一元二次方程 浙教版八年级数学下册期中培优训练卷1(含答案)

2021年度浙教版八年级数学下册
《第2章一元二次方程》单元综合优生辅导训练
1．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情况（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能确定
2．已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（）
A．1B．﹣2C．1或2D．1或﹣2
3．若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N 的大小关系正确的为（）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
4．某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有x 个学生，则可列方程（）
A．B．x（x﹣1）＝2256
C．（x﹣1）2＝2256D．x（x+1）＝2256
5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣5或1B．﹣1或5C．1D．5
6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（）个．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2
＝0；③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
A．1B．2C．3D．4
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）
A．2s B．3s C．4s D．5s
8．如果一个三角形的三边长都是一元二次方程x2﹣12x+36＝0的根，那么这个三角形的面积等于．
9．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是．
10．如果一元二次方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为．
11．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为．
12．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为．13．已知a是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，则a3﹣2021a2﹣＝．
14．已知三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两个根，则该三角形第三边m的取值范围是．
15．已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝．16．方程3（x﹣4）＝x（x﹣4）的解是．
17．在研究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和宽分别为6和1时，存在一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B的长为．18．将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为．
19．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．
20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现
该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．
23．我市南湖生态城某楼盘准备以每平方米4800元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3888元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）王先生准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案：
①打9.5折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米188元，试问那种方案更优惠？
24．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y（台）与售价x（万元/台）之间存在函数关系：y＝﹣x+24．
（1）设这种摘果机一期销售的利润为W1（万元），问一期销售时，在抢占市场份额（提示：销量尽可能大）的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？
（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？
25．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s 的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
26．阅读下面材料：
若设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣，x1x2＝．∵，∴
＝a[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．于是，二次三项式就可以分解因式ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
（1）请用上面的方法将多项式4x2+8x﹣1分解因式．
（2）判断二次三项式2x2﹣4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由．
（3）如果关于x的二次三项式mx2﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围．
27．等腰三角形边长分别为a、b、2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，求n的值．
参考答案
1．解：关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝﹣m﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（﹣m﹣1）＝（2m+1）2+3＞0．
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝0，
解得：k＝2；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
∵三角形不是等边三角形，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴把m＝3代入方程得9﹣12+k+2＝0，
解得：k＝1；
所以k＝1或2，
故选：C．
3．解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c＝0，即ax02+2x0＝﹣c，
则N﹣M＝（ax0+1）2﹣（2﹣ac）
＝a2x02+2ax0+1﹣2+ac
＝a（ax02+2x0）+ac﹣1
＝﹣ac+ac﹣1
＝﹣1，
∵﹣1＜0，
∴M＞N，
故选：A．
4．解：若这个班有x个学生，则每名同学要送出贺卡（x﹣1）张，
又因为是互送相片，
所以总共送的张数应该是x（x﹣1）＝2256．
故选：B．
5．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
6．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴，x2＝﹣q，
∴，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：，，
