高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题五答案详解

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高等数学上〔修订版〕黄立宏〔复旦出版社〕

习题五答案详解

1． 求以下各曲线所围图形的面积：

（1） y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)；

解：如图D 1=D 2

解方程组⎩⎨⎧y =12x 2

x 2+y 2=8

得交点A (2，2)

(1)

D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23

∴ D 1+D 2=2π+4

3

,

D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-4

3．

（2） y =1

x

与直线y =x 及x =2；

解： D 1=⎠⎛12⎝⎛⎭

⎫x -1x d x =⎣⎡⎦⎤12x 2-ln x 2

1=3

2-ln2.

(2)

（3） y =e x ，y =e -x 与直线x =1； 解：D =⎠⎛01()e x -e -x d x =e+1e

-2．

(3) （4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)； 解：D =⎠

⎛l n a

l n b e y d y =b -a ．

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(4)

（5） 抛物线y =x 2和y =-x 2+2；

解：解方程组⎩⎨⎧y =x 2y =-x 2+2

得交点 (1，1)，(-1，1)

D =⎠

⎛-1

1()-x 2+2-x 2d x =4⎠⎛0

1

()-x 2

+1d x =8

3．

(5)

（6） y =sin x ，y =cos x 及直线x =π4，x =9

4

π；

解：D =2⎠⎜⎜⎛π4

5π

4(sin x -cos x )d x =2[]-cos x -sin x 5π

4

π4

=42．

(6)

（7） 抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线； 解：y ′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2． ∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(3

2

，3)．故所求面积为

(7)

118

()()()()()3

3

2

22302

33

22230

2

4343d 2643d d 69d 9.4

D x x x x x x x x x x x x x

⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦

=+-+=⎰⎰⎰⎰

（8） 摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴； 解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ． 所以

()()

()

2π2π

2π

2

20

2d 1cos d sin 1cos d 3π.

a

S y x a t a t t a t t

a ==--=-=⎰

⎰⎰

(8)

（9） 极坐标曲线 ρ=a sin3φ； 解：D =3D 1=3·a 22⎠

⎜⎛0

π3sin 2

3φd φ

=3a 22 ·⎠

⎜⎛0

π3 1-cos6φ2d φ =

3a 2

4 ·⎣⎡⎦

⎤φ-16sin6φπ

30

=πa 24

． (9) （10） ρ=2a cos φ；

解：D =2D 1=2⎠⎜⎛0π212

·4a 2·cos 2φd φ =4a 2

⎠⎜⎛0

π2

1+cos2φ2d φ

=4a 2·12⎣⎡⎦

⎤φ+1

2sin2φπ

20

=4a 2·12·π

2

=πa 2．

(10)

2． 求以下各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ;

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解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的圆，故D =πa 2．

(11)

（2） r =2cos θ及r 2=3sin2θ．

解：如图12，解方程组⎩⎨⎧r =2cos θr 2=3sin2θ

得cos θ=0或tan θ=3

3

, 即θ=π2或θ=π

6

．

(12)

D =⎠⎜⎛0π

61

2

·3sin2θd θ+⎠

⎜⎜⎛π6

π212·()2cos θ2d θ

=⎣⎡⎦⎤-34cos2θπ

60

+θ2+ ⎣⎡⎦⎤14

sin4θπ

2

π6

=π

6

． 3． 已知曲线f (x )=x -x 2与g (x )=ax 围成的图形面积等于9

2

，求常数a ．

解：如图13，解方程组⎩⎨⎧f (x )=x -x 2

g (x )=ax

得交点坐标为(0，0)，(1-a ，a (1-a ))

∴D =⎠⎛0

1-a ()x -x 2-ax d x

=⎣⎡⎦⎤12()1-a ·x 2-1

3x 31-a

=1

6

()1-a 3 依题意得 16()1-a 3=9

2

得a =-2．

(13)

4． 求以下旋转体的体积： （1） 由y =x 2与y 2=x 3围成的平面图形绕x 轴旋转；