数学建模优化理论与方法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
凸集 .
定义1.2 设 K 是凸集，X K ; 若不能用两个不同的 点 X (1) K , X ( 2 ) K 的线性组合表示为 X X (1) (1 ) X ( 2 ) K (0 1) , 则称 X 为 K 的一个极点 .
定理1.1 若线性规划问题存在非 空可行域, 则其可行 域必为凸集 . 定理1.2 若线性规划问题的可行 域有界, 则其目标函 数最优值一定可以在其 可行域的极点上达到 . 定理1.3 线性规划问题的基可行 解 X 对应于可行域
应否改变生产计划？
分 析
1桶 奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶 决策变量
时间480小时 至多加工100公斤A1 x2 桶牛奶生产 A2 获利 16×4 x2
原料供应
劳动时间 加工能力
x1 桶牛奶生产 A1 获利 24×3x1
数 学 模 型
康托洛维奇在20世纪30年代就提出了求解线 性规划问题的“解乘数法”。 自从1947年美国学者丹青格提出求解线性 规划问题的一般方法—单纯形方法 后，才使线 性规划的理论和方法日臻成熟。
1.1 线性规划模型的特征
（1）由决策变量构成，反映决策的目标是线性函数。 （2）一组由决策变量的线性等式或不等式构成约束
可能有下面三种情况：
(1) 若所有的 j 0 , 则基 B 为最优基，相应的基 可行解即为基本最优解 ，停止计算。 (2) 若有某 s 0 , 它所对应的列向量的全部分量 （a1s , a2 s , , ams ) 0 , 则该线性规划问题的目标 函数无上界，即无界解，停止计算。 (3) 若有某个负检验数 j 0 所对应的列向量有正 分量， 则基 B 不是最优基，须转入第四步，进 行换基迭代。
换方式可以归结为:
(1) 如果目标函数是极小化 , 可以通过以下方式得到 : min( ) max( ) 这样我们只要讨论问题 max( ) 即可.
(2) 如果约束方程为不等式 , 我们可以通过引进松弛 变量来得到 . a. 如果约束条件为 " " , 则 不等式左端 某松弛变量 右端 (该松弛变量 0) b. 如果约束条件为 " " , 则 不等式左端 某松弛变量 右端 (该松弛变量 0) (3) 如果变量 xk 无非负性限制, 则可令 xk yk z k 其中 yk 0, z k 0 .
同时将X B中的 xr 换为 xs ，得到新的可行基和新 的单纯形表。
重复第三、第四步，直 至获得最优解，或判断出 有无界解，计算终止。
针对例 1 来说，对于表 1.2 ，因为: s min{j | 1 4, 2 3} 1 所以 x1 为换入变量。 bi 24 26 26 ＝min{ i | ais 0} { , } ， 确定 x4 为 i ais 2 3 3 换出基变量，并以 x1 所在列和 x4 所在行的交叉处
x2 Q3(6,4) 3x1+2x2=26 Q2(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
可行域（图中阴影部分）。
O
Z
2x1+3x2=24 x1
Q1(26/3,0)
第二步：作出一条目标函数等值线，并确定 Z 值增 大的方向。
第三步：沿 Z 值增大方向移动，当移至 Q2(6,4) 点 时，Z 值为最大，Z*=36 .
1.5 基本定理
为介绍基本定理的需要 ，先介绍两个概念。 定义1.1 设 K 是 n 维欧氏空间E 中的一个点集，若 任意两点 X (1) , X ( 2) K ( X (1) X ( 2) ) 连线上的一切 点 X X (1) (1 ) X ( 2 ) K (0 1) , 则称 K 为
1.3 线性规划问题解的概念
对于线性规划问题
max Z c j x j
j 1 n
(1.1) (1.2) (1.3)
n (i 1,2 , m) aij x j bi s.t j 1 x 0 ( j 1,2 , n) j
可行解 : 满足约束条件 (1.2) 和 (1.3) 的解 X ( x1 , x2 ,)T 称为可行解 . 最优解 : 满足 (1.1) 的可行解称为最优解 .
