【与名师对话】2021高考数学课时作业50 文（含解析）北师大版(1)

课时作业(五十)
一、选择题
1．已知定点A (1,1)和直线l ：x ＋y －2＝0，那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．直线
解析：由于点A 在直线x ＋y －2＝0上，因此选D. 答案：D
2．方程(x 2＋y 2－4)
x ＋y ＋1＝0的曲线形状是 ( )
解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－4＝0，
x ＋y ＋1≥0
或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x
＋y ＋1＝0右上方的部份．
答案：C
3．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点
P ，那么动点P 的轨迹是
( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析：∵|PA |＝|PN |，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|MA |＝6>|MN |.故动点P 的轨迹是椭圆． 答案：B
4．已知F 是抛物线y ＝1
4x 2的核心，P 是该抛物线上的动点，那么线段PF 中点的轨迹方程是
A ．x 2＝2y －1
B ．x 2＝2y －
1
16
C ．x 2＝y －12
D ．x 2＝2y －2
解析：把抛物线方程y ＝1
4x 2化成标准形式x 2＝4y ，可得核心F (0,1)，
设P (x 0，y 0)，PF 的中点M (x ，y )．
由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0
2
，
y ＝y 0
＋1
2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x ，y 0＝2y －1.
又∵P (x 0，y 0)在抛物线y ＝1
4x 2上，
∴2y －1＝1
4(2x )2，即x 2＝2y －1.
答案：A
5．(2021年合肥月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，
Q 是线段PM 延长线上的一点，且
|PM |＝|MQ |，那么Q 点的轨迹方程是
( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，那么P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
答案：D
6．(2021年温州八校联考)设动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为
( )
A ．y 2＝4x
B ．y 2＝－4x
C．y2＝4x或y＝0(x<0) D．y2＝4x或y＝0
解析：解法一设动圆圆心M(x，y)，半径为R，依照已知条件得：
R＝|x|＝|MC|－1，即|x|＝x－12＋y2－1.
①x≥0时，(x＋1)2＝(x－1)2＋y2，即y2＝4x；
②x<0时，(－x＋1)2＝(x－1)2＋y2，即y＝0.
综合①②得，圆心M的轨迹方程为y2＝4x或y＝0(x<0)．
解法二当x>0时，转化为动点M到直线x＝－1的距离与它到定点C
(1,0)的距离相等，
依照抛物线的概念，M 的轨迹方程为y 2＝4x ；
当x <0时，因C (1,0)到y 轴的距离为1，∴x 轴负半轴上的点均知足． 综上，圆心M 的轨迹方程为y 2＝4x 或y ＝0(x <0)． 应选C. 答案：C 二、填空题
7．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，假设AB →⊥BC →
，那么动点C 的轨迹
方程为________．
解析：AB →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →
，
∴AB →·BC →
＝0，得2·x －y 2·y 2
＝0.
得y 2＝8x . 答案：y 2＝8x
8．直线x a ＋y
2－a
＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．
解析：设直线x a ＋y
2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，
那么x ＝a 2，y ＝1－a
2
，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.
答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)
9．(2021年开封模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个核心，
O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，那么动点Q 的轨迹方程是________．
解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，
又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →
，
设Q (x ，y )，那么OP →
＝－12OQ →＝－1
2(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2
，－y 2，
即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－x 2
，－y 2，又P 在椭圆上，
那么有
⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－y 22b 2
＝1，即x 24a 2＋y 2
4b
2＝1.
答案：
x 2
4a 2＋y 2
4b 2
＝1 三、解答题
10．已知椭圆C ：x 216＋y 2
9＝1和点P (1,2)，直线l 通过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，
求当l 的倾斜角转变时，弦中点的轨迹方程．
解：设弦中点为M (x ，y )，交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当M 与P 不重合时，A 、B 、
M 、P 四点共线．
∴(y 2－y 1)(x －1)＝(x 2－x 1)(y －2)，
①
由
x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 22
9
＝1两式相减得 x 1－x 2
x 1＋x 2
16
＋
y 1－y 2
y 1＋y 2
9
＝0.
又x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴2x x 1－x 216＝－2y y 1－y 29
，
② 由①②可得：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0，
③
当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1,2)适合方程③， ∴弦中点的轨迹方程为：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0.
11．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：解法一：直接法．
如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，那么CP ⊥OQ .因OC 中点为
M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，连接PM . 故|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4，由圆的范围知0<x ≤1.
解法二：概念法．
∵∠OPC ＝90°，
∴动点P 在以点M ⎝
⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4(0<x ≤1)．
解法三：代入法．
设Q (x 1
，y 1
)，那么⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
2，
y ＝y
1
2
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝2x ，
y 1＝2y .
又∵(x 1－1)2＋y 21＝1，
∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0<x ≤1)． 解法四：参数法．
设动弦OQ 的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1. 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0， ∴x ＝
x 1＋x 2
2
＝1
1＋k 2，y ＝kx ＝k
1＋k
2，消去k 即可取得(2x －1)2＋(2y )2＝1(0<x ≤1)． 12．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段
QN 的中点P 的轨迹方程．
解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，那么N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．
∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.
①
又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴
y －y 1x －x 1
＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0， ②
①、②联立解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＝32x ＋1
2
y －1，
y 1
＝12x ＋3
2y －1，
③
又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，
∴x 21－y 21＝1.④
③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. [热点预测]
13．点P 是以F 1、F 2为核心的椭圆上一点，过核心作∠F 1PF 2
外角平分线的垂线．垂足为M ，那么点M 的轨迹是
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析：如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N . ∵|PF 2|＝|PN |， ∴|F 1N |＝2a .
连接OM ，那么在△NF 1F 2中，
OM 为中位线，
那么|OM |＝1
2|F 1N |＝a .
∴M 的轨迹是圆． 答案：A
14．△ABC 的极点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，那么极点C 的轨迹方程是________．
解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 因此|CA |－|CB |＝8－2＝6.
依照双曲线概念，所求轨迹是以A 、B 为核心，实轴长为6的双曲线的右支，方程为
x 2
9
－
y 2
16
＝1(x >3)． 答案：x 29－y 2
16
＝1(x >3)
15．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →
的最小值．
解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为核心，l1为准线的抛物线，
∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .
(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
又易患点R 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k ，－1， ∴RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4
k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k
⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1
k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， ∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。