专题3.3 推理与证明 -2017年全国高考数学考前复习大串讲

【知识网络】

【考点聚焦】

1.原题（选修2-2第七十八页练习3）变式 设P 是ABC ∆内一点，ABC ∆三边上的高分别为A h 、

B h 、

C h ，P 到三边的距离依次为a l 、、，则有

a b c

A B C

l l l h h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、、、

d l ，则有_________________.

C

2.原题（选修2-2第八十二页阅读与思考）变式 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，

1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .

(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：

DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.

拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

3.原题（选修2-2第九十六页习题2.3A 组第一题）变式 在数列}{n a 中，3

3,2111+=

=+n n

n a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为____________ 【答案】5

3

+=

n a n .

【感受高考】

1.【2015高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ） A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】C ．

【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即3n =或4n =时命题成立，由此可排除A 、B 、D ，故选C ．

2.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A.方程02

=++b ax x 没有实根 B.方程02

=++b ax x 至多有一个实根

C.方程02=++b ax x 至多有两个实根

D.方程02

=++b ax x 恰好有两个实根 【答案】A

【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程2

0x ax b ++=至少有一实根”的反面是“方程2

0x ax b ++=没有实根”，故选A .

3.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 【答案】1和3 【解析】

试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.

4.【2014课标Ⅰ，理14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ 【答案】A

【解析】由丙说可知，乙至少去过A,B,C 中的一个城市，由甲说可知，甲去过A,C 且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C 城市，故乙只去过A 城市．

5.【2014高考陕西版理第14题】观察分析下表中的数据：

猜想一般凸多面体中，E V F ，，

所满足的等式是_________.

【答案】2F V E +-= 【解析】

6.【2015高考山东，理11】观察下列各式：

0014C =

011334C C +=

01225554;C C C ++=

0123377774C C C C +++=

……

照此规律，当nN 时，

0121

21212121n n n n n C C C C -----+++

+

= .

【答案】1

4

n -

7.【2015高考北京，理20】已知数列{}

n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且

121823618n n n n

n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，

，()12n =，，

…． 记集合{}

*|n M a n =∈N ．

（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；

（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．

【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8

【解析】（Ⅰ）由已知121823618n n n n

n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ====

{6,12,24}M ∴=

（Ⅱ）因为集合

M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知

121823618n n n n

n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，

，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥

，n a 是3的倍数，当1k =时，则

M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，

①若n a 中有3的倍数，由（2）知：所有的n a 都是3的倍数，所以n a 都是3的倍数，所以n a 除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M 中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项

.