基本最优解与最优基： 满足 (1.1) 的基可行解称为基本最 优解， 对应基本最优解的基称 为最 优基。
可行解 基可行解
基 解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
s. t
max Z 4 x1 3 x2 2 x1 3 x2 24 3 x1 2 x2 26 x , x 0 1 2
元素为主元进行迭代。
cj CB XB 0 x3 x4 Z
0 4
表1.3
4 b 24 x1 2
3 x2 3
0 x3 1
0 x4 0
i
12
0
26
0
[3]
-4
2
-3
0
0
1
0
26/3
j
4
13
x3 20/3
x1 26/3 Z 104/3
0
1 0
[5/3]
2/3 -1/3
1
0 0
-2/3
1/3 4/3
j
0
x1 x2 50
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3360 l3
Z=0 从图中可以看出，在 B(20,30) 点得到最优解。
Max z 72x1 64x2
条件。
（3）对决策变量取值范围加以限制的非负约束。 例1：某工厂生产甲、乙两种产品，每件产品的利润、 所消耗的材料、工时及每天的材料限额和工时限额，
如表1.1所示。试问如何安排生产，使每天所得的利润 为最大？
表1.1
材料 工时 利润(元/件)
甲 2 3 4
乙 3 2 3
限额 24 26
设每天生产甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 则该 问题可描述为由如下数学模型： max Z 4 x1 3 x2
以下通过例1的求解过程说明单纯形方法的基本 步骤。 max Z 4 x1 3 x2 例1： 2 x1 3 x2 24 s. t 3 x1 2 x2 26 x , x 0 1 2
第一步：引进松驰变量 x3 , x4 将原问题化为标准型。 标 准 型
max Z 4 x1 3 x2 0 x3 0 x4 s. t 24 2 x1 3 x2 x3 x4 26 3 x1 2 x2 x , x , x , x 0 1 2 3 4
基变量与非基变量：与 基向量 Pj 对应的变量 x j 称 为基变量；否则称为非 基变量。
基解：令所有非基变量 为 0 ，求出的满足(1.2) 的解 称为基解。
基可行解与可行基：满 足 (1.3) 的基解称为基可行解。 对应基可行解的基，称 为可行基。显然， 基可行 m 解的数目 基解的数目 Cn
我们无意过深涉及线性规划的具体计算方法，而着重介 绍的是如何建立若干实际的线性规划模型，如何使用现成的 数学软件进行求解，以及如何对结果进行深入的分析。
下面以奶制品加工生产计划为例，进行详细的讨论。
例2 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1 , A2 两种奶制品，1 桶牛 奶可以在设备甲上用 12 小时加工成 3 公斤 A1,或者在设备 乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的 A1 , A2 全部能售出，且每公斤 A1 获利 24 元，每公斤 A2 获利 16
基：设 rank( Amn ) m , 如果 B 是矩阵 A 中的一个 m m 阶非奇异子矩阵(| B | 0) , 则称 B 是线性规划问 题的一个基。 基向量与非基向量：基B中的列向量称为基向量 ， 矩阵 A 中除 B 之外各列即为非基向量 ，A 中共 有 n m 个非基向量。
Max z 72x1 64x2 s.t x1 x2 50 12x1 8 x2 480 3 x1 100 x1 , x2 0
非负约束
解法1：图解法。
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0
第四步：换基迭代。
(1) 确定换入变量xs : 取 s min{j | j 0, 0 j n} . ( 2) 确定换出变量xr : 按最小比值原则求出主 元 bi br ＝ min{ | ais 0} , i ais ars 确定xr为出基变量，其中 ars 为主元。 (3) 以 ars 为主元，在单纯形表中 进行初等行变换， 即把基变量 xs 所在的列变为单位列向 量。
元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式工人
总的劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100 公斤 A1 , 设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个
生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下 3 个附加问题：
• 若用 35 元可买到 1 桶牛奶，买吗？若买，每天最多 买多少? • 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人 的工资最多是每小时几元? • 由于市场需求的变化，A1 的获利增加到 30元/公斤，
s. t 2 x1 3 x2 24 3 x1 2 x2 26 x , x 0 1 2
1.2 线性规划问题的标准型
如下形式的线性规划模型被称作标准型:
max Z c j x j
j 1 n
n (i 1,2, m) aij x j bi s.t j 1 x 0 ( j 1,2, n) j
同理，确定 x2 换入，x3 换出，继续迭代得表 1.3
表 1.3
cj
CB XB b
4
x1
3
x2
0
x3
0
x4
i
3
4
x2
x1
4
6 36
0
1 0
1
0 0
3/5
-2/5 1/5
-2/5
3/5 6/5
Z
j
表中最后一行的所有检验数都已是正数或零，从而得到基 本最优解 X*=(6,4,0,0)T, Z*=36 。由于 x3 , x4 是引进的松弛变量， 因此原问题的最优解为 x1=6, x2=4, 最优值 Z*=36 。
的极点 .
