高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册第四章等比数列及其性质教案

等比数列及其性质综合

【知识要点】

一. 等比数列的定义：

2．等比数列的通项公式：

（1）11-=n n q a a （2）=n a m n m q a -，（m n ,均为正整数)

定义：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项 A=±ab （a,b 同号）

二、等比数列的性质：

在等比数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a =(m, n, p, q ∈N +)

但由q p n m a a a a = 不能推出m+n=p+q 和n m n m a a a +=

等比数列前n 和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n n 注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个，

（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆，

（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

性质：等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则m m m S S S -2,，m m S S 23-……成等比数列

【典型例题】

例1、已知{}n a 为等比数列，，求的值.

例2、（1）已知为等比数列{}n a 前项和，，，公比，求项数n .

（2）已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数

例 3、等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N)，a 3·a 8＝9．求代数式13log a +23log a +33log a +……+103log a 的值.

6,3876321=++=++a a a a a a 131211a a a ++n S n 93=n S 48=n a 2=q 3736

例4、（1）已知为等比数列{}n a 前项和，，，求n S 3的值.

（2）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n =3n -1,求证：数列｛a n ｝是等比数列

例5、(1) 在等比数列中，2

63,2763==

S S ，求． (2)求和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n y x y x y x 11122 （x≠0,x≠1,y≠1）

例6、等比数列中，公比，设

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和及数列的通项公式；

【经典练习】

1、设4321,,,a a a a 成等比数列,其公比为2,则

432122a a a a ++的值为 （ ） n S n 54=n S 602=n S {}n a n a {}n a ,11>a 0>q n n a b 2log =.0,6531531==++b b b b b b {}n b {}n b n n S {}n

a

A.41

B.21

C.8

1 D.1 2、下列说法正确的是（ ）

（A ）数列{}n a 中，若q a a n n =+1，（q 为常数，n ∈N ），则{}n a 是等比数列

（B ）等比数列{}n x 中，若m ，n ，p 成等差数列，且m ，n ，p ∈N +，则.2

p m n x x x ⋅= （C ）lg2，lg m ，lg8是成等差数列，则2，m ，8成等比数列且m ＝±4

（D ）若ac b =2，则a ，b ，c 成等比数列；若a ，b ，c 成等比数列，则ac b =2

3、2，x ,y ,z,18成等比数列，则x= .

4、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项公式n a = 。

5、已知等比数列中84a a ⋅=10,则93a a ⋅= .

6、在等比数列中，①已知.__________,48,3573===a a a 则

②若.__________,10,215105===a a a 则③若.__________,6,510284===a a a a 则

7、等比数列⋅⋅⋅--,1,1,1,1,1，的前n 项和为 （ ）

A 、1

B 、0

C 、1-

D 、0或1

8、等比数列{}n a 的公比为q （1≠q ），则数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,3963n a a a a 的前n 项和为（ ）

A 、()q q a n --1121

B 、()33111q q a n

-- C 、()33311q

q a n -- D 、()q q a n --1122 9、已知{}n a 为等比数列，4,1,2)1(21121==++⋅⋅⋅+-+=-T T a a a n na T n n n ，则数列 {}n a 的首项和公比分别为（ ）

A 、2 ；2

B 、1；3

C 、1；1

D 、2；1

10、设4710310()22222()n f n n N +=++++

+∈，则()f n 等于 （ ）

.A 2(81)7n - .B 12(81)7n +- .C 32(81)7n +- .D 42(81)7

n +- 11、若数列21，a ，41，b 的前三项和为2，后三项成等比数列，则a ＝________，b ＝________． 12、设{a n }是等差数列，b n ＝n a

⎪⎭⎫ ⎝⎛21，已知b 1＋b 2＋b 3＝821，b 1b 2b 3＝81， ⑴求证：数列{b n }是等比数列； ⑵求等差数列{a n }的通项a n .