微积分中积分的统一与运算

微积分中积分的统一与运算
孙玉泉;张文峰;杨小远
【摘要】数学分析中研究的多种积分,都是通过分割、求和、取极限的过程建立的,它们在形式上差别很大但是其数学本质是一致的.在给出这些积分统一抽象表示的基础上分析了积分运算中的换元法与外微分之间的关系.最后讨论了使用微元法建立各种积分时微元选取的条件,并通过实例说明统一表示的方便.%All integrals in mathematical analysis are established by segmentation,summation,and taking limit.Although they vary widely in form, they have the same mathematical essence.This paper gives a unity representation of these integrals.Based on this representation,we analyze the relationship between substitution method and exterior differential.Finally we give the conditions of selecting approximation in using micro-element method and an example to illustrate the convenience of the uniform representation.
【期刊名称】《河南科学》
【年(卷),期】2011(029)004
【总页数】6页(P391-396)
【关键词】积分统一表示;积分换元;外微分;微元法
【作者】孙玉泉;张文峰;杨小远
【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191;北京航空航天大学电子信息工程学院,北京,100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
积分学是高等数学中的重要基础内容，一般分为定积分、重积分、曲线积分、曲面积分等.这些积分在形式上差别很大，但是它们之间在本质上有着重要的联系.提取
这些积分的本质特征，找出它们之间的联系，给出统一表示形式，能更好地掌握各种积分间的关系和深入理解积分的实质.
定积分最直观的几何和物理意义是求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程.我们
通过做分割得到小的曲边梯形或路程，然后求出每一小部分的近似值，对这些近似值求和来近似大的面积或总的路程.然后我们将分割无限加细，如果近似和的极限
存在，就定义这个极限为一个定积分.其严格的定义如下[1]：
函数f在区间［a，b］上有定义.如果实数I使得∀ε>0，存在δ>0，只要［a，b］的分割π 适合‖π‖<δ而不管ξixi-1，xi］（1≤i≤n）如何选择，都有
成立时，称 f在［a，b］上（黎曼）可积，称 I是 f在［a，b］上的（黎曼）积
分或定积分.
因此定积分可以写为如下极限：
其它积分形式也有类似结论[1]：
二重积分：
第一型曲线积分：
第二型曲线积分：
这些积分形式上差别很大，都对应不同的几何和物理意义，但是本质上都是一个求和、取极限的过程.积分的结果是无穷多个无穷小量之和.积分究其本质来说，就是
偏差小于任何正数的近似，是“无穷小方法”[2].既然积分的本质是一样的，因此
我们可以给出如下统一的定义：
定义1 设D为一个区域，f为定义在D上的函数，π为D的一个分割，Δωi为分割的微元，分割的细度为‖π‖，任取ξi∈Δωi，若极限
存在，则称f在D上可积.用A表示该极限，称其为f在D上的积分并记为
其中“*”指的是变量与微元的某种合成关系.
在这个表达式中，D可以是任何线性空间的一个域，f是这个域上的数量或向量函数，dω是相应的微元，关系“*”由函数和微元的具体意义决定，可以是乘积或
向量点乘、叉乘，甚至是一些自定义的关系.例如当D为区间f为该区间上的函数，dω为区间微元则该积分就是定积分；如果D是三维空间中的曲线，f是该曲线上对应的数量函数，dω表示曲线上的弧长微元，则积分表示第一型曲线积分；若f
是曲线上对应的向量函数，dω表示曲线上的向量微元，关系“*”表示点乘积，
则积分表示第二型曲线积分.
因此，积分的具体含义不但和积分区域有关，也和被积函数和微元类型及它们之间的运算有关，不同的运算关系有不同的几何或物理意义.更一般地我们把f*dω看
作区域内的微元，设为dφ，则可以给出更一般的统一形式：
定义2 设D为一个区域，f为定义在D上满足可积条件的函数，则我们可以将f
在D上的积分表示为
其中dφ为区域内的微元.
有了积分的统一表示不但可以帮助我们理解积分的含义和各种积分间的关系，而且可以为解决实际问题提供方便.
我们在运用积分的时候用到的第一个思想类似于物理中的量子的概念，我们把积分中取极限后的微元称为“粒子”，是无穷小量.按定义1，积分就是将某一空间中
所有“粒子”（dω）所对应的变量（f）与该点按某种关系（*）结合后加在一起
的总和.值得指出的是，在引入无穷小量的时候，所引入的无穷小量可能不是唯一的，例如在求不规则物体的体积的时候，我们有式子：
式（1）和（2）中的f（x，y）dz与f（x）dydz都是正确的无穷小量.更多例子参见文献［3］.