从理论上来讲,采用“枚举法”找出所有基可行解, 并
一一比较,一定会找到最优解。但当 m, n 较大时,这 种方法是不经济和不可取的。
下面介绍求解线性规划问题的有效方法——单纯 形方法。单纯形法的实质是从一个基可行解向另一个 基可行解（极点到极点）的迭代方法。
1.6 求解线性规划问题的单纯形方法
第二步：找出初始可行基，建立初始单纯形表。 见下表1.2。
表 1.2
cj
4
3
0
0
CB XB
0 x3
b
24
x1
2
x2
3
x3
1
x4
0
i
0
Z
x4
26 0
3 -4
2 -3
0 0
1 0
j
1
本例中，初始可行基 B0 (P 3, P 4 ) I 则 b B0 b
第三步：最优性检验。 检验各非基变量x j 的检验数 j ,
数学规划的理论与方法
1. 线性规划理论与方法
2. 目标规划的理论与方法
3. 整数规划的理论与方法
4. 非线性规划的理论与方法 5. 动态规划 6. 最优控制理论
y
一.线性规划的理论与方法
线性规划是指目标函数是由线性函数给出，约 束条件由线性等式或者不等式给出的优化问题。 最早提出线性规划问题并进行专门研究的学 者—康托洛维奇。
也可用矩阵形式描述:
max Z CX AX b s.t X 0
A:资源消耗系数矩阵
b: 资源限量向量
C:价格向量 X:决策变量向量
同时我们对标准型作如下假定:
(1) rank( A) m n, 即标准型中的约束方程 彼此独立, 没有多余方程 . (2) b 0, 若有 bi 0 , 则可对第i 个约束方程两边同时 乘以 1即可. 一般的线性规划问题通过变换可化成标准型 , 变
凸集 .
定义1.2 设 K 是凸集，X K ; 若不能用两个不同的 点 X (1) K , X ( 2 ) K 的线性组合表示为 X X (1) (1 ) X ( 2 ) K (0 1) , 则称 X 为 K 的一个极点 .
定理1.1 若线性规划问题存在非 空可行域, 则其可行 域必为凸集 . 定理1.2 若线性规划问题的可行 域有界, 则其目标函 数最优值一定可以在其 可行域的极点上达到 . 定理1.3 线性规划问题的基可行 解 X 对应于可行域
应否改变生产计划？
分 析
1桶 奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶 决策变量
时间480小时 至多加工100公斤A1 x2 桶牛奶生产 A2 获利 16×4 x2
原料供应
劳动时间 加工能力
x1 桶牛奶生产 A1 获利 24×3x1
数 学 模 型
康托洛维奇在20世纪30年代就提出了求解线 性规划问题的“解乘数法”。 自从1947年美国学者丹青格提出求解线性 规划问题的一般方法—单纯形方法 后，才使线 性规划的理论和方法日臻成熟。
1.1 线性规划模型的特征
（1）由决策变量构成，反映决策的目标是线性函数。 （2）一组由决策变量的线性等式或不等式构成约束
可能有下面三种情况：
(1) 若所有的 j 0 , 则基 B 为最优基，相应的基 可行解即为基本最优解 ，停止计算。 (2) 若有某 s 0 , 它所对应的列向量的全部分量 （a1s , a2 s , , ams ) 0 , 则该线性规划问题的目标 函数无上界，即无界解，停止计算。 (3) 若有某个负检验数 j 0 所对应的列向量有正 分量， 则基 B 不是最优基，须转入第四步，进 行换基迭代。
换方式可以归结为:
(1) 如果目标函数是极小化 , 可以通过以下方式得到 : min( ) max( ) 这样我们只要讨论问题 max( ) 即可.
