程为1+=kx y ,由⎩⎨⎧=++=1
12
2y x kx y 解得)11,12(22
2k k k k A +-+-； 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1
4
1
2
2
y x kx y 解得)4141,148(222k k k k C +-+-…………………………11分 把C A ,中的k 置换成k 1
-可得)11,12(222
+-+k k k k B ，)44,48(222+-+k k k k D ………………12分 所以)12,12(222
k k k k +-+-=，)418,148(2
22k
k k k +-+- )12,12(
22+-+=k k k ，)4
8
,48(2
2+-+=k k k 由34MA MC MB MD ⋅=⋅得4
4
4132
22+=+k k k 解得2±=k ……………………15分 所以1l 的方程为12+=
x y ，2l 的方程为12
2
+-
=x y 或1l 的方程为12+-=x y ，2l 的方程为12
2
+=
x y ………………………16分 19.解： (1) 当c ＝2时，由得a 1＝2，a 2＝ba 1＋2＝2b ＋2，a 3＝ba 2＋2＝2b 2＋2b ＋2，
因为{a n }是等差数列，所以a 1，a 2， a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，
当b ＝1时，a n ＋1＝a n ＋2，对n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2成立，所以数列{a n }是等差数列；
- 8 -
所以数列{a n }的通项公式分别为a n ＝2或a n ＝2n.(4分)
(2)因为{a n }是等比数列，所以a 1，a 2，a 3成等比数列，所以a 1a 3＝a 2
2，
即2＝(2b ＋c)2，化简得2bc ＋c 2＝2c ，所以c ＝0或2b ＋c ＝2.
当2b ＋c ＝2时，a 2＝ba 1＋c ＝2b ＋c ＝2，所以a n ＝2，不满足S n ＜341256.
当c ＝0时，假设b ＝0，那么与a 1＝2矛盾，所以b ≠0，因此a n ＝2b n －1.(8分) 那么a n ＋1＝2b n ，a n ＋2＝2b n ＋1，因为a n ，a n ＋1，a n ＋2按某种顺序排列成等差数列， 所以有1＋b ＝2b 2，或1＋b 2＝2b ，或b ＋b 2＝2，
解之得b ＝1或b ＝－1
2
或b ＝－2.(12分)
又因为|b|＜1，所以b ＝－1
2，所以S n ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭
⎫－12＝43
⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，
由S n ＜341256，得43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ＜341256，即⎝⎛⎭⎫－12n ＞11 024， 因为n 是正整数，所以n 的取值集合为{2,4,6,8}．(16分)
20. 解：〔1〕方法一：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，即为2(3)620a x x -++>在(1,)+∞上
恒成立，①3a =时，结论成立；②3a >时，函数2
()(3)62h x a x x =-++图象的对称轴为
602(3)
x a =-
<-，所以函数2
()(3)62h x a x x =-++在(1,)+∞单调递增，依题意(1)0h >，
即5a >-，所以3a >；
③3a <不合要求，综上可得，实数a 的取值范围是3a ≥．
4分
方法二：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立等价于226
3a x x
>-
-+， 令()2
2261315
3222h x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭
因为1x >，所以101x <<，故()53
h x -<<所以3a ≥. 〔2〕2
32
'()4f x x =
-设111(,)P x y ，222(,)P x y ，过点12,P P 的两切线互相平行， 那么
2212
3232
44x x -=-，所以12x x =〔舍去〕
，或12x x =-， 过点1P 的切线1l ：111'()()y y f x x x -=-，即1111'()()'()0f x x y f x x f x -+-=，6分 过点2P 的切线2l ：2222'()()'()0f x x y f x x f x -+-=
仅供参考
两平行线间的距离是1211222
11['()]
d f x =
+
1121122132322|()()|44321()4x x x x x +--=+-121242111
8||25342543
1616x x x x x ==
-++-， 因为
22112211254254
251616x x x x +≥⋅=，所以d 4253
≤
=- 即两平行切线间的最大距离是42． ······················································· 10分 〔3〕232
()()62g x x f x ax x x ==++，设()g x 存在“好点〞00(,)P x y ，
由2
'()3122g x ax x =++，得000()'()()()h x g x x x g x =-+， 依题意
()()
0g x h x x x ->-对任意0x x ≠恒成立，
因为
0000()['()()()]g x g x x x g x x x --+-0000
[()()]'()()
g x g x g x x x x x ---=
-， 32322
0000000
[(62)(62)](3122)()
ax x x ax x x ax x x x x x ++-++-++-=
- 22200000[()6()2](3122)a x x x x x x ax x =+++++-++22
000(6)(26)ax ax x ax x =++-+13分 所以22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，
① 假设0a ≤，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>不可能对任意0x x ≠恒成立，
即0a ≤时，不存在“好点〞；
②假设0a >，因为当0x x =时，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+=，
要
使
22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，
- 10 -
2021-2021学年高三数学〔附加〕学情监测参考答案
1.解：设A NM = 那么A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， ………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，
那么 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',
1'.2
x y y x =⎧⎪
⎨=-⎪⎩ ……………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分
2.解：〔方法一〕直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………… 3分
因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)，从而点P 到直线l 的距离
d ＝|3＋cos θ－3sin θ＋3|
12＋(－3)2
＝|23－2sin(θ－π6)|
2． …………………… 7分
所以d min ＝3－1．即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． …………… 10分 (方法二) 直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1． 从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝
|3－0＋3|12＋(－
3)2
＝3． ………………………… 6分
所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………………………… 10分 3.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥ＡＥ，BD ⊥BA ，1
22
BD AE =
=,O M 、分别为CE AB 、的中点． (Ⅰ) 求异面直线AB 与CE 所成角的大小；(Ⅱ) 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值． 解：∵DB BA ⊥，又∵面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE
面ABC AB =，
DB ABDE ⊂面，∴DB ABC ⊥面，∵BD ∥AE ，∴EA ABC ⊥面，…… 2分
如下图，以C 为原点，分别以CA ，CB 为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z
轴，建立空间直角坐标系，∵4AC BC ==，∴设各点坐标为C 0)，(0,4,2)D ，(4,0,4)E ，
那么(2,0,2)O ，(2,2,0)M ，(4,4,0),CE (4,0,4)AB =-=，(0,4,2)CD =，(2,4,0)OD =-，(2,2,2)MD =-.
A
M
B
C
O
D
E
x y
仅供参考 〔1
〕1cos ,2AB CE <>==-， 那么AB 与CE 所成角为3
π. ……5分 〔2〕设平面ODM 的法向量(,,)x y z =n ，那么由OD ⊥n ，且MD ⊥n 可得240,2220,x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩
令2x =，那么1y =，1z =，∴(2,1,1)=n ，设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，那么
(2,1,1)(0,4,2)sin cos ,|(2,1,1)||
(0,4,2)|||||CD CD CD θ⋅⋅=<>===n n n ∴直线CD 和平面ODM ． ……10分
4. 设i 为虚数单位，n 为正整数．〔1〕证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； 〔2〕结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n n
x x x x ++=++〞证明：
1
21C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =． 证明：〔1〕①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证；……………… 1分 ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，那么当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )
k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；……… 4分 〔2〕由〔1〕知，[]001(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )n n
n r
r
r
n n r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为1
21C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+；……… 6分
[](1cos )isin n x x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222n
n
n n x x x x x x +=+……… 8分 ()
2cos cos isin 222
n n x nx nx =+ 其实部为2cos cos 22n n x nx ， 根据两个复数相等，其实部也相等可得：
1
21C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =． ……… 10分。