若x1＝2x2，则，
即，
∴，
∴，
∴，
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，
则，
∴，
∴，
∴，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
故选：C．
7．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
8．解：解方程x2﹣12x+36＝0，得x1＝x2＝6．
∵一个三角形的单边均满足方程x2﹣12x+36＝0，
∴该三角形是以6为边长的等边三角形，
∴该三角形的面积为：×＝9．
故答案是：9．
9．解：设矩形的长和宽分别为a、b，
∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，
∴a+b＝﹣，ab＝＝4，
即矩形的面积是4，
故答案为：4．
10．解：解方程x（x﹣6）＝3（x﹣6）得：x1＝3，x2＝6．
当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为6，此时三角形的周长为：6+6+3＝15；
当长度为6的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时3+3＝6，不能构成三角形．综上所述，这个等腰三角形的周长为15．
故答案是：15．
11．解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4．
故答案是：3或4．
12．解：∵m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，
∴m2﹣m＝5，
m﹣1﹣＝0，
故m﹣＝1，
则（m2﹣m）（m﹣+1）
＝5×2
＝10．
故答案为：10．
13．解：∵a是方程x2﹣2021x+1＝0的一个根，
∴x2﹣2021x+1＝0，即a2+1＝2021a，a2﹣2021a＝﹣1，
则a3﹣2021a2﹣＝a（a2﹣2021a）﹣＝﹣a﹣＝﹣＝﹣＝﹣
2021．
故答案是：﹣2021．
14．解：∵x2﹣11x+30＝0，
∴（x﹣5）（x﹣6）＝0，
则x﹣5＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝5，x2＝6，
则该三角形第三边m的取值范围是6﹣5＜m＜6+5，即1＜m＜11，
故答案为：1＜m＜11．
15．解：∵m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，
∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2021﹣2021﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
16．解：∵3（x﹣4）＝x（x﹣4），
∴3（x﹣4）﹣x（x﹣4）＝0，
则（x﹣4）（3﹣x）＝0，
∴x﹣4＝0或3﹣x＝0，
解得x1＝4，x2＝3，
故答案为：x1＝4，x2＝3．
17．解：由已知可得，
矩形A的周长是（6+1）×2＝14，面积是6×1＝6，
则矩形B的周长是7，面积是3，
设矩形B的长为x，则宽为3.5﹣x，
则x（3.5﹣x）＝3，
解得，x1＝2，x2＝1.5，
当x＝2时，3.5﹣x＝1.5，此时长大于宽，符合实际；
当x＝1.5时，3.5﹣x＝2，此时长小于宽，不符合实际；
由上可得，矩形B的长为2，
故答案为：2．
18．解：x2﹣3x+1＝0，
x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣3x+（）2＝﹣1+（）2，
（x﹣）2＝，
故答案为：（x﹣）2＝．
19．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，
解得：a＜3且a≠2．
故答案为：a＜3且a≠2．
20．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．21．解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）存在．
根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
22．解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝25﹣4m≥0，
解得，m≤；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
23．解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
则4800（1﹣x）2＝3888，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），
故平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案①购房优惠：3888×100×（1﹣0.95）＝19440（元）；
方案②可优惠：188×100＝18800（元）．
故选择方案①更优惠．
24．解：（1）根据题意列出函数关系式如下：．当W1＝32时，﹣（x﹣15）2+81＝32，
解得x1＝8，x2＝22．
∵要抢占市场份额，故x＝8．
答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．
（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为（x﹣5）万元，销售量y＝﹣x+24．依据题意得，
当W2＝63时，﹣x2+29x﹣127＝63，解得x1＝10，x2＝19．
∵要继续保持扩大销售量的战略，故x＝10．
答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．
25．解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意，•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
当点Q到达C点时，
S△PQB＝××（6﹣t）＝4
∴t＝
答：经过2秒或秒后△PBQ的面积等于4cm2．
26．解：（1）令4x2+8x﹣1＝0，
∵a＝4，b＝8，c＝﹣1，b2﹣4ac＝64+16＝80＞0，
∴x1＝，x2＝，
则4x2+8x﹣1＝4（x﹣）（x﹣）；
（2）二次三项式2x2﹣4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，理由如下：令2x2﹣4x+7＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣56＝﹣40＜0，
∴此方程无解，
则此二次三项式不能用上面的方法分解因式；
（3）令mx2﹣2（m+1）x+（m+1）（1﹣m）＝0，
由此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解，
∴b2﹣4ac＝4（m+1）2﹣4m（m+1）（1﹣m）≥0，
化简得：（m+1）[4（m+1）+4m（m﹣1）]≥0，即4（m+1）（m2+1）≥0，
∵m2+1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥﹣1，又m≠0，1﹣m≠0
则m≥﹣1且m≠0且m≠1时，此二次三项式能用上面的方法分解因式．
27．解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得，22﹣6×2+n﹣1＝0，
解得：n＝9，
当n＝9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝9不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4（n﹣1）＝0
解得：n＝10，综上所述，n＝10。