(2) 如果约束方程为不等式 , 我们可以通过引进松弛 变量来得到 . a. 如果约束条件为 " " , 则 不等式左端 某松弛变量 右端 (该松弛变量 0) b. 如果约束条件为 " " , 则 不等式左端 某松弛变量 右端 (该松弛变量 0) (3) 如果变量 xk 无非负性限制, 则可令 xk yk z k 其中 yk 0, z k 0 .
同时将X B中的 xr 换为 xs ，得到新的可行基和新 的单纯形表。
重复第三、第四步，直 至获得最优解，或判断出 有无界解，计算终止。
针对例 1 来说，对于表 1.2 ，因为: s min{j | 1 4, 2 3} 1 所以 x1 为换入变量。 bi 24 26 26 ＝min{ i | ais 0} { , } ， 确定 x4 为 i ais 2 3 3 换出基变量，并以 x1 所在列和 x4 所在行的交叉处
x2 Q3(6,4) 3x1+2x2=26 Q2(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
可行域（图中阴影部分）。
O
Z
2x1+3x2=24 x1
Q1(26/3,0)
第二步：作出一条目标函数等值线，并确定 Z 值增 大的方向。
第三步：沿 Z 值增大方向移动，当移至 Q2(6,4) 点 时，Z 值为最大，Z*=36 .
1.5 基本定理
为介绍基本定理的需要 ，先介绍两个概念。 定义1.1 设 K 是 n 维欧氏空间E 中的一个点集，若 任意两点 X (1) , X ( 2) K ( X (1) X ( 2) ) 连线上的一切 点 X X (1) (1 ) X ( 2 ) K (0 1) , 则称 K 为
1.3 线性规划问题解的概念
对于线性规划问题
max Z c j x j
j 1 n
(1.1) (1.2) (1.3)
n (i 1,2 , m) aij x j bi s.t j 1 x 0 ( j 1,2 , n) j
可行解 : 满足约束条件 (1.2) 和 (1.3) 的解 X ( x1 , x2 ,)T 称为可行解 . 最优解 : 满足 (1.1) 的可行解称为最优解 .
基本最优解与最优基： 满足 (1.1) 的基可行解称为基本最 优解， 对应基本最优解的基称 为最 优基。
可行解 基可行解
基 解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
s. t
max Z 4 x1 3 x2 2 x1 3 x2 24 3 x1 2 x2 26 x , x 0 1 2
元素为主元进行迭代。
cj CB XB 0 x3 x4 Z
0 4
表1.3
4 b 24 x1 2
3 x2 3
0 x3 1
0 x4 0
i
12
0
26
0
[3]
-4
2
-3
0
0
1
0
26/3
j
4
13
x3 20/3
x1 26/3 Z 104/3
0
1 0
[5/3]
2/3 -1/3
1
0 0
-2/3
1/3 4/3
j
0
x1 x2 50
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3360 l3
Z=0 从图中可以看出，在 B(20,30) 点得到最优解。
Max z 72x1 64x2
条件。
（3）对决策变量取值范围加以限制的非负约束。 例1：某工厂生产甲、乙两种产品，每件产品的利润、 所消耗的材料、工时及每天的材料限额和工时限额，
如表1.1所示。试问如何安排生产，使每天所得的利润 为最大？
表1.1
材料 工时 利润(元/件)
甲 2 3 4
乙 3 2 3
限额 24 26
设每天生产甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 则该 问题可描述为由如下数学模型： max Z 4 x1 3 x2
以下通过例1的求解过程说明单纯形方法的基本 步骤。 max Z 4 x1 3 x2 例1： 2 x1 3 x2 24 s. t 3 x1 2 x2 26 x , x 0 1 2
第一步：引进松驰变量 x3 , x4 将原问题化为标准型。 标 准 型
max Z 4 x1 3 x2 0 x3 0 x4 s. t 24 2 x1 3 x2 x3 x4 26 3 x1 2 x2 x , x , x , x 0 1 2 3 4
基变量与非基变量：与 基向量 Pj 对应的变量 x j 称 为基变量；否则称为非 基变量。
基解：令所有非基变量 为 0 ，求出的满足(1.2) 的解 称为基解。
基可行解与可行基：满 足 (1.3) 的基解称为基可行解。 对应基可行解的基，称 为可行基。显然， 基可行 m 解的数目 基解的数目 Cn
我们无意过深涉及线性规划的具体计算方法，而着重介 绍的是如何建立若干实际的线性规划模型，如何使用现成的 数学软件进行求解，以及如何对结果进行深入的分析。
下面以奶制品加工生产计划为例，进行详细的讨论。
例2 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1 , A2 两种奶制品，1 桶牛 奶可以在设备甲上用 12 小时加工成 3 公斤 A1,或者在设备 乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的 A1 , A2 全部能售出，且每公斤 A1 获利 24 元，每公斤 A2 获利 16
基：设 rank( Amn ) m , 如果 B 是矩阵 A 中的一个 m m 阶非奇异子矩阵(| B | 0) , 则称 B 是线性规划问 题的一个基。 基向量与非基向量：基B中的列向量称为基向量 ， 矩阵 A 中除 B 之外各列即为非基向量 ，A 中共 有 n m 个非基向量。
Max z 72x1 64x2 s.t x1 x2 50 12x1 8 x2 480 3 x1 100 x1 , x2 0
非负约束
解法1：图解法。
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0
第四步：换基迭代。
(1) 确定换入变量xs : 取 s min{j | j 0, 0 j n} . ( 2) 确定换出变量xr : 按最小比值原则求出主 元 bi br ＝ min{ | ais 0} , i ais ars 确定xr为出基变量，其中 ars 为主元。 (3) 以 ars 为主元，在单纯形表中 进行初等行变换， 即把基变量 xs 所在的列变为单位列向 量。
元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式工人
总的劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100 公斤 A1 , 设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个
生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下 3 个附加问题：
• 若用 35 元可买到 1 桶牛奶，买吗？若买，每天最多 买多少? • 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人 的工资最多是每小时几元? • 由于市场需求的变化，A1 的获利增加到 30元/公斤，
s. t 2 x1 3 x2 24 3 x1 2 x2 26 x , x 0 1 2
1.2 线性规划问题的标准型
如下形式的线性规划模型被称作标准型:
max Z c j x j
j 1 n
n (i 1,2, m) aij x j bi s.t j 1 x 0 ( j 1,2, n) j
同理，确定 x2 换入，x3 换出，继续迭代得表 1.3
表 1.3
cj
CB XB b
4
x1
3
x2
0
x3
0
x4
i
3
4
x2
x1
4
6 36
0
1 0
1
0 0
3/5
-2/5 1/5
-2/5
3/5 6/5
Z
j
表中最后一行的所有检验数都已是正数或零，从而得到基 本最优解 X*=(6,4,0,0)T, Z*=36 。由于 x3 , x4 是引进的松弛变量， 因此原问题的最优解为 x1=6, x2=4, 最优值 Z*=36 。
的极点 .
从理论上来讲,采用“枚举法”找出所有基可行解, 并
一一比较,一定会找到最优解。但当 m, n 较大时,这 种方法是不经济和不可取的。
下面介绍求解线性规划问题的有效方法——单纯 形方法。单纯形法的实质是从一个基可行解向另一个 基可行解（极点到极点）的迭代方法。
1.6 求解线性规划问题的单纯形方法
第二步：找出初始可行基，建立初始单纯形表。 见下表1.2。
表 1.2
cj
4
3
0
0
CB XB
0 x3
b
24
x1
2
x2
3
x3
1
x4
0
i
0
Z
x4
26 0
3 -4
2 -3
0 0
1 0
j
1
本例中，初始可行基 B0 (P 3, P 4 ) I 则 b B0 b
第三步：最优性检验。 检验各非基变量x j 的检验数 j ,
数学规划的理论与方法
1. 线性规划理论与方法
2. 目标规划的理论与方法
3. 整数规划的理论与方法
4. 非线性规划的理论与方法 5. 动态规划 6. 最优控制理论
y
一.线性规划的理论与方法
线性规划是指目标函数是由线性函数给出，约 束条件由线性等式或者不等式给出的优化问题。 最早提出线性规划问题并进行专门研究的学 者—康托洛维奇。
也可用矩阵形式描述:
max Z CX AX b s.t X 0
A:资源消耗系数矩阵
b: 资源限量向量
C:价格向量 X:决策变量向量
同时我们对标准型作如下假定:
(1) rank( A) m n, 即标准型中的约束方程 彼此独立, 没有多余方程 . (2) b 0, 若有 bi 0 , 则可对第i 个约束方程两边同时 乘以 1即可. 一般的线性规划问题通过变换可化成标准型 , 变