如果将我们要求的结果抽象为某一特殊空间的特殊体积，那么变量的因子或微元分解后的因子就代表一个维度，变量的维度加上微元因子的维度就是我们所求结果的维度.式（1）中f为二维，微元为一维；式（2）中f为一维，微元为二维.维数和均为三维，与体积的维数相符.如果使用定义2，则该无穷小量的表示方法唯一. 运用上述观点可以更加本质地刻画积分，在实际运用的时候，我们统一思想就是形成“粒子”，变量与“粒子”作用之后再累加.
例1[1]求流速场F=（yz，zx，xy），流出曲面∑的流量，其中曲面∑是圆柱体：的表面.
解∑可以看作由三个曲面组成，即圆柱体的侧面∑1和上，下表面
在∑1上，有向面微元是（，0）dσ，其中dσ表示面的面积.故流量微元是故在∑1上的流量为由对称性知，Q1=0.同理可得Q2=0，Q3=0.因此Q=0.
我们还可以将积分的统一表示推广到复变函数积分中.复变函数积分的定义[4]：若复变函数ω=f（z）定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑有向曲线.把曲线C分成任意n段弧段，设分点为 A=Z0，Z1，…，Zn=B，在弧段 Zk-1，Zk上任取一点ζk.若
存在唯一有限极值，则称f（z）可积.
因此积分的统一表示也可用于复变函数的积分.
在具体的积分计算过程当中，计算结果往往和曲线、曲面的方向有关，上述统一的表示实际上是求和式的极限的抽象，这时将由定向和积分限变换带来的符号包含在微元当中.只有在引入了外微分的概念[5]之后，微元的符号会变得更加明确.在通常的积分中，微元只表示大小没有方向，因此在换元时，我们总是使用Jacobi行列式绝对值，它表示变换前后微元间的比例关系.下面我们分析Jacobi行列式本身的
含义.以三维空间为例，介绍其中的外微分及其性质.用“∧”表示自变量的微分dx，dy，dz的外积运算，例如dx与dy的外积记为dx∧dy，它们满足以下运算法则：1）线性（adx）∧dy=a（dx∧dy）；
2）加法分配律：dx∧（dy+dz）=dx∧dy+dx∧dz；
3）反交换律：dx∧dy=-dy∧dz；
4）自乘归零：dx∧dx=0；
5）结合律：dx∧（dy∧dz）=（dx∧dy）∧dz；
若将dx，dy，dz看作标量微元，则dxdy表示面积微元，dxdydz表示体积微元.若将dx，dy，dz看作矢量微元，则dx∧dy dx∧dy为有向面积微元，dx∧dy∧dz 为有向体积微元.现在我们看在外积表示下的三重积分换元的公式：
该式说明对于矢量微元，换元之间比例为Jacobi行列式，Jacobi行列式的符号表示矢量微元之间方向的变化.根据前面分析，积分就是特殊空间中相应变量与微元
结合后的累加，对于矢量微元dxi，它们的结合顺序与空间的性质有关.
实际上积分可以看作空间中的某一体积，换元前后表示在不同空间中的体积的表示.而两个空间是有着同向、异向之分，这一点和微分外积有序相符.
定义 3 给定 n 维线性空间 V 的一组有序基 e1，e2，…，en，称给出线性空间一
个定向.若，是另一组有序基，且有，则当det（aij）>0时称两组基定向相同，当det（aij）<0时两组基定向相反.这样就得到线性空间V上两个不同的定向.
换元前后的两组变量实际上就是给定了空间的两组有序基，显然，Jacobi行列式
的符号代表两组基定向的异同.
至此，换元中出现的Jacobi行列式已经有了明确的意义.空间中的两组变量x1，
x2，…，xn和y1，y2，…，yn，它们间变换的Jacobi行列式
的符号表示这两组变量确定的定向的异同.
物理中用量子化的观点，一切物理因子都有最小尺度，如果每个最小因子都相等，
那么它们累加之后整体也相等.对于积分的统一表示，看作是微元和.但数学中是没有最小尺度的概念，因此我们运用极限的观点来解决这个问题.
在积分的实际应用中，要将整体分割成微元，然后将微元近似为易于表示和求解的形式，然后转化为一个积分进行计算.因此需要用到微元的近似表示.一个好的近似其和的极限和真实物理量相等，一个不好的近似则得不到正确的结果.例如在用极坐标计算曲线弧长时中，曲线微元上任一点的切线对应的线段和以坐标原点到该微元上一点的长度为半径的微圆弧都是曲线微元的近似，但我们知道后者不能用于计算弧长.下面我们就分析一下一个正确的近似该满足什么条件.
我们首先来分析两种近似之间的差别.
如图1所示，曲线s上的一段弧长记为l，对应的折线段长为d和其上一点的切线上对应的长度记为D.
我们以d为微元作为曲线弧长的定义[6]，下面分析d与D之间的关系.取曲线的参数方程，不妨设曲线微元的端点参数为tn-1和tn，切线对应切点参数为t0.则折线段长度为
这说明，在某一空间内如果各点处的近似微元与目标微元是等价无穷小的，那么用近似微元得到的积分是准确的.
对于圆弧的近似，则以（x（t），y（t）），（t∈（tn-1，tn））到原点的距离为半径，介于角度之间的弧长为：
当值不是恒为1，因此这不是一个符合要求的近似.
上述分析说明，选取微元的近似时要选等价无穷小来进行近似.我们还可以用这个思想来解决重积分换元中雅克比行列式的问题.
定义4[1]如果映射F适合
式中A是一个m×n矩阵，它的元素不依赖于h，并且，则称映射F在点x0处可微.记作
若F在点x0可微，则定义中的矩阵A恰为雅克比矩阵：
将上述结论用在多重积分换元中，即换元前后两个空间之间的映射F可微，则换元前后微元间的关系为dω1=Jdω2+r（h），若微元表示的体积只有大小，因此使用等价无穷小近似得
这一结果还可用外微分或拉梅系数[7]来证明.
例2[8]如图2，电容两极板是边长为a的正方形，两极板夹角为θ，间距为d，试证明，当θ<<时，忽略边缘效应，电容器的电容为
证明首先，作如图3所示的高斯面.由静电场中高斯定理有，上底面所处位置没有电场，侧面与电场方向平行，故两结果均为零：
故σx=ε0Ex，Ex与两板电势差ΔU的关系为.式中lx为两板间x处弧形电场的线性长度.带入得
此处微元可看作线微元dx与线电荷密度σxa之积，也可看作面电荷密度与板面微元adx之积.
积分的本质就是无穷多个无穷小的总和.它的结果可以统一的认为是在求某一有序维度下的空间中的体积，换元可以认为是不同空间下的映射.微积分的创建就用到了数学函数在每一点处的无穷小量与实际问题无限细分时该处的无穷小量是等价无穷小这种思想.积分既然是无穷小的总和，只有当每一个无穷小都是等价的时候，总和才会相等.在实际应用中正是用了这种思想才能正确而符合逻辑的使用积分.积分的统一表示，可以方便分析积分间的运算规律，积分变量顺序之间的含义.这可使我们在深入理解积分本质的基础上，更好地运用它们解决实际问题.
Key words：integral unity；integral substitution；exterior differential；micro-element method
【相关文献】
［1］常庚哲，史济怀.数学分析教程：上、下［M］.北京：高等教育出版社，2003.
［2］袁相碗.微积分基本方法［M］.南京：南京大学出版社，2010.
［3］ Giordano F W.托马斯微积分［M］.10版.北京：高等教育出版社，2003：421－487. ［4］西安交通大学高等数学教研室.复变函数［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010：69－71. ［5］周建伟.微分几何讲义［M］.北京：科学出版社，2010：75－88.
［6］华罗庚.高等数学引论：第二册［M］.北京：高等教育出版社，2009：1－4.
［7］谢树艺.矢量分析与场论［M］.北京：高等教育出版社，2005：94－95.
［8］题解编写组.大学通用物理教程：习题解答［M］.北京：北京大学出版社，2005：336－338.
Abstract：All integrals in mathematical analysis are established by segmentation，summation，and taking limit.Although they vary widely in form，they have the same mathematical essence.This paper gives a unity representation of these integrals.Based on this representation，we analyze the relationship between substitution method and exterior differential.Finally we give the conditions of selecting approximation in using micro-element method and an example to illustrate the convenience of the uniform representation.。