高三数学(理)一轮复习课时作业(五十七)曲线与方程 Word版含解析
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直线A2Q的方程y＝ (x－ )，②
联立①②，解得 ∴ ③
∴x≠0，且|x|＜ ，因为点P(x1，y1)在双曲线 －y2＝1上，所以 －y ＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为 ＋y2＝1(x≠0，且x≠± )．
答案： ＋y2＝1(x≠0，且x≠± )
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－ .求动点P的轨迹方程．
A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2
解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝ ＝ ，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
3．(2017·珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若 ＝ ，则点P的轨迹方程为()
∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，
又|AC|＝2 ＞2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以(－ ，0)，A( ，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝ ，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
课时作业
[授课提示：对应学生用书第268页]
一、选择题
1．方程(x2＋y2－4) ＝0的曲线形状是()
解析：由题意可得x＋y＋1＝0或
它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．
答案：C
2．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()
答案： ＋ ＝1(y≠0)
9．(2017·中原名校联考，16)已知双曲线 －y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1、A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为__________．
解析：由题设知|x1|＞ ，A1(－ ，0)，A2( ，0)，则有直线A1P的方程为y＝ (x＋ )，①
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
12．如图所示，已知C为圆(x＋ )2＋y2＝4的圆心，点A( ，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且 · ＝0， ＝2 .当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
解析：圆(x＋ )2＋y2＝4的圆心为C(－ ，0)，半径r＝2，∵ · ＝0， ＝2 ，∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，
解析：设C(x，y)，则 ＝(x，y)， ＝(3,1)， ＝(－1,3)，
∵ ＝λ1 ＋λ2 ，∴ ，又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
答案：A
二、填空题
7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹方程是__________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，A(－3,0)，B(3,0)，设M(x，y)由题设知[ ]2＋[ ]2＝26，化简得x2＋y2＝4.
A．4x2＋4y－1＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设P点的坐标为(x，y)，则 ＝(x，y)， ＝(x－1，y－2)， ＋ ＝(2x－1,2y－2)．所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为 － ＝1(x＞3)．
答案：C
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足 ＝λ1 ＋λ2 (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()
A．直线B．椭圆
C．圆D．双曲线
解析：设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，
则N(2x－x1,2y－y1)代入x＋y＝2，
得2x－x1＋2y－y1＝2①
又PQ垂直于直线x＋y＝2，故 ＝1，
即x－y＋y1－x1＝0.②
由①②解方程组得x1＝ x＋ y－1，y1＝ x＋ y－1，
代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是
解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称．
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则 · ＝－ ，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
11．如右图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．
答案：x2＋y2＝4
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是__________．
解析：设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：A
5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1(x＞3) D. － ＝1(x＞4)
解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6＜10＝|AB|.
A．y＝－2xB．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由 ＝ 知，点A是线段RP的中点，∴ 即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案：B
4．已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足| ＋ |＝2，则P点的轨迹方程是()
联立①②，解得 ∴ ③
∴x≠0，且|x|＜ ，因为点P(x1，y1)在双曲线 －y2＝1上，所以 －y ＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为 ＋y2＝1(x≠0，且x≠± )．
答案： ＋y2＝1(x≠0，且x≠± )
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－ .求动点P的轨迹方程．
A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2
解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝ ＝ ，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
3．(2017·珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若 ＝ ，则点P的轨迹方程为()
∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，
又|AC|＝2 ＞2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以(－ ，0)，A( ，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝ ，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
课时作业
[授课提示：对应学生用书第268页]
一、选择题
1．方程(x2＋y2－4) ＝0的曲线形状是()
解析：由题意可得x＋y＋1＝0或
它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．
答案：C
2．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()
答案： ＋ ＝1(y≠0)
9．(2017·中原名校联考，16)已知双曲线 －y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1、A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为__________．
解析：由题设知|x1|＞ ，A1(－ ，0)，A2( ，0)，则有直线A1P的方程为y＝ (x＋ )，①
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
12．如图所示，已知C为圆(x＋ )2＋y2＝4的圆心，点A( ，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且 · ＝0， ＝2 .当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
解析：圆(x＋ )2＋y2＝4的圆心为C(－ ，0)，半径r＝2，∵ · ＝0， ＝2 ，∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，
解析：设C(x，y)，则 ＝(x，y)， ＝(3,1)， ＝(－1,3)，
∵ ＝λ1 ＋λ2 ，∴ ，又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
答案：A
二、填空题
7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹方程是__________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，A(－3,0)，B(3,0)，设M(x，y)由题设知[ ]2＋[ ]2＝26，化简得x2＋y2＝4.
A．4x2＋4y－1＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设P点的坐标为(x，y)，则 ＝(x，y)， ＝(x－1，y－2)， ＋ ＝(2x－1,2y－2)．所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为 － ＝1(x＞3)．
答案：C
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足 ＝λ1 ＋λ2 (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()
A．直线B．椭圆
C．圆D．双曲线
解析：设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，
则N(2x－x1,2y－y1)代入x＋y＝2，
得2x－x1＋2y－y1＝2①
又PQ垂直于直线x＋y＝2，故 ＝1，
即x－y＋y1－x1＝0.②
由①②解方程组得x1＝ x＋ y－1，y1＝ x＋ y－1，
代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是
解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称．
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则 · ＝－ ，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
11．如右图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．
答案：x2＋y2＝4
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是__________．
解析：设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：A
5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1(x＞3) D. － ＝1(x＞4)
解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6＜10＝|AB|.
A．y＝－2xB．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由 ＝ 知，点A是线段RP的中点，∴ 即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案：B
4．已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足| ＋ |＝2，则P点的轨迹